Campo de exterminio

El campo Killing (en la teoría de la relatividad, a menudo solo el vector Killing ) es un campo de velocidad vectorial de un grupo de movimientos de un parámetro (local) de una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana .

En otras palabras, el flujo generado por el campo vectorial Killing define una familia continua de movimientos de la variedad de un solo parámetro, es decir, transformaciones bajo las cuales el tensor métrico permanece invariante.

En particular, si el tensor métrico en algún sistema es independiente de una de las coordenadas , entonces el campo vectorial a lo largo de esa coordenada será un campo Killing. $g_{\mu\nu}$ $x^{\mu}$ ${\sombrero {e}}_{\mu }(x)\equiv \parcial _{\mu }$

Los vectores mortales en física indican la simetría de un modelo físico y ayudan a encontrar cantidades conservadas como la energía , el impulso o el espín . En la teoría de la relatividad , por ejemplo, si el tensor métrico no depende del tiempo, entonces en el espacio-tiempo hay un vector Killing similar al tiempo, con el que se asocia una cantidad conservada: la energía del campo gravitacional.

El nombre se le da en honor al matemático alemán Wilhelm Killing , quien descubrió los grupos de Lie y muchas de sus propiedades en paralelo con Sophus Lie .

Definición

Un campo vectorial on se llama campo Killing si satisface la siguiente ecuación: $X$ $METRO$

{\mathcal {L}}_{X}g=0,

donde es la derivada de Lie con respecto a , a es la métrica de Riemann en . ${\mathcal {L}}_{X}$ $X$ $gramo$ $METRO$

Esta ecuación se puede reescribir en términos de la conexión Levi-Civita :

g(\nabla_{Y}X,Z)+g(Y,\nabla_{Z}X)=0

para cualquier campo y . $Y$ $Z$

En términos de coordenadas locales:

{\ estilo de visualización \ nabla _ {i} X_ {j} + \ nabla _ {j} X_ {i} = 0.}

Propiedades

Un campo vectorial es un campo Killing si y solo si la restricción a cualquier geodésica es un campo de Jacobi . $X$ $X$
Para especificar un Killing field, basta con especificar su valor, más los valores de todas sus derivadas de primer orden ( covariantes ), en un solo punto. A partir de este punto, el campo vectorial se puede extender a toda la variedad.
El corchete de mentira , o conmutador, de dos campos de muerte nuevamente da un campo de muerte. Por lo tanto, los campos de Killing forman una subálgebra del álgebra de mentira de dimensión infinita de todos los campos vectoriales (diferenciables) en la variedad . Esta subálgebra es el álgebra de Lie del grupo de movimientos de la variedad.
Una combinación lineal de campos de exterminio también es un campo de exterminio.
- Ilustración de la adición de campos de exterminio en un avión. Campo de rotaciones alrededor del origen + campo de traslación paralela a lo largo del eje y = campo de rotaciones alrededor de un centro desplazado desde el origen a lo largo del eje x : Los tres campos son campos de movimiento del plano.
Si la curvatura de Ricci de una variedad compacta es negativa, entonces no hay campos de muerte no triviales (es decir, no idénticamente cero) en ella.
Si la curvatura de la sección de una variedad compacta es positiva y la dimensión es uniforme, entonces el campo Killing debe ser cero.

Ejemplos

Hay tres campos de muerte linealmente independientes en el plano euclidiano:

{\ estilo de visualización \ xi _ {1} = \ mathbf {e} _ {x}}

. .

{\ estilo de visualización \ xi _ {2} = \ mathbf {e} _ {y}}

\xi _{3}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

Los dos primeros campos Killing corresponden a subgrupos de un parámetro de desplazamientos a lo largo de los ejes y , y el último, a un subgrupo de rotaciones alrededor del origen. Varias combinaciones de estos tres subgrupos agotan los posibles movimientos del avión.

X

y

Hay seis campos de muerte linealmente independientes en el espacio euclidiano tridimensional : $\mathbb{R} ^{3}$

{\ estilo de visualización \ xi _ {x} = \ mathbf {e} _ {x}}

. .

{\ estilo de visualización \ xi _ {y} = \ mathbf {e} _ {y}}

\xi _{z}=\mathbf {e} _{z},

\zeta _{x}=-y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta_{y}=-z\mathbf {e}_{x}+x\mathbf {e}_{z},

\zeta_{z}=-x\mathbf {e}_{y}+y\mathbf {e}_{x}.

Los tres últimos campos , y también son Campos de muerte en la esfera (esto se hace evidente si la consideramos inmersa en el espacio tridimensional ). ${\ estilo de visualización \ zeta _ {x}}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {y}}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {z}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {S} ^ {2}}$
El hiperboloide univalente dado por la ecuación , inmerso en el espacio de Minkowski con métrica , tiene tres campos Killing linealmente independientes, similares a los campos Killing de la esfera: ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$ ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}-dz^{2))$

\zeta _{x}=y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta_{y}=z\mathbf {e}_{x}+x\mathbf {e}_{z},

\zeta_{z}=-x\mathbf {e}_{y}+y\mathbf {e}_{x}.

Variaciones y generalizaciones

Los campos de Killing conformes están definidos por la fórmula

{\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g

para algún escalar . Se derivan de familias de un parámetro de mapeos conformes .

\lambda

Campos de matanza de tensores conformes: campos de tensores simétricos tales que la simetrización es cero. $T$ $\ nabla T$
El campo tensorial Killing-Yano antisimétrico , a menudo representado como "la raíz cuadrada del campo tensorial Killing simétrico". La simetría descrita por los tensores Killing y Killing-Yano existe en los agujeros negros de Kerr en rotación , así como en algunas de sus generalizaciones. La presencia de tal simetría explica por qué las variables están separadas en las ecuaciones de movimiento de la mecánica relativista clásica y cuántica : Hamilton-Jacobi , onda , Klein-Gordon , Dirac , etc. [1]
El campo tensor de Killing .

Notas

↑ Aleksey Borisovich Gaina . Partículas cuánticas en los campos de Einstein-Maxwell/Kishinev. Shtiintsa. 1989.

Literatura

Rashevsky P. K. Riemann geometría y análisis tensorial - M .: Nauka, 1967.
Eisenhart L.P. Geometría riemanniana - M .: Izd-vo inostr. lit., 1948.
Xelgason S. Geometría diferencial y espacios simétricos - M.: Mir, 1964.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentos de geometría diferencial - M.: Nauka, 1981.