Sistema ortonormal

Un sistema ortonormal es un sistema ortogonal en el que cada elemento del sistema tiene norma unitaria .

Definición

Para cualquier elemento de este sistema , el producto escalar , donde está el símbolo de Kronecker : $\varphi _{i},\varphi _{j}$ $(\varphi _{i},\varphi _{j})=\delta _{{ij}}$ $\delta _{{ij}}$

\delta _{{ij}}=\left\{{\begin{matriz}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{matriz}}\right.

Un sistema ortonormal, si está completo, puede usarse como base para el espacio. En este caso, la descomposición de cualquier elemento se puede calcular mediante las fórmulas: , donde . $\vec un$ ${\vec a}=\sum_{{k}}\alpha_{i}\varphi_{i}$ $\alpha _{i}=({\vec a},\varphi _{i})$

Ejemplos

En un espacio de dimensión finita, un sistema ortonormal será un conjunto de vectores: $R^{n}$

e_{1}=(1,0,\puntos ,0),e_{2}=(0,1,0,\puntos ,0),\puntos ,e_{n}=(0,0,\puntos , 0.1)

En el espacio, $L^{2}[0,l]$ un sistema ortonormal será un conjunto de funciones:

\varphi _{k}(x)={\sqrt ({\frac {2}{l))))\sin k{\frac {\pi {l))x

Además, este sistema de funciones también será una base ortonormal en el espacio . $L^{2}[0,l]$

En el espacio $L^{2}[0,1]$ , el sistema de funciones de Rademacher es ortonormal.

Ortogonalización

A partir de cualquier sistema linealmente independiente, se puede construir un sistema ortonormal aplicando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt .

Sistema ortonormal

Definición

Ejemplos

Ortogonalización

Véase también