Módulo generado finitamente

Un módulo generado finitamente sobre un anillo asociativo es un módulo que es generado por un número finito de sus elementos. Por ejemplo, para el módulo de la derecha, esto significa que hay un conjunto finito de elementos de modo que cualquier elemento de puede representarse como una suma , donde están algunos elementos del anillo . $METRO$ $A$ $m_{1},m_{2},\ldots,m_{n}\in M$ $METRO$ $m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+\ldots +m_{n}a_{n}$ $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\en A$ $A$

Entre las propiedades estrechamente relacionadas con los módulos finitamente generados están finitamente representados, finitamente conectados y coherentes. Sobre un anillo noetheriano , las cuatro propiedades son equivalentes.

Los módulos generados finitamente sobre un campo son exactamente espacios vectoriales de dimensión finita .

Propiedades

La imagen de un módulo generado finitamente bajo un homomorfismo también se genera finitamente. En general, los submódulos de un módulo generado finitamente no son necesariamente generados finitamente. Por ejemplo, considere el anillo R = Z [ x 1 , x 2 …] de polinomios en un número infinito de variables. Este anillo se genera finitamente como un módulo R. Considere su submódulo (es decir, ideal ) que consta de todos los polinomios con coeficiente cero en una constante. Si este módulo tuviera un conjunto generador finito, entonces cada monomio x i tendría que estar contenido en uno de los polinomios de este conjunto, lo cual es imposible.

Un módulo se llama noetheriano si alguno de sus submódulos se genera finitamente. Además, un módulo sobre un anillo noetheriano se genera finitamente si y solo si es noetheriano.

Sea 0 → M′ → M → M′′ → 0 una secuencia exacta de módulos. Si M′ y M′′ se generan finitamente aquí, entonces M también se genera finitamente. Ciertas afirmaciones también son verdaderas, parcialmente inversas a ésta. Si M se genera de forma finita y M'' se representa de forma finita (esta es una condición más fuerte que la de generarse de forma finita, ver más abajo), entonces M' se genera de forma finita.

En álgebra conmutativa , existe una cierta conexión entre ser finitamente generado y elementos enteros . Se dice que un álgebra conmutativa A sobre R se genera finitamente sobre R si existe un conjunto finito de sus elementos tal que A es el subanillo más pequeño de A que contiene R y estos elementos. Esta es una condición más débil que la generación finita: por ejemplo, el álgebra polinomial R [ x ] es un álgebra generada finitamente, pero no un módulo generado finitamente. Las siguientes declaraciones son equivalentes a [1] :

A es un módulo generado finitamente;
A es un álgebra finitamente generada que es una extensión completa de R .

Módulos finitamente presentados, finitamente conectados y coherentes

La propiedad generada finitamente se puede formular de la siguiente manera: un módulo M generado finitamente es un módulo para el que hay un epimorfismo

F : R k → METRO .

Consideremos ahora el epimorfismo

φ : F → M

de un módulo libre F a M .

Si el núcleo del epimorfismo φ se genera de forma finita, M se denomina módulo conexo finito . Dado que M es isomorfo a F /ker(φ), esta propiedad se puede expresar de la siguiente manera: M se obtiene a partir de un módulo libre sumando un número finito de relaciones .
Si el núcleo del epimorfismo φ se genera finitamente y el rango de F es finito, entonces M se llama un módulo presentado finitamente . Aquí M tiene un número finito de generadores (las imágenes de los generadores F ) y un número finito de relaciones (los generadores ker(φ)).
Un módulo coherente es un módulo generado finitamente, todos cuyos submódulos generados finitamente están representados finitamente.

Si el anillo de tierra R es noetheriano , las cuatro condiciones son equivalentes.

Aunque la condición de coherencia parece más "incómoda" que las condiciones finitamente conectadas y representadas, también es interesante porque la categoría de módulos coherentes es abeliana , en contraste con la categoría de módulos finitamente generados o finitamente presentados.

Véase también

Notas

↑ Kaplansky, 1970 , Teorema 17, p. once.

Literatura

Atiyah M., McDonald I. . Introducción al álgebra conmutativa. - M. : Prensa Factorial, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Bourbaki, Nicolás. . Álgebra conmutativa. Capítulos 1-7. Traducido del francés. Reimpresión de la traducción al inglés de 1989. - Berlín: Springer-Verlag, 1998. - xxiv + 625 p. - (Elementos de las Matemáticas). — ISBN 3-540-64239-0 .
Kaplansky, Irving. . anillos conmutativos. - Boston: Allyn and Bacon Inc., 1970. - x + 180 p.
Lam T.Y. Conferencias sobre módulos y anillos. - Springer-Verlag, 1999. - (Textos de Posgrado en Matemáticas. No. 189). — ISBN 978-0-387-98428-5 .
Lang, Sergio. . Álgebra. 3ra ed. - Addison-Wesley , 1997. - ISBN 978-0-201-55540-0 .