Funtor olvidadizo

Un funtor de olvido ( un funtor de borrado ) es un funtor de teoría de categorías que "olvida" algunas o todas las estructuras y propiedades algebraicas del dominio original, es decir, traduce dominios dotados de estructuras y propiedades adicionales en codominios con menos restricciones.

El concepto no tiene una definición estricta y se utiliza para caracterizar cualitativamente las transformaciones producidas por dichos funtores. Para una estructura algebraica con un conjunto dado de operaciones, estas transformaciones se pueden describir como reducción de firmas , por ejemplo, un funtor de olvido es uno que asocia cada anillo de la categoría de anillos ${\mathbf {Rng}}$ con su grupo abeliano aditivo de la categoría ${\mathbf {Ab))$ y toma los homomorfismos de anillos para homomorfismos de grupo . La firma puede volverse vacía, es decir, el conjunto portador de la estructura original resulta ser el codominio de tal funtor; un ejemplo de tal funtor es la transformación de grupos de la categoría de grupos ${\mathbf {Grp))$ en conjuntos de sus elementos de la categoría ${\mathbf {Conjunto}}$ , que transforma los homomorfismos en aplicaciones "ordinarias" de conjuntos. Debido a que muchas construcciones en matemáticas se describen como conjuntos con estructura adicional, el olvido del funtor en un conjunto portador es el ejemplo más común en la práctica; la posibilidad de construir un funtor olvidadizo en la categoría de conjuntos subyace a la importante noción de una categoría concreta . Además, un funtor olvidadizo puede preservar estructuras, pero al mismo tiempo reducir las restricciones en las propiedades .

Ejemplo

Como ejemplo, podemos citar varios funtores olvidadizos de la categoría de anillos conmutativos. Un anillo conmutativo descrito en el lenguaje del álgebra universal es un conjunto < R , +, *, a , 0, 1 > que satisface ciertos axiomas; aquí + y * son operaciones binarias en el conjunto R , a es una operación unaria (tomando el elemento opuesto por suma), 0 y 1 son operaciones cero de tomar elementos idénticos por suma y multiplicación. Quitar la unidad corresponde a un funtor olvidadizo en la categoría de anillos sin unidad; la eliminación de * y 1 corresponde a un funtor en la categoría de grupos abelianos , que asocia cada anillo con su grupo por adición. Además, cada morfismo de anillos está asociado a la misma función , sólo considerado como un morfismo de grupos abelianos. Eliminar toda la firma corresponde a un funtor en la categoría de conjuntos.

Borrado de estructura y propiedades

Hay ciertas diferencias entre los funtores que "olvidan la estructura" y los que "solo olvidan las propiedades". Si funtores y operaciones de "borrar", entonces como ejemplo de un funtor que pierde propiedades, podemos dar una transformación de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos , que pierde el axioma de conmutatividad de la multiplicación, pero conserva todas las operaciones. ${\mathbf {Rng}}\to {\mathbf {Ab}}$ ${\mathbf {Grp}}\to {\mathbf {Conjunto}}$

Los funtores olvidadizos son casi siempre univalentes . Por ejemplo, las categorías concretas se definen como categorías que admiten un funtor univalente a la categoría de conjuntos. Los funtores que olvidan los axiomas siempre serán completamente univalentes .

Functor adjunto izquierdo

Los funtores olvidadizos a menudo han dejado funtores conjugados que construyen objetos libres . Por ejemplo:

módulo libre : un funtor de olvido de (categoría -módulos ) a tiene un adjunto izquierdo correspondiente al mapeo del conjunto en un módulo libre con base ; ${\mathbf {Modificación}}(R)$ $R$ ${\mathbf {Conjunto}}$ $\operatorname {Gratis}_{R}$ $X\mapsto\operatorname {Libre}_{R}(X)$ $X$ $R$ $X$
grupo libre ;
álgebra tensorial .

En este caso, la conjugación se interpreta de la siguiente manera: tomando un conjunto X y un objeto construido sobre él (por ejemplo, un módulo M ), las aplicaciones de los conjuntos corresponden únicamente a las aplicaciones de los módulos . En el caso de los espacios vectoriales , esto se suele decir así: “el mapeo lo dan las imágenes de los vectores base, y los vectores base se pueden enviar a cualquier parte”, este hecho se expresa mediante la fórmula: $X\a M$ $\operatorname {Libre}_{R}(X)\a M$

\operatorname {Hom}_{{{\mathbf {Mod}}_{R}}}(\operatorname {Free}_{R}(X),M)=\operatorname {Hom}_{{{\mathbf { Establecer}}}}(X,\nombre del operador {Olvidar}(M))

La categoría de campos es un ejemplo de una categoría donde el funtor olvidadizo no tiene adjunto: no hay ningún campo que satisfaga la propiedad universal libre para el conjunto X.

Literatura

McLane, Saunders . Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 25. - 352 p. — ISBN 5-9921-0400-4 .