Fundamentos de Geometría

Los fundamentos de la geometría es una rama de las matemáticas que estudia los sistemas axiomáticos de la geometría euclidiana , así como diversas geometrías no euclidianas. Las preguntas principales son la completitud , la independencia y la consistencia de los sistemas axiomáticos. Los fundamentos de la geometría también están relacionados con el tema de la enseñanza de la geometría.

Historia

Los fundamentos de la geometría comenzaron a estudiarse después del advenimiento de la geometría de Lobachevsky . La primera tarea fue la formalización y finalización del sistema de axiomas de la geometría euclidiana .

Los axiomas de Euclides no estaban completos, y en sus pruebas, Euclides usó implícitamente axiomas que no figuran en su lista de axiomas. Por ejemplo, Euclides usó sin prueba que dos círculos centrados a una distancia de su radio se cortan en dos puntos.

Entre los axiomas utilizados implícitamente se encuentran los siguientes:

• Axioma de Arquímedes ,
• el teorema de Pasha ,
• Axioma Pasha .

Moritz Pasha debe ser considerado el fundador de los fundamentos de la geometría . En su libro Vorlesungen über neuere Geometrie, publicado en 1882, Pasch creó sistemas formales libres de influencias intuitivas. Primero utilizó el llamado " concepto indefinible " ( alemán:  Kernbegriffe ) además de axiomas ( alemán:  Kernsätzen ). El trabajo de Pasha influyó en muchos otros matemáticos, en particular Hilbert , Peano y Pieri .

Axiomas de Euclides

La axiomática de Euclides es el primer e incompleto sistema. Consistía en definiciones.

1. Un punto es lo que no tiene partes. ( Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν - lit. "Un punto es eso, parte del cual es nada")
2. Una línea es largo sin ancho.
3. Los bordes de la línea son puntos.
4. Una línea recta es aquella que se encuentra igualmente en todos sus puntos. ( Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται )
5. Una superficie es lo que tiene sólo largo y ancho.
6. Los bordes de la superficie son líneas.
7. Una superficie plana es aquella que se encuentra por igual en todas sus líneas.

y postulados

1. Se puede trazar una línea desde cualquier punto a cualquier punto.
2. Una línea acotada puede extenderse continuamente a lo largo de una línea recta.
3. Un círculo se puede describir desde cualquier centro con cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una recta que corta a dos rectas forma ángulos interiores de un solo lado menores que dos rectas, entonces, extendidas indefinidamente, estas dos rectas se encontrarán en el lado donde los ángulos son menores que dos rectas.

Sistemas completos de axiomas

• La axiomática de Hilbert es el sistema completo de axiomas de la geometría euclidiana más popular y conservador, construido sobre la base de los axiomas de Euclides. Consta de 20 axiomas y se divide en 5 grupos.
• La axiomática de Tarski .
• Axiomática de Weil : opera con conceptos indefinidos de un punto y un vector libre. Una recta y un plano se definen como conjuntos de puntos.
• Los axiomas de Birkhoff son un sistema de axiomas que utiliza números reales como un bloque prefabricado y, como resultado, es muy compacto, solo 4 axiomas.
• La axiomática de Bachmann es la construcción de la geometría basada en el concepto de simetría. [una]
• La axiomática de Alexandrov es un sistema de axiomas similar al de Hilbert, pero sin excesiva formalización.

Notas

1. ↑ Friedrich Bachmann. Construcción de geometría basada en el concepto de simetría. — 1969.

Literatura

• Aleksandrov A.D. Fundamentos de Geometría. — 1987.
• Hilbert D. Fundamentos de Geometría. - 1948. - (Clásicos de las ciencias naturales. Matemáticas, mecánica, física, astronomía).
• N. V. Efimov. geometría superior. - 7ª ed. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0267-2 .
• Norden AP (ed.). Sobre los fundamentos de la geometría. Colección de obras clásicas sobre geometría de Lobachevsky. - GITTL, 1956. - (Clásicos de las ciencias naturales, Libro 113).
• Pogorelov A.V. Fundamentos de Geometría. - Ciencia, 1979.