Derivada total de una función

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La derivada total de una función es la derivada temporal de la función a lo largo de la trayectoria.

El cálculo de la derivada total de una función con respecto al tiempo t , (a diferencia de la derivada parcial , ) no implica que otros argumentos (es decir, distintos del argumento t , con respecto al cual se realiza la diferenciación completa: x y y ) son constantes cuando t cambia . La derivada total incluye estas dependencias indirectas de t (es decir, x(t) e y(t) ) para describir la dependencia de f de t . $f=f(t,x(t),y(t))$ ${\frac {{\mathrm {d}}f}{{\mathrm {d}}t}}$ ${\frac {\f parcial}{\t parcial))$

Operador \ Función	$f(x)$	${\ estilo de visualización f (x, y, u (x, y), v (x, y))}$
Diferencial	una: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{ y}\nombre de operador {d} \!y+f'_{u}\nombre de operador {d} \!u+f'_{v}\nombre de operador {d} \!v$
Derivada parcial	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!X}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d}_{x}\!f}{\ nombre del operador {d} \!x}}={\f parcial \sobre \x parcial}$
derivada total	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f '_{X}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f '_{x}+f'_{u}{\frac {\nombre de operador {d} \!u}{\nombre de operador {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\nombre de operador { d} \!v}{\nombre del operador {d} \!x));(f'_{y}{\frac {\nombre del operador {d} \!y}{\nombre del operador {d} \!x}}= 0)$

Ejemplo #1

Por ejemplo, para la función mencionada f = f(t, x(t), y(t)) la derivada total de la función se calcula según la siguiente regla :

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}f(t_{0},x(t_{0}),y(t_{0}))=\left. {\frac {\f parcial}{\t parcial}}\right|_{{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0))}}{\frac {{\mathrm { d}}t}{{\mathrm {d}}t}}+\left.{\frac {\parcial f}{\parcial x}}\right|_{{t_{0},x(t_{0 }),y(t_{0})}}{\frac {{\mathrm {d}}x}({\mathrm {d}}t}}+\left.{\frac {\f parcial}{\ y parcial}}\right|_{{t_{0},x(t_{0}),y(t_{0})}}{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm { d}}t}},

que simplifica a

{\frac {{\mathrm {d}}}{{\mathrm {d}}t}}f(t,x(t),y(t))={\frac {\f parcial}{\t parcial ))+{\frac {\parcial f}{\parcial x}}{\frac ({\mathrm {d}}x}({\mathrm {d}}t}}+{\frac {\parcial f} {\parcial y}}{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}t}},

donde son las derivadas parciales . ${\frac {\f parcial}{\t parcial)),{\frac {\f parcial}{\x parcial)),{\frac {\f parcial}{\y parcial))$

Cabe señalar que la designación es condicional y no significa la división de diferenciales . Además, la derivada total de una función depende no solo de la función misma, sino también de la trayectoria. ${\frac{df}{dt))$

Ejemplo #2

Por ejemplo, la derivada total de una función : $f(x(t),y(t))$

{\displaystyle {df \over dt}={\parcial f \over \parcial x}{dx \over \dt}+{\parcial f \over \parcial y}{dy \over dt))

No hay aquí , ya que en sí mismo ("explícitamente") no depende de . ${\f parcial \sobre \t parcial}$ $F$ $t$

Aplicaciones

Teorema de conservación del volumen de fase de Liouville

Véase también

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

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