Número de armadura

En matemáticas , un número blindado es un número entero (en algún sistema numérico elegido ) en el que cada dígito del sistema numérico dado aparece al menos una vez. Por ejemplo, 122333444455555666666777777888888889999999990 es un número blindado decimal . La secuencia A050278 enumera los primeros números de armadura en decimal:

1023456789 1023456798 1023456879 1023456897 1023456978 1023456987 1023457689

El número blindado más pequeño en el sistema numérico de base b  es un número entero que toma la forma:

Esta tabla enumera los números blindados más pequeños en algunos sistemas numéricos seleccionados:

Base El número blindado más pequeño. Valores en sistema decimal
una una una
2 diez 2
3 102 once
4 1023 75
ocho 10234567 2177399
diez 1023456789 1023456789
12 1023456789AB 754777787027
dieciséis 1023456789ABCDEF 1162849439785405935
36 1023456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 2959962226643665039859858867133882191922999717199870715
números romanos MCDXLIV 1444

A049363 enumera los valores de los números blindados en decimal para los primeros 18 sistemas numéricos.

Trivialmente, todos los números enteros positivos están blindados en el sistema numérico unario. En el sistema numérico binario, todos los números enteros están blindados, excepto el 0 y los números que toman la forma ( número de Mersenne ). Cuanto más grande es el sistema numérico, menos números acorazados hay en él, aunque siempre puedes encontrar números acorazados seguidos uno tras otro con exceso de dígitos si escribes todos los dígitos del sistema numérico seleccionado juntos (pero sin anteponer ceros ni ceros) y agregue x + 1 ceros al final.

Además, por el contrario, cuanto más pequeño es el sistema numérico, menos números blindados sin dígitos innecesarios existen en él. 2 es el único número blindado de este tipo en el sistema de numeración binaria, mientras que hay más números de este tipo en el sistema de numeración decimal.

A veces, el término "número de armadura" se usa solo para aquellos números de armadura que no tienen dígitos redundantes. En algunos casos, un número puede llamarse blindado incluso si no tiene ceros o ceros. Por ejemplo, 923456781 (estos números a veces se denominan "números de shell distintos de cero").

Ni un solo número armado en el sistema numérico decimal puede ser un número primo si no tiene dígitos adicionales. La suma de los dígitos del 0 al 9 es 45, y este número es divisible sin resto por 3, 5 y 9. El primer número blindado en el sistema numérico decimal es 10123457689; A050288 continúa la secuencia.

Por varias razones, también se necesitan dígitos adicionales para que el número blindado (en cualquier sistema numérico que no sea unario) también sea un palíndromo en este sistema numérico. El número palindrómico blindado más pequeño en decimal es 1023456789876543201.

El número blindado más grande sin dígitos adicionales que también es un número cuadrado es 9814072356.

Dos de los números blindados distintos de cero de Friedmann son: 123456789 = ((86 + 2 × 7) 5  - 91) / 3 4 , y 987654321 = (8 × (97 + 6/2) 5 + 1) / 3 4 .

El número de armadura de Friedman sin dígitos innecesarios es un número cuadrado: 2170348569 = 46587 2 + (0 × 139).

Si bien mucho de lo dicho anteriormente no se aplica a los números romanos , existen números blindados: MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI. Estos números, enumerados en A105416 , usan cada dígito solo una vez, mientras que A105417 enumera números romanos con repeticiones.

Los números blindados a veces son útiles en la publicidad. Por ejemplo, algunos bancos utilizan anuncios con imágenes de tarjetas bancarias que muestran números blindados con números redundantes, lo que hace que la tarjeta bancaria representada sea ficticia.

Ejemplos de números blindados en notación decimal

Notas