Paradoja gemela

La paradoja de los gemelos es un experimento mental que intenta probar la inconsistencia de la teoría especial de la relatividad . Según SRT , desde el punto de vista de los observadores "estacionarios", todos los procesos en los objetos en movimiento se ralentizan . Por otro lado, el principio de relatividad declara la igualdad de los marcos de referencia inerciales. En base a esto, se construye un argumento que conduce a una aparente contradicción. Para mayor claridad, se considera la historia de dos hermanos gemelos. Uno de ellos (en adelante, el "viajero") realiza un vuelo espacial, el segundo (en adelante, el "hogareño") permanece en la Tierra. Después del vuelo, el viajero regresa a la Tierra. Muy a menudo, la "paradoja" se formula de la siguiente manera:

formulacion i . Desde el punto de vista de la persona hogareña, el reloj del viajero en movimiento tiene un movimiento lento del tiempo , por lo que al regresar, debe estar detrás del reloj de la persona hogareña. Por otro lado, en el marco de referencia del viajero, la Tierra se movía y aceleraba, por lo que el reloj del hogareño debe atrasarse. De hecho, los hermanos son iguales, por lo tanto, después de regresar, sus relojes deberían mostrar la misma hora.

Sin embargo, según SRT , si no se tiene en cuenta el potencial gravitacional de la Tierra, entonces el reloj del viajero se retrasará. En tal violación de la aparente simetría de los hermanos, se ve una contradicción.

Historia

El efecto de la dilatación relativista del tiempo fue formulado por Albert Einstein en su artículo de 1905 como el siguiente teorema:

Si hay dos relojes que funcionan sincrónicamente en el punto A, y movemos uno de ellos a lo largo de una curva cerrada a una velocidad constante hasta que regresan a A (lo que tomará, digamos, t segundos), entonces este reloj, al llegar a A retraso del reloj, que permaneció inmóvil ... [1]

En forma de paradoja , este efecto fue formulado en 1911 por Paul Langevin [2] . Darle a la paradoja una historia visual de los viajes espaciales la hizo popular, incluso en círculos no científicos. El mismo Langevin creía que la explicación de la paradoja está relacionada con el movimiento acelerado del viajero, que es necesario para su regreso a la Tierra.

El siguiente análisis de la paradoja fue realizado por Max von Laue en 1913 [3] . Desde su punto de vista, lo importante no son las etapas de la aceleración del viajero, sino el hecho mismo de que cambia el marco de referencia inercial cuando regresa a la Tierra.

Después de la creación de la teoría general de la relatividad, Albert Einstein en 1918 explicó la paradoja con la ayuda del hecho de que el campo gravitacional influye en el curso del tiempo [4] .

De hecho, según la teoría general de la relatividad, el reloj va más rápido cuanto mayor es el potencial gravitatorio en el lugar donde se encuentra.

Luego, en 1921, Wolfgang Pauli [5] propuso una explicación simple basada en la invariancia del tiempo propio .

Durante algún tiempo, la "paradoja de los gemelos" casi no atrajo la atención. En 1956-1959, Herbert Dingle publicó una serie de artículos [6] [7] argumentando que las explicaciones conocidas de la "paradoja" estaban equivocadas. A pesar de la falacia del argumento de Dingle [8] [9] , su trabajo ha provocado numerosos debates en revistas científicas y de divulgación científica [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] . Como resultado, han aparecido varios libros sobre este tema. De las fuentes en idioma ruso, vale la pena señalar los libros [18] [19] [20] [21] , así como el artículo [22] .

La mayoría de los investigadores no consideran que la “paradoja de los gemelos” sea una demostración de la contradicción de la teoría de la relatividad, aunque la historia del surgimiento de ciertas explicaciones de la “paradoja” y darle nuevas formas no se detiene hasta el día de hoy [23 ] [24] [25] [26] [27] .

Clasificación de las explicaciones de las paradojas

Una paradoja similar a la “paradoja de los gemelos” se puede explicar utilizando dos enfoques:

1) Revelar el origen del error lógico en el razonamiento que condujo a la contradicción; 2) Realizar cálculos detallados de la magnitud del efecto de dilatación del tiempo desde la posición de cada uno de los hermanos.

El primer enfoque depende de los detalles de la formulación de la paradoja. En las secciones " Las explicaciones más simples " y "La causa física de la paradoja " se darán varias versiones de la "paradoja" y se darán explicaciones de por qué no surge realmente la contradicción.

Como parte del segundo enfoque, los cálculos de las lecturas del reloj de cada uno de los hermanos se realizan tanto desde el punto de vista de una persona hogareña (lo que no suele ser difícil) como desde el punto de vista de un viajero. Dado que este último cambió su marco de referencia , existen varias opciones para tener en cuenta este hecho. Se pueden dividir condicionalmente en dos grandes grupos.

El primer grupo incluye cálculos basados en la teoría especial de la relatividad en el marco de marcos de referencia inerciales. En este caso, las etapas de movimiento acelerado se consideran despreciables en comparación con el tiempo total de vuelo. A veces se introduce un tercer marco de referencia inercial, moviéndose hacia el viajero, con la ayuda del cual las lecturas de su reloj se “transmiten” a su hermano hogareño. En la sección " Intercambio de señales " , se dará el cálculo más simple basado en el efecto Doppler .

El segundo grupo incluye cálculos que toman en cuenta los detalles del movimiento acelerado . A su vez, se dividen en función del uso o no uso de la teoría de la gravedad (GR) de Einstein en ellos. Los cálculos que utilizan la relatividad general se basan en la introducción de un campo gravitatorio efectivo , equivalente a la aceleración del sistema, y teniendo en cuenta los cambios en la tasa de tiempo en el mismo. En el segundo método , los sistemas de referencia no inerciales se describen en un espacio-tiempo plano y el concepto de campo gravitacional no está involucrado. Las ideas principales de este grupo de cálculos se presentarán en la sección " Marcos de referencia no inerciales ".

Efectos cinemáticos de SRT

SRT se basa en las transformaciones de Lorentz . Para comprender la esencia de la paradoja de los gemelos, es necesario un análisis cuidadoso de los principales efectos cinemáticos que se derivan de ellos. Considere dos marcos de referencia y , cuyos ejes espaciales son paralelos entre sí. Si el sistema se mueve relativamente a lo largo del eje con una velocidad , entonces: $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$ $\textstyle x$ $\estilo de texto v$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;t'=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

donde - la coordenada y el tiempo en el marco de referencia "fijo" , - la coordenada y el tiempo en el marco "móvil" . $\textstyle(x,t)$ $\estilo de texto S$ $\estilo de texto (x',t')$ $\textstyle S'$

Ralentización del tiempo

Si el reloj está estacionario en el sistema (en su propio marco de referencia), entonces para dos eventos sucesivos que ocurren en algún punto del sistema , la igualdad se cumple . Dichos relojes se mueven en relación con el sistema de acuerdo con la ley . Entonces se deduce de las transformaciones de Lorentz que el intervalo de tiempo entre eventos en el sistema está relacionado con el intervalo entre los mismos eventos en el sistema por la igualdad: $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta x'=0$ $\estilo de texto S$ $\textstyle \Delta x=v\Delta t$ $\textstyle \Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta t$ $\estilo de texto S$ $~~~\Delta t'=\Delta t\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}.$

Es importante entender que en esta fórmula, el intervalo de tiempo se mide por una hora de descanso ( ). Se compara con las lecturas de varios relojes diferentes que funcionan sincrónicamente ubicados en el sistema ( ), más allá de los cuales el reloj vuela a una velocidad de . $\textstyle \Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta x'=0$ $\textstyle \Delta t$ $\estilo de texto S$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ Delta x \ neq 0}$ $v$ $\textstyle S'$

El intervalo de tiempo medido por el reloj en el sistema entre eventos en el sistema es mayor que el intervalo medido por el reloj en su propio marco de referencia : porque $\textstyle \Delta t$ $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta t'$ $\textstyle S'$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ Delta t> \ estilo de texto \ Delta t'}$

\Delta t={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

En el sistema , el reloj en movimiento corre más lento que en su propio marco de referencia . $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S'$

Un punto importante del efecto de dilatación del tiempo está relacionado con la equivalencia de marcos de referencia inerciales ( principio de relatividad ). Los relojes que están estacionarios en el marco : se mueven en relación con los relojes sincronizados en el marco : y van más lentos que en su propio marco de referencia : porque $\estilo de texto S$ $\textstyle \Delta x=0$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta x'=-v\Delta t'$ $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ Delta t'> \ estilo de texto \ Delta t}$

\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

A pesar de la notación anterior, la última fórmula no contradice a la anterior. Cada uno de ellos describe diferentes procedimientos de medición. En el primer caso, un reloj que descansa en el sistema (su propio marco de referencia) pasa varias horas en , y en el segundo caso, la situación se invierte: un reloj en su propio marco de referencia pasa varias horas en . $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$ $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$

Relatividad de la Simultaneidad

La relatividad de la simultaneidad de eventos es el efecto clave de SRT, que es necesario para comprender la "paradoja de los gemelos". Considere un marco de referencia que se mueve con una velocidad en la dirección del eje del sistema . En cada uno de los sistemas , los relojes sincronizados se ubican a lo largo de los ejes. Que haya observadores cerca de cada reloj en ambos marcos de referencia. En las transformaciones de Lorentz se supone que en el momento del tiempo coinciden los orígenes de los sistemas de referencia: . A continuación se muestra una sincronización de la referencia de tiempo (en el reloj "central") desde el punto de vista de los observadores en el sistema de referencia (imagen de la izquierda) y desde el punto de vista de los observadores en (imagen de la derecha): $\textstyle S'$ $v$ $\textstyle x$ $\estilo de texto S$ $\textstyle x$ $X'$ $\textstyle t'=t=0$ $\textstyle x'=x=0$ $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$

Introduciendo las transformaciones de Lorentz obtenemos . Esto significa que los observadores en el sistema , simultáneamente con la coincidencia de la hora en el reloj central , registran diferentes lecturas en los relojes del sistema (figura de la izquierda). Para los observadores en , ubicado a la derecha del punto , con coordenadas , en el momento del tiempo, el reloj del marco de referencia fijo muestra el tiempo "futuro": . Los observadores a la izquierda de fijan la hora "pasada" del reloj : . La posición de las manecillas simboliza la diferencia entre las lecturas del reloj de los dos marcos de referencia. Por ejemplo, dos eventos que ocurrieron a la vez en diferentes puntos del sistema , no ocurren simultáneamente en el marco de referencia desde el punto de vista de los observadores en el sistema : el evento de la izquierda ocurre antes que el de la derecha. $\textstyle t'=0$ $\textstyle t=vx/c^2$ $\textstyle S'$ $\textstyle t'=t=0$ $\textstyle x'=x=0$ $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$ $\textstyle x=0$ $\textstyle x>0$ $\textstyle t'=0$ $\estilo de texto S$ $\textstyle t=vx/c^2>0$ $\textstyle S'$ $\textstyle x=0$ $\estilo de texto S$ $\textstyle t<0$ $\textstyle t'=0$ $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$

Esta afirmación es cierta para cualquier punto en el tiempo . De las transformaciones de Lorentz se sigue que si , entonces Por lo tanto, si , entonces y . Esto significa que en el marco de referencia el evento de la izquierda en el punto ocurre antes que el de la derecha en el punto : . Este hecho lo solucionan los relojes sincronizados en el sistema . Así, los observadores en ambos sistemas arreglarán la no simultaneidad de eventos en el sistema . $t'$ $\Delta t'=0$ $\Delta t={\frac {v}{c^{2}}}\Delta x.$ $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $\estilo de texto S$ $x_{1}$ $x_{1}<x_{2}$ $x_{2}$ ${\ estilo de visualización t_ {1} t_ {2}}$ $\estilo de texto S$ $\estilo de texto S$

Dado que los sistemas son iguales , desde el punto de vista de los observadores del sistema, los relojes del sistema no están sincronizados. Los eventos que ocurren simultáneamente en diferentes puntos del sistema no ocurren simultáneamente en el sistema para los observadores de ambos sistemas. $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$

En cada marco de referencia inercial se puede introducir un único “real”, es decir, relojes que funcionan sincrónicamente en diferentes puntos del espacio. Sin embargo, no existe un único “real” para dos marcos de referencia diferentes.

Desde su punto de vista, el sistema en movimiento relativo a los observadores estacionarios contiene relojes desincronizados en la dirección del movimiento, una especie de unión continua del “pasado”, el “presente” y el “futuro”.

Los efectos de la dilatación del tiempo y la relatividad de la simultaneidad están estrechamente relacionados entre sí y son igualmente necesarios para calcular la situación descrita en la “paradoja” de los gemelos.

Las explicaciones más simples

Debido a su larga historia, la paradoja de los gemelos existe en una variedad de formulaciones. La mayoría de las veces, un método u otro demuestra la simetría de los hermanos, de lo que debe seguirse una contradicción con la conclusión SRT de que el reloj del viajero se atrasará. La versión original de la paradoja ( Formulación I ) no especifica la naturaleza del movimiento del viajero. Por lo tanto, la siguiente explicación simple es válida para ello (a nivel cualitativo):

explicación yo Los hermanos no son iguales, ya que uno de ellos (el viajero) experimentó las etapas de movimiento acelerado necesarias para su regreso a la Tierra [2] .

Sin embargo, como muestran los datos experimentales, la aceleración como tal no afecta la velocidad del reloj [28] . Así, en este caso, la aceleración es sólo un indicador de algún fenómeno que introduce asimetría en los estados del viajero y del teleadicto.

Por supuesto, la constatación de la asimetría de los hermanos no explica por sí misma por qué es el reloj del viajero el que debe atrasarse, y no el del hogareño. Además, a menudo surgen malentendidos:

“¿Por qué la violación de la igualdad de los hermanos por un tiempo tan corto (deteniendo al viajero) conduce a una violación de la simetría tan llamativa?”

Esto se puede ver claramente en la Fig. 1 y 2, que muestran la misma situación desde diferentes puntos de vista. En la fig. 1 considera el marco de referencia inercial asociado con la Tierra. Arroz. 2 muestra el marco inercial asociado con el barco. Sin embargo, dado que el barco no se mueve uniformemente todo el tiempo (suponemos condicionalmente que su trayectoria consta de dos secciones de movimiento uniforme separadas por una aceleración a corto plazo), el marco de referencia inercial puede coincidir con el barco solo en una parte de su trayectoria. Consideramos un sistema que coincide con el barco en la primera mitad de su viaje.

Como puede verse en la fig. 1 y 2:

En ambos casos, la línea del mundo de la Tierra es recta.
En ambos casos, la línea de mundo del barco es una línea discontinua.

Dado que la línea discontinua en cualquier sistema de referencia es más larga que la línea recta, el viajero recorre un camino más largo en el espacio-tiempo, y un camino más largo corresponde a un tiempo propio más pequeño.

Para comprender mejor las causas de la asimetría y las consecuencias a las que conducen, es necesario resaltar una vez más las premisas clave que están explícita o implícitamente presentes en cualquier formulación de la paradoja. Para hacer esto, supondremos que a lo largo de la trayectoria del viajero en el marco de referencia "fijo" asociado con la persona hogareña, hay relojes que funcionan sincrónicamente (en este marco). Entonces es posible la siguiente cadena de razonamiento, como si probara la inconsistencia de las conclusiones de SRT:

El viajero, pasando volando por delante de cualquier reloj que esté estacionario en el sistema homebody, observa su marcha lenta.
El ritmo más lento del reloj significa que sus lecturas acumuladas se retrasarán con respecto al reloj del viajero, y en un vuelo largo, arbitrariamente mucho.
Habiendo detenido rápidamente, el viajero aún debe observar el retraso del reloj ubicado en el "punto de parada".
Todos los relojes en el sistema "fijo" funcionan sincrónicamente, por lo que el reloj del hermano en la Tierra también se atrasará, lo que contradice la conclusión de SRT.

Entonces, ¿por qué el viajero realmente observaría que su reloj se retrasa con respecto al del sistema "estacionario", a pesar de que todos esos relojes funcionan más lento desde su punto de vista? La explicación más simple [29] dentro de SRT es que es imposible sincronizar todos los relojes en dos marcos de referencia inerciales. Echemos un vistazo más de cerca a esta explicación.

La causa física de la paradoja

Durante el vuelo, el viajero y el hogareño se encuentran en diferentes puntos del espacio y no pueden comparar directamente sus relojes. Por lo tanto, como anteriormente, supondremos que a lo largo de la trayectoria del viajero en el sistema "inmóvil" asociado con el homebody, hay relojes idénticos que funcionan sincrónicamente que el viajero puede observar durante el vuelo. Gracias al procedimiento de sincronización en el sistema de referencia "inmóvil", se introduce un tiempo único que determina en ese momento el "presente" de este sistema.

Después del inicio, el viajero se "transfiere" a un marco de referencia inercial , moviéndose relativamente "estacionario" con una velocidad . Este momento es tomado por los hermanos como el inicial . Cada uno de ellos verá cómo el reloj del otro hermano se detiene. $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$ $\estilo de texto v$ $\textstyle t=t'=0$

Sin embargo, deja de existir un único sistema “real” para el viajero. El sistema de referencia tiene su propio "real" (muchos relojes sincronizados). Para un sistema , cuanto más lejos están las partes del sistema en el camino del viajero , más distantes están el "futuro" (desde el punto de vista del sistema "real" ). $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$

El viajero no puede observar directamente este futuro. Esto podría ser realizado por otros observadores del sistema ubicados por delante del movimiento y sincronizados en tiempo con el viajero. $\textstyle S'$

Por lo tanto, aunque todos los relojes en un marco de referencia fijo por el que vuela el viajero son más lentos desde su punto de vista, no se sigue de esto que vayan a retrasarse con respecto a su reloj.

En el tiempo t , cuanto más adelante esté el reloj "estacionario", mayor será su lectura desde el punto de vista del viajero. Cuando llegue a esas horas, no estarán lo suficientemente atrasadas para compensar la diferencia horaria inicial. $\textstyle t'=0$

Efectivamente, pongamos la coordenada del viajero en las transformaciones de Lorentz igual a . La ley de su movimiento relativo al sistema tiene la forma . El tiempo transcurrido desde el inicio del vuelo, según el reloj del sistema , es menor que en : , ya que $\textstyle x'=0$ $\estilo de texto S$ $\textstyle x=vt$ $\textstyle S'$ $\estilo de texto S$ $t'<t$

t ′ = t − v ( v t ) / C 2 una − v 2 / C 2 = t una − v 2 / C 2 . {\displaystyle t'={\frac {tv(vt)/c^{2)){\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))=t\,{\sqrt {1 -v^{2}/c^{2}}}.} $t'={\frac {tv(vt)/c^{2)){\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))=t\,{\sqrt {1 -v^{2}/c^{2}}}.$

En otras palabras, la hora en el reloj del viajero está atrasada con respecto al reloj del sistema . Al mismo tiempo, el reloj por el que vuela el viajero sigue en : . Por lo tanto, su ritmo de avance para el viajero se ve lento: $t'$ $t$ $S$ $\estilo de texto S$ $\textstyle \Delta x = 0$

\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} > \Delta t.

De este modo:

a pesar del hecho de que todos los relojes particulares del sistema corren más lento desde el punto de vista de un observador en , diferentes relojes a lo largo de su trayectoria mostrarán el tiempo que se ha adelantado. $\estilo de texto S$ $\textstyle S'$

La diferencia en la velocidad del reloj y - el efecto es relativo, mientras que los valores de las lecturas actuales y en un punto espacial - son absolutos. Los observadores que se encuentran en diferentes marcos de referencia inerciales , pero "en el mismo" punto espacial, siempre pueden comparar las lecturas actuales de sus relojes. El viajero, pasando volando el reloj del sistema , ve que se ha adelantado . Por lo tanto, si el viajero decide detenerse (frenar rápidamente), nada cambiará y caerá en el “futuro” del sistema . Naturalmente, después de la parada, el ritmo de su reloj y el reloj serán los mismos. Sin embargo, el reloj del viajero mostrará menos tiempo que el reloj del sistema en el punto de parada. Debido a la hora uniforme en el sistema , el reloj del viajero se retrasará con respecto a todos los relojes , incluido el de su hermano. Después de la parada, el viajero puede regresar a casa. En este caso, se repite todo el análisis. En consecuencia, tanto en el punto de parada y giro, como en el punto de partida al volver, el viajero es más joven que su hermano-hogareño. $\Delta t$ $\Delta t'$ $t$ $t'$ $\estilo de texto S$ $\textstyle t>t'$ $\estilo de texto S$ $\estilo de texto S$ $\estilo de texto S$ $\estilo de texto S$ $\estilo de texto S$

Si, en lugar de detener al viajero, el que se queda en casa acelera a su velocidad, entonces "entrará" en el "futuro" del sistema del viajero. Como resultado, el "hogareño" será más joven que el "viajero". De este modo:

quien cambia de marco de referencia, resulta ser más joven.

Señalización

El cálculo de la dilatación del tiempo a partir de la posición de cada hermano se puede realizar analizando el intercambio de señales entre ellos [30] . Aunque los hermanos, al estar en diferentes puntos del espacio, no pueden comparar directamente las lecturas de sus relojes, pueden transmitir señales de “hora exacta” usando pulsos de luz o transmisión de video de la imagen del reloj. Está claro que en este caso no observan la hora “actual” en el reloj del hermano, sino la “pasada”, ya que la señal tarda en propagarse desde la fuente hasta el receptor.

Al intercambiar señales, se debe tener en cuenta el efecto Doppler . Si la fuente se aleja del receptor, la frecuencia de la señal disminuye y, cuando se acerca, aumenta:

donde es la frecuencia natural de la radiación, y es la frecuencia de la señal recibida por el observador. El efecto Doppler tiene un componente clásico y un componente relativista directamente relacionado con la dilatación del tiempo. La velocidad incluida en la relación de cambio de frecuencia es la velocidad relativa de la fuente y el receptor. $\estilo de texto \nu_0$ $\estilo de texto \nu$ $\estilo de texto v$

Considere una situación en la que los hermanos se transmiten cada segundo (a través de sus relojes) las señales horarias exactas. Primero hagamos el cálculo desde el punto de vista del viajero. $\estilo de texto \nu_0=1$

Cálculo del viajero

Mientras el viajero se aleja de la Tierra, debido al efecto Doppler , registra una disminución en la frecuencia de las señales recibidas. La transmisión de video de la Tierra parece ser más lenta. Después de frenar y detenerse rápidamente, el viajero deja de alejarse de las señales terrestres, y su período inmediatamente [comm 1] resulta ser igual a su segundo. El ritmo de la transmisión del video se vuelve "natural", aunque, debido a la finitud de la velocidad de la luz, el viajero sigue observando el "pasado" de su hermano. Habiendo dado la vuelta y acelerado, el viajero comienza a "correr" [comm 2] sobre las señales que vienen hacia él y su frecuencia aumenta (nuevamente debido al efecto Doppler ). Los "movimientos de hermano" en el video transmitido a partir de este momento comienzan a verse acelerados para el viajero [comm 3] .

El tiempo de vuelo según el reloj del viajero en una dirección es igual a , y lo mismo en la dirección opuesta. El número de "segundos terrestres" tomados durante el viaje es igual a su frecuencia multiplicada por el tiempo. Por lo tanto, al alejarse de la Tierra, el viajero recibirá significativamente menos "segundos": $\textstyle t'_1$ $\textstyle t'=2t'_1$ $\estilo de texto \nu$

t_1 = t'_1\cdot \sqrt{\frac{cv}{c+v}} < t'_1,

y al acercarse, por el contrario, más:

t_2 =t'_1\cdot \sqrt{\frac{c+v}{cv)) > t'_1.

El número total de "segundos" recibidos de la Tierra durante el tiempo t es mayor que los transmitidos a ella: $\textstyle t'=2t'_1$

t = t_1 + t_2 = t'_1\cdot \frac{cv}{\sqrt{c^2-v^2}} + t'_1\cdot \frac{c+v}{\sqrt{c^2- v^2}}= \frac{t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}},

exactamente de acuerdo con la fórmula de dilatación del tiempo.

Cálculo de una persona hogareña

Una aritmética algo diferente para una persona hogareña. Mientras su hermano se aleja, también registra un mayor período de tiempo exacto transmitido por el viajero. Sin embargo, a diferencia de su hermano, el hogareño observa tal desaceleración por más tiempo . El tiempo de vuelo para una distancia en una dirección es según los relojes terrestres . El quedarse en casa verá el frenado y giro del viajero después del tiempo adicional requerido para que la luz recorra la distancia desde el punto de giro. Por lo tanto, solo después del tiempo desde el inicio del viaje, el hogareño registrará el trabajo acelerado del reloj [comm 4] del hermano que se acerca: $\ estilo de texto L$ $\estilo de texto t_1$ $\textstyle t_2=L/c$ $\ estilo de texto L$ $\textstyle t_1+t_2$

El tiempo de movimiento de la luz desde el punto de giro se expresa en términos del tiempo de vuelo del viajero hasta allí de la siguiente manera (ver figura):

t_2=\frac{L}{c}=\frac{vt_1}{c}.

Por tanto, el número de "segundos" recibidos del viajero, antes del momento de su turno (según las observaciones del homebody) es igual a:

t'_1 = (t_1+t_2)\cdot\sqrt{\frac{cv}{c+v}} = t_1\cdot \left(1+\frac{v}{c}\right)\cdot\sqrt{ \frac{cv}{c+v}} = t_1\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

El ama de casa recibe señales con mayor frecuencia a lo largo del tiempo (ver la figura de arriba), y recibe los "segundos" del viajero: $\estilo de texto t_1-t_2$ $\textstyle t'_2$

t'_2= (t_1-t_2) \cdot\sqrt{\frac{c+v}{cv}} = t_1\cdot \left(1-\frac{v}{c}\right)\cdot\sqrt{ \frac{c+v}{cv}} = t_1\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

El número total de "segundos" recibidos por el tiempo es igual a: $\textstyle t=2t_1$

t'= t'_1+t'_2 = t\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}.

Así, la razón de la lectura del reloj en el momento del encuentro del viajero ( ) y el hermano hogareño ( ) no depende de desde qué punto de vista se calcule. $\textstyle t'$ $\ estilo de texto t$

Interpretación geométrica

En el espacio de Minkowski, la línea universal de un observador en reposo (o que se mueve uniforme y rectilíneamente) es un segmento de línea recta. La línea del mundo de un viajero que se alejó de la Tierra y regresó a ella no es una línea recta (en el caso más simple de un cambio instantáneo de velocidad al contrario en el punto de inflexión, es una línea discontinua, y al pasar parte de la trayectoria con aceleración constante, el tramo correspondiente de la recta será un arco de hipérbola). Así como en la geometría ordinaria, de todas las líneas que conectan dos puntos, la más corta es una línea recta, así en el espacio de Minkowski, de todas las líneas del mundo que conectan dos puntos, la más larga (y no la más corta debido al espacio-tiempo pseudo- euclidiano ) es un segmento recto.

Dado que la longitud de la línea universal de un observador que se movió en el espacio de Minkowski del punto a al punto w es, hasta un factor c , igual al tiempo que dedicó a este movimiento en su propio marco de referencia, tenemos que todos los observadores que comenzaron en el punto a y los que terminaron en el punto w , en el marco de referencia del observador que estaba en reposo (o se movía uniforme y rectilíneamente, si las coordenadas espaciales de los puntos a y w no coinciden), pasarán el mayor tiempo.

Para comprender cómo se manifiesta la diferencia horaria entre gemelos, es necesario comprender que en la teoría especial de la relatividad no existe el concepto de presente absoluto . Para diferentes marcos de referencia inerciales, hay diferentes conjuntos de eventos que son simultáneos en este marco de referencia. Esta relatividad de la simultaneidad significa que cambiar de un marco de referencia inercial a otro requiere un ajuste a qué porción del espacio-tiempo se considera "real". En el diagrama de espacio-tiempo de la derecha, dibujado para el marco de referencia del gemelo terrestre, la línea del mundo de este gemelo coincide con el eje vertical (su posición es constante en el espacio, se mueve solo en el tiempo). En el primer segmento del camino, el segundo gemelo se mueve hacia la derecha (línea negra inclinada); y en el segundo segmento de vuelta a la izquierda. Las líneas azules muestran los planos de simultaneidad del gemelo viajero en el primer tramo del viaje; líneas rojas en el camino de regreso. Justo antes de dar la vuelta, el gemelo viajero calcula la edad del gemelo terrestre midiendo el intervalo a lo largo del eje vertical desde el origen hasta la línea azul superior. Inmediatamente después de la rotación, si vuelve a calcular, medirá el intervalo desde el origen hasta la línea roja inferior. En cierto sentido, durante el giro, el plano de simultaneidad salta del azul al rojo y muy rápidamente vuela a través de un gran segmento de la línea del mundo del gemelo terrestre. Durante la transición del marco de referencia inercial de "salida" al marco de referencia inercial de "retorno", hay un cambio abrupto en la edad del gemelo en la Tierra [31] [32] [33] [34] [35] .

Marcos de referencia no inerciales

En los sistemas de referencia arbitrarios , las propiedades del espacio y el tiempo están determinadas por el tensor métrico , que establece el intervalo entre dos eventos infinitamente cercanos: $\textstyle g_{\mu\nu}$

ds^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu = g_{00}\, (dx^0)^2 + 2\,g_{0i}\,dx^0dx^i + g_{ij}\,dx^idx^j,

donde, al repetir los índices, se implica la sumatoria (en letras griegas del 0 al 3, y en latín del 1 al 3), - coordenada temporal, - espacial. El tiempo propio de un reloj a lo largo de su trayectoria se define como sigue: $\textstyle x^0=ct$ $\textstyle x^i=(x,y,z)$

\frac{1}{c}\int\limits^t_0 ds.

Su valor es un invariante , por lo tanto, los cálculos realizados en diferentes sistemas de referencia deberían dar el mismo resultado.

Cálculo de una persona hogareña

El gemelo que queda en la Tierra está en el marco de referencia inercial , por lo que la métrica para él se puede elegir de tal manera que

ds^2=(cdt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2.

En este caso, la hora propia de cualquier reloj toma una forma simple:

\int\limits^t_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)/c^2}\cdot dt,

donde esta la velocidad del reloj Los relojes terrestres son estacionarios ( ), y su hora propia es igual a la coordenada de tiempo . El reloj del viajero tiene una velocidad variable . Dado que la raíz bajo la integral permanece menor que uno todo el tiempo, el tiempo de estos relojes, independientemente de la forma explícita de la función , siempre resulta ser menor que . como resultado $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstyle \mathbf{u}=0$ $\textstyle \tau_0=t$ $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\ estilo de texto t$ $\textstyle \tau'_0<\tau_0$

Si la aceleración y la desaceleración se aceleran relativistamente de manera uniforme (con el parámetro de la propia aceleración ) durante , y el movimiento uniforme es , entonces el tiempo pasará de acuerdo con el reloj del barco [36] : $\textstyle un$ $\tau_1$ $\tau_2$

\tau_0 = \frac{2c}{a}\,\ln\left[\frac{a\tau_1}{c}+\sqrt{1+\left(\frac{a\tau_1}{c}\right) ^2}\right] + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2)) = \frac{2c}{a}\, \operatorname{arcsinh}\frac{a \tau_1}{c} + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2))

, donde está el arcoseno hiperbólico

\operatorname{arcsinh}

Considere un vuelo hipotético al sistema estelar Alfa Centauro , distante de la Tierra a una distancia de 4,3 años luz . Si el tiempo se mide en años y las distancias en años luz, entonces la velocidad de la luz es igual a uno, y la unidad de aceleración de año luz/año² está cerca de la aceleración de la gravedad y es aproximadamente igual a 9,5 m/s². $\estilo de texto c$ $\estilo de texto a=1$

Deje que la nave espacial se desplace la mitad de su recorrido con la unidad de aceleración y reduzca la velocidad la otra mitad con la misma aceleración ( ). Entonces la nave da la vuelta y repite las etapas de aceleración y desaceleración. En esta situación, el tiempo de vuelo en el sistema de referencia terrestre será de aproximadamente 12 años, mientras que según el reloj de la nave pasarán 7,3 años. La velocidad máxima de la nave alcanzará el 0,95 de la velocidad de la luz. $\textstyle \tau_2=0$

En 59 años de tiempo adecuado, una nave espacial con aceleración unitaria podría potencialmente hacer un viaje (regresando a la Tierra) a la galaxia de Andrómeda , a 2,5 millones de años luz de distancia. años _ En la Tierra, durante tal vuelo, pasarán unos 5 millones de años. Desarrollando el doble de aceleración (a lo que una persona entrenada bien puede acostumbrarse bajo una serie de condiciones y usando una serie de dispositivos, por ejemplo, animación suspendida ), uno puede incluso pensar en una expedición al borde visible del Universo ( unos 14 mil millones de años luz), lo que les llevará a los astronautas unos 50 años; sin embargo, al regresar de tal expedición (después de 28 mil millones de años según los relojes terrestres), sus participantes corren el riesgo de no encontrar con vida no solo a la Tierra y al Sol, sino incluso a nuestra galaxia, la Vía Láctea. . Según estos cálculos, un radio de acceso razonable para expediciones interestelares con retorno no excede varias decenas de años luz, a menos, por supuesto, que se descubran principios físicos fundamentalmente nuevos de movimiento en el espacio-tiempo. Sin embargo, el descubrimiento de numerosos exoplanetas sugiere que los sistemas planetarios se encuentran cerca de una proporción bastante grande de estrellas, por lo que los astronautas tendrán algo que explorar en este radio (por ejemplo, los sistemas planetarios ε Eridanus y Gliese 581 ).

Cálculo del viajero

Para realizar el mismo cálculo a partir de la posición del viajero, es necesario fijar el tensor métrico correspondiente a su marco de referencia no inercial . En relación con este sistema, la velocidad del viajero es cero, por lo que la hora en su reloj es

\tau'_0=\int\limits^t_0\sqrt{g_{00}}\;dt.

Tenga en cuenta que es el tiempo de coordenadas y en el sistema del viajero difiere del tiempo del sistema de referencia de la persona de origen. $\ estilo de texto t$ $\ estilo de texto t$

El reloj terrestre es libre, por lo que se mueve a lo largo de la geodésica definida por la ecuación [37] :

\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^\mu_{\nu\lambda}\,\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\lambda}{ds }=0,

donde están los símbolos de Christoffel , expresados en términos del tensor métrico . Para un tensor métrico dado de un marco de referencia no inercial, estas ecuaciones nos permiten encontrar la trayectoria del reloj del hogareño en el marco de referencia del viajero. Su sustitución en la fórmula del tiempo propio da el intervalo de tiempo transcurrido según el reloj “estacionario”: $\textstyle \Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ $\textstyle g_{\mu\nu}$ $\textstyle x^i(t)$

\tau_0 = \int\limits^t_0 \sqrt{g_{00} + 2g_{0i}\,u^i/c + g_{ij}\,u^iu^j/c^2}\cdot dt,

donde es la coordenada de velocidad del reloj terrestre. $\textstyle u^i(t)=dx^i/dt$

Es posible una descripción similar de los sistemas de referencia no inerciales con la ayuda de la teoría de la gravedad de Einstein o sin hacer referencia a esta última. Los detalles del cálculo en el marco del primer método se pueden encontrar, por ejemplo, en el libro de Fock [38] o Möller [39] . El segundo método se considera en el libro de Logunov [40] .

El resultado de todos estos cálculos muestra que, desde el punto de vista del viajero, su reloj se retrasará respecto al de un observador estacionario. Como resultado, la diferencia en el tiempo de viaje desde ambos puntos de vista será la misma y el viajero será más joven que el hogareño. Si la duración de las etapas de movimiento acelerado es mucho menor que la duración del vuelo uniforme, entonces el resultado de cálculos más generales coincide con la fórmula obtenida en el marco de los marcos de referencia inerciales.

Conclusiones

El razonamiento detrás de la historia de los gemelos solo conduce a una aparente contradicción lógica. Con cualquier formulación de la “paradoja”, no existe una simetría completa entre los hermanos. Además, la relatividad de la simultaneidad de los hechos juega un papel importante para entender por qué el tiempo se ralentiza precisamente para un viajero que ha cambiado de marco de referencia.

El cálculo del valor de la dilatación del tiempo a partir de la posición de cada hermano se puede realizar tanto en el marco de cálculos elementales en SRT, como utilizando el análisis de marcos de referencia no inerciales. Todos estos cálculos son consistentes entre sí y muestran que el viajero será más joven que su hermano hogareño.

La paradoja de los gemelos a menudo también se denomina erróneamente la conclusión misma de la teoría de la relatividad de que uno de los gemelos envejecerá más que el otro. Aunque esta situación es inusual, no hay una contradicción inherente en ella. Numerosos experimentos sobre la prolongación de la vida útil de las partículas elementales y la ralentización de la velocidad de los relojes macroscópicos durante su movimiento confirman la teoría de la relatividad. Esto da motivos para afirmar que la dilatación del tiempo descrita en la historia de los gemelos también ocurrirá en la implementación real de este experimento mental.

Véase también

Comentarios

↑ Aquí la luz es considerada en ISO, es decir, en el sistema de un teleadicto, no de un viajero
↑ "Correr" desde el punto de vista de una persona hogareña. En relación con el viajero, la fuente de radiación (homebody) vuela hacia.
↑ Esto se refiere a la recepción acelerada de la señal, sin embargo, desde el punto de vista del viajero, todo el mundo del hogareño se ralentiza de acuerdo con la dilatación del tiempo relativista.
↑ Esto se refiere a la mayor velocidad de recepción de los impulsos del viajero debido a su movimiento hacia.

Notas

↑ Einstein A. " Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento ", Ann. d. Phys., 1905 a. 17, art. 89, traducción rusa en “Einstein A. Colección de artículos científicos en cuatro volúmenes. Tomo 1. Obras sobre la teoría de la relatividad 1905-1920. Moscú: Nauka, 1965.
↑ 1 2 Langevin P. " L'evolution de l'espace et du temps ". Ciencia 10:31-54. (1911)
↑ Laue M. (1913) " Das Relativit\"atsprinzip ". Wissenschaft (Nº 38) (2 ed.). (1913)
↑ Einstein A. " Diálogo sobre objeciones a la teoría de la relatividad ", Naturwiss., 6, pp.697-702. (1918). traducción al ruso "A. Einstein, Colección de artículos científicos, volumen I, M., Science (1965)
↑ Pauli V. - " Teoría de la Relatividad " M.: Nauka, 1991.
↑ Dingle H. Relatividad y viajes espaciales , Nature 177, 4513 (1956).
↑ Dingle H. " Una posible prueba experimental del segundo postulado de Einstein ", Nature 183, 4677 (1959).
↑ Coawford F. " Verificación experimental de la paradoja del reloj en la relatividad ", Nature 179, 4549 (1957).
↑ Darvin S., " La paradoja del reloj en la relatividad ", Nature 180, 4593 (1957).
↑ Boyer, R., " La paradoja del reloj y la relatividad general ", Einstein Miscellany, Science, (1968).
↑ Campbell W., " La paradoja del reloj ", Canadá. Aeronauta. J.4, 9, (1958)
↑ Frey R., Brigham V., " Paradoja de los gemelos ", Amer. J Phys. 25,8 (1957)
↑ Leffert S., Donahue T., " La paradoja del reloj y la física de los campos gravitacionales discontinuos ", Amer. J Phys. 26, 8 (1958)
↑ McMillan E., " La "paradoja del reloj" y los viajes espaciales ", Science, 126, 3270 (1957)
↑ Romer R., " Paradoja de los gemelos en la relatividad especial ". amer J Phys. 27, 3 (1957)
↑ Schild, A. " La paradoja del reloj en la teoría de la relatividad ", Amer. Matemáticas. Bocaly 66, 1, 1-8 (1959).
↑ Singer S., " Relatividad y viajes espaciales ", Nature 179.4567 (1957)
↑ Skobeltsyn D. V. , " La paradoja de los gemelos en la teoría de la relatividad ", "Ciencia", (1966).
↑ Goldenblat I.I., " Paradojas del tiempo en la mecánica relativista ", M. "Nauka", (1972).
↑ Terletsky Ya. P. " Paradojas de la Teoría de la Relatividad ", M.: Nauka (1965)
↑ Ugarov V. A. - " Teoría especial de la relatividad " M.: "Nauka", (1977)
↑ M. Born , " Space travel and the clock paradox " Archivado el 18 de octubre de 2016 en Wayback Machine , UFN, 69, no. 1 (1959)
↑ Dray T., " La paradoja de los gemelos revisada " Amer. J. de Phys. V.58, I.9, págs. 822-825 (1990)
↑ Deb TA. Pelirroja, MLG " Paradox of the twins " Amer. J. de Phys. V.64; N.4, págs.384-391, (1996)
↑ Cranor MB, Heider EM, Price RH " Una paradoja de los gemelos circulares " Amer. J. de Phys. V.68; Pág. 11, págs. 1016-1020 (2000)
↑ Muller T., King A., Adis D., " Un viaje al fin del universo y la paradoja de los gemelos " Amer. J. de Phys. V.76; N.4/5, págs.360-373 (2008)
↑ Grandou T., Rubin JL, " Sobre los ingredientes de la paradoja de los gemelos " Int.J. de Teor. Phys., V. 48, N. 1, págs. 101-114 (2009)
↑ Mizner C., Thorn C., Wheeler J. § 38.4. COMPROBACIÓN DE LA EXISTENCIA DE UNA MÉTRICA QUE DETERMINA LAS MEDIDAS DE LONGITUD Y TIEMPO Y TAMBIÉN LA CINEMÁTICA DE LAS PARTÍCULAS // Gravedad. - M. : Mir, 1977. - T. 3. - S. 296. - 512 p.
↑ La paradoja de los gemelos . Consultado el 23 de julio de 2022. Archivado desde el original el 16 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ Eisenlohr H., Otra nota sobre la paradoja de los gemelos, Amer. J. Phys., 36, 635 (1968) [1]
↑ Ohanian, Hans. Relatividad especial: una introducción moderna. - Lakeville, MN: Plan de estudios e instrucción de física, 2001. - ISBN 0971313415 .
↑ Harris, Randy. Física moderna. - San Francisco, CA: Pearson Addison-Wesley, 2008. - ISBN 978-0805303087 .
↑ Kogut, John B. Introducción a la relatividad: para físicos y astrónomos . - Prensa Académica, 2012. - Pág. 35. - ISBN 978-0-08-092408-3 . Archivado el 30 de abril de 2021 en Wayback Machine . Extracto de la página 35. Archivado el 20 de febrero de 2017 en Wayback Machine .
↑ Wheeler, J., Taylor, E. (1992). Física del espacio-tiempo, segunda edición. W. H. Freeman: Nueva York, págs. 38, 170-171.
↑ Einstein, A., Lorentz, HA, Minkowski, H. y Weyl, H. (1923). Arnold Sommerfield. edición El Principio de la Relatividad. Publicaciones de Dover: Mineola, Nueva York. pags. 38.
↑ Movimiento acelerado en relatividad especial, sitio "Mundo relativista: conferencias sobre la teoría de la relatividad, la gravedad y la cosmología"
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoría de campo. - 8ª edición, estereotipada. — M .: Fizmatlit , 2006 . — 534 pág. - ("Física Teórica", Tomo II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
↑ Fok V.A. " Teoría del espacio, el tiempo y la gravedad " M.: State ed.tekh.-theor.lit., (1955)
↑ Möller K. " Teoría de la Relatividad " M.: " Atomizdat ", 1975.
↑ Logunov A. A. , “ Conferencias sobre la teoría de la relatividad y la gravitación. Análisis moderno del problema ", M.: "Ciencia" (1987)

Información adicional

Descripción general de Twin Paradox en Usenet Physics FAQ
Wolfgang Rindler, Wolfgang Rindler. Dilatación del tiempo // Relatividad: especial, general y cosmológica (inglés) . - Oxford University Press , 2006. - Pág. 43. - ISBN 0198567316 .
Animaciones FLASH: de John de Pillis. (Escena 1): "Vista" desde el punto de vista del gemelo de la Tierra. (Escena 2): "Vista" desde el punto de vista del gemelo viajero. (Inglés)
Paradoja gemela / Sitio web Mundo relativista: conferencias sobre la teoría de la relatividad, la gravedad y la cosmología

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