Subespacio

Subespacio es un concepto utilizado (directamente o en frases) en varias secciones de las matemáticas.

Un subespacio es un subconjunto de algún espacio ( afín , vectorial , proyectivo , topológico , métrico , etc.), que es en sí mismo un espacio del tipo correspondiente con propiedades inducidas por el espacio ambiental.

El prefijo "bajo" se usa en el mismo sentido para otras entidades matemáticas, como subgrafo , subgrupo , subcategoría , etc.

Ejemplos

Un subconjunto no vacío de un espacio vectorial (lineal) sobre un campo es un subespacio vectorial (lineal) si se cumplen dos propiedades: para cualquier vector , la suma y para cualquier vector y cualquier vector . En particular, un subespacio contiene necesariamente un vector espacial nulo (también es un vector espacial nulo ). $L'\subconjunto L$ $L$ $F$ ${\ estilo de visualización x, y \ en L'}$ ${\ estilo de visualización x + y \ en L'}$ ${\ estilo de visualización x \ en L'}$ $\ alfa \ en F$ ${\ estilo de visualización \ alfa x \ en L'}$ $L'$ $L$ $L'$

Un subespacio vectorial se llama subespacio propio si y contiene al menos un vector distinto de cero. $L'\subconjunto L$ $L'\neq L$ $L'$

Un subespacio vectorial se denomina subespacio invariante de una aplicación lineal si , es decir, para cualquier vector . Si es un valor propio de la aplicación , entonces todos los vectores que satisfacen la relación (incluido el vector cero) forman un subespacio invariante de la aplicación . Se llama subespacio propio correspondiente al valor propio dado . $L'\subconjunto L$ ${\ estilo de visualización A: L \ a L}$ $A(L')\subconjunto L'$ ${\ estilo de visualización A (x) \ en L'}$ ${\ estilo de visualización x \ en L'}$ $\lambda$ $A$ ${\ estilo de visualización e \ en L}$ $A(e)=\lambda e$ $A$ $\lambda$

Un subespacio de un espacio vectorial euclidiano también es un espacio euclidiano, pero un subespacio de un espacio vectorial pseudo-euclidiano puede ser tanto pseudo-euclidiano (de una firma diferente) como espacio euclidiano, y también puede ser degenerado o isotrópico [1] .

Un subespacio de un espacio métrico con una métrica tiene la métrica inducida , que se define mediante la fórmula para cualquier [2] . $M'\subconjunto M$ $METRO$ $\rho$ $\rho'$ ${\ estilo de visualización \ rho '(x, y) = \ rho (x, y)}$ ${\ estilo de visualización x, y \ en M'}$

Un subespacio de un espacio topológico con la topología tiene la topología inducida , en la que los conjuntos abiertos son los conjuntos , donde están todos los conjuntos abiertos posibles en la topología [2] . $T'\subconjunto T$ $T$ $\tau$ ${\ estilo de visualización \ tau '}$ $G_{\tau '}=G_{\tau }\cap T'$ ${\ Displaystyle G_ {\ tau}}$ $\tau$

Sea un espacio proyectivo formado por líneas del espacio vectorial , y sea un subespacio vectorial. Entonces el espacio proyectivo es un subespacio proyectivo [3] . ${\ estilo de visualización P = P (L)}$ $L$ $L'\subconjunto L$ $P'=P(L')\subconjunto P$

↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, - Fizmatlit, Moscú, 2009 (cap. 7, par. 7)
↑ 1 2 Zorich V. A. Análisis matemático. — Cualquier edición, volumen 2, cap. IX.
↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, - Cualquier edición, cap. IX, párr. una.