Un grupo de parámetros

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La definición de un grupo de un parámetro ( ing. Grupo de un parámetro ) o subgrupo de un parámetro está asociada con un homomorfismo continuo del grupo

{\ estilo de visualización \ varphi: \ mathbb {R} \ flecha derecha G}

de la línea real (como un grupo aditivo) a algún grupo topológico . Si es una inyección , entonces , la imagen, será un subgrupo isomorfo a . $\matemáticas {R}$ $GRAMO$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización \ varphi (\ mathbb {R})}$ $GRAMO$ $\matemáticas {R}$

Los grupos de un parámetro fueron introducidos por Sophus Lie en 1893 para definir transformaciones infinitesimales. [1] Tales transformaciones infinitesimales crean un álgebra de Lie , usada para describir un grupo de Lie de dimensión arbitraria.

La acción de un grupo de un parámetro en un conjunto se conoce como flujo . Un campo vectorial suave en una variedad crea un flujo local , un grupo de un parámetro de difeomorfismos locales que mueven puntos a lo largo de las curvas integrales del campo vectorial. El flujo local de un campo vectorial se utiliza para determinar la derivada de Lie para campos tensoriales a lo largo de un campo vectorial.

Ejemplos

Tales grupos de un parámetro juegan un papel importante en la teoría de los grupos de Lie, en la que cada elemento del álgebra de Lie asociada define un homomorfismo. En el caso de grupos de matrices, el homomorfismo viene dado por el exponente de la matriz .

Otro caso importante se presenta en el análisis funcional , donde se encuentra el conjunto de operadores unitarios en un espacio de Hilbert . $GRAMO$

En una monografía de 1957 del Lee Group, P.M. Kohn da el siguiente teorema:

Cualquier grupo de Lie unidimensional conectado es analíticamente isomorfo al grupo aditivo de números reales o al grupo aditivo de números reales . En particular, cada grupo de Lie unidimensional es localmente isomorfo .

\mathfrak{R}

{\mathfrak{T}}

{\ estilo de visualización \ mod 1}

\matemáticas {R}

Física

En física, los grupos de un parámetro se utilizan para describir sistemas dinámicos . [2] Si un conjunto de leyes físicas es consistente con un grupo de un parámetro de simetrías diferenciables, entonces tiene una cantidad conservada, según el teorema de Noether .

En el estudio del espacio-tiempo, el uso de una sola hipérbola para calibrar las medidas del espacio-tiempo se ha vuelto habitual desde el trabajo de Hermann Minkowski en 1908. Si usamos la parametrización de una hipérbola usando un ángulo hiperbólico, entonces en la teoría especial de la relatividad se puede calcular el movimiento relativo usando un grupo de un parámetro caracterizado por la rapidez . En cinemática y dinámica relativista, la velocidad reemplaza el concepto de velocidad. Como la velocidad no tiene cota superior, el grupo formado por ella no es compacto. El concepto de velocidad fue introducido por Edmund Whittaker en 1910, y un año después el concepto apareció en las obras de Alfred Robb . El parámetro de velocidad corresponde a la longitud del versor hiperbólico , cuyo concepto se introdujo en el siglo XIX. Los físicos matemáticos James Cockle, William Clifford y Alexander McFerlane utilizaron la imagen del plano cartesiano en sus trabajos utilizando el operador , donde es un ángulo hiperbólico, y . ${\ estilo de visualización (\ cosh {a} + r \ sinh {a})}$ $a$ $r^{2}=+1$

En GL(n,ℂ)

Un ejemplo importante en el grupo de transformaciones de Lie surge si es , el grupo de matrices de tamaño invertible con entradas complejas. En este caso, el resultado principal se puede enunciar de la siguiente manera: [3] $GRAMO$ $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ $n\veces n$

Teorema : Sea un grupo de un parámetro. Entonces existe una única matriz de tamaño tal que

\varphi :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )

X

n\veces n

{\ estilo de visualización \ varphi (t) = e ^ {tX}}

para todos

t\en \mathbb {R}

De este resultado se sigue que es diferenciable, aunque tal suposición no se usa en el teorema. La matriz se puede reconstruir como $\varphi$ $X$ $\varphi$

\left.{\frac {d\varphi (t)}{dt))\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt))\right|_{t =0}e^{tX}=\izquierda.(Xe^{tX})\derecha|_{t=0}=Xe^{0}=X

. Este resultado se puede usar, por ejemplo, para mostrar que cualquier homomorfismo continuo entre grupos de matrices de Lie es uniforme. [cuatro]

Notas

↑ Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen Archivado el 1 de febrero de 2014 en Wayback Machine , traducción al inglés de D. H. Delphenich, §8, enlace de Neo-classical Physics
↑ Zeidler, E. (1995) Análisis funcional aplicado: principios principales y sus aplicaciones Springer-Verlag
↑ Hall, 2015 Teorema 2.14
↑ Hall, 2015 Corolario 3.50

Enlaces

Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , vol. 222 (2.ª ed.), Textos de posgrado en matemáticas, Springer, ISBN 978-3319134666 .