Campo privado

El campo de cocientes (también llamado campo de relaciones ) en álgebra general se define para el dominio de integridad como el campo más pequeño [1] [2] que contiene el campo de cocientes para puede ser denotado por $R$ $r$ $R$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Frac} (R)}$ $\operatorname {Cita} (R).$

Los elementos del campo del cociente pueden construirse (únicamente) constructivamente a partir de los elementos como clases de equivalencia de alguna relación binaria (ver más abajo). $R$

Ejemplos

El ejemplo clásico de un dominio de integridad es el anillo de enteros ; su extensión más pequeña a un campo da el campo de los números racionales ${\matemáticas Q}.$
Tomemos como un anillo de enteros gaussianos de la forma donde son enteros ordinarios. Entonces es el campo de los números gaussianos racionales . $R$ ${\ estilo de visualización a + bi,}$ $a, b$ ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \))$
El campo de cocientes de cualquier campo es isomorfo al campo original.
Sea un campo. Entonces el anillo de polinomios con coeficientes de este campo es siempre un dominio de integridad. El campo de cocientes para se denota y se llama campo de funciones racionales [3] . $k$ $K[X]$ $K[X]$ ${\ estilo de visualización K (X)}$

Edificio

El campo de cocientes para el dominio de integridad se construye de la misma manera que el campo de números racionales basado en el anillo de enteros [4] (ver Número racional # Definición formal ). Consideremos un conjunto de pares ordenados de elementos y definamos una relación de equivalencia sobre él , como para las fracciones: los pares y son equivalentes si el campo de cocientes se define como un conjunto de clases de equivalencia ( anillo de cociente ). La clase que contiene un par , por analogía con las fracciones ordinarias , se denotará por o $R$ ${\ estilo de visualización a, b \ en R \ (b \ neq 0)}$ $(a, b)$ ${\ estilo de visualización (c, d)}$ $ad=bc.$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Frac} (R)}$ $(a, b),$ $un/b$ ${a \sobre b}.$

La suma y se define como para fracciones: La multiplicación se define de manera similar: Es fácil de verificar [4] : ${\frac{a}{b}}$ ${\frac{c}{d))$ ${\frac {anuncio+bc}{bd)).$ ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.$

los resultados de estas operaciones no dependen de la elección de representantes en su clase de equivalencia;
la suma es reversible, es decir, la resta siempre es posible;
clases y juegan el papel de cero y uno, respectivamente; ${\ estilo de visualización 0/b}$ ${\ estilo de visualización a/a}$
se cumplen todos los axiomas del anillo.

Por lo tanto, es un anillo conmutativo . Contiene un anillo isomorfo al anillo original ; como prueba, comparamos la clase que contiene el par . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Frac} (R)}$ $R$ ${\ estilo de visualización a \ en R}$ ${\ estilo de visualización a/1.}$

A continuación, establecemos que cada clase distinta de cero tiene un elemento inverso que está definido unívocamente (en este punto de la prueba, se usa la ausencia de divisores de cero ), y este hecho significa que la división es factible. Así, la estructura construida es un campo. ${a \sobre b}$ ${b\sobre un},$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Frac} (R)}$

El campo de cocientes para una determinada área de integridad es único salvo isomorfismo [4] .

Se puede hacer una construcción similar para cualquier anillo conmutativo, el resultado es un anillo de fracciones , que, en general, no es un campo: entre sus elementos puede haber elementos irreversibles.

Propiedades

El campo de anillos parciales satisface la siguiente propiedad universal : si h : → es un homomorfismo inyectivo de anillos de ' al campo , entonces existe un único homomorfismo de anillos g : → que coincide con h en los elementos . Esta propiedad universal se puede expresar con las siguientes palabras: el campo de cocientes es una forma estándar de hacer invertibles los elementos de un anillo , respectivamente, el anillo de cocientes es una forma estándar de hacer invertibles algunos subconjuntos de los elementos de un anillo . $R$ $R$ $F$ $R$ $F$ $\operatorname {Cuota} (R)$ $F$ $R$

En términos de teoría de categorías, la construcción del campo del cociente se puede describir de la siguiente manera. Considere una categoría cuyos objetos son dominios de integridad y cuyos morfismos son homomorfismos inyectivos de anillos. Hay un funtor de olvido de la categoría de campos a esta categoría (ya que todos los homomorfismos de campo son inyectivos). Resulta que este funtor tiene un adjunto izquierdo y le asigna a un anillo integral su campo de fracciones.

Notas

↑ Zarissky, Samuel, 1963 , p. 56.
↑ Stephan Foldes. Estructuras fundamentales de álgebra y matemáticas discretas (inglés) . - 1994. - Pág. 128.
↑ Pierre Antoine Grillet. Álgebra abstracta (indefinida) . - 2007. - S. 124.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , pág. 439-443.

Literatura

Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa. - M. : IL, 1963. - T. 1. - 374 p.
Kulikov L. Ya. Álgebra y teoría de números: Proc. manual para institutos pedagógicos. - M. : Escuela superior, 1979. - 559 p.

Enlaces

Kostrikin AI El campo de las relaciones del anillo integral. Archivado el 7 de diciembre de 2018 en Wayback Machine // Introducción al álgebra, § 9.5.4.3.1 . M.: Nauka, 1977, págs. 233-236.