Proceso de envenenamiento

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Proceso de Poisson , Flujo de Poisson , El proceso de Poisson [1] es un flujo ordinario de eventos homogéneos , para el cual el número de eventos en el intervalo A no depende del número de eventos en cualquier intervalo que no interseca con A , y obedece a la Distribución de veneno . En la teoría de procesos aleatorios , describe el número de eventos aleatorios que han ocurrido, ocurriendo a una intensidad constante.

Las propiedades probabilísticas del flujo de Poisson están completamente caracterizadas por la función Λ(A) igual al incremento en el intervalo A de alguna función decreciente. Muy a menudo, el flujo de Poisson tiene un valor instantáneo del parámetro λ(t) , que es una función en los puntos de continuidad en los que la probabilidad de un evento de flujo en el intervalo [t,t+dt] es igual a λ( t)dt . Si A es un segmento [a,b] , entonces

\Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt

El flujo de Poisson para el cual λ(t) es igual a la constante λ se denomina flujo más simple con parámetro λ . [2]

Los flujos de Poisson se definen para espacios multidimensionales y, en general, cualquier espacio abstracto en el que se pueda introducir la medida Λ(A) . Un flujo de Poisson estacionario en un espacio multidimensional se caracteriza por una densidad espacial λ . En este caso, Λ(A) es igual al volumen de la región A , multiplicado por λ .

Clasificación

Hay dos tipos de procesos de Poisson: simples (o simplemente: proceso de Poisson) y complejos (generalizados).

Un proceso de Poisson simple

deja _ Un proceso aleatorio se denomina proceso de Poisson homogéneo con intensidad si $\lambda>0$ $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $\lambda$

$X_{0}=0$ casi seguro
$\{X_{t}\}$ es un proceso con incrementos independientes .
$X_{t}-X_{s}\sim\\mathrm{P} (\lambda(ts))$ para any , donde denota la distribución de Poisson con parámetro . $0\leq s<t<\infty$ $\mathrm {P} (\lambda(ts))$ $\lambda (ts)$

Proceso de Poisson complejo (generalizado)

Sea una secuencia de variables aleatorias idénticamente distribuidas e independientes entre sí . $\xi _{1},...,\xi _{n}$
Sea un proceso de Poisson simple con intensidad , independiente de la secuencia . $Nuevo Testamento)$ $\lambda$ $\xi _{1},...,\xi _{n}$

Denotar por la suma de los primeros k elementos de la secuencia introducida. $S_{k}$

Entonces definimos el proceso complejo de Poisson como . $\{Y_{t}\}$ $S_{N(t)}$

Propiedades

Los tiempos entre tiempos de salto son independientes y tienen una distribución exponencial ${\text{Exp}}(\lambda)$ .
El proceso de Poisson solo acepta valores enteros no negativos , y además

\mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0, 1,2,\ldots

es decir, el momento del salto th tiene una distribución gamma . $k$ ${\text{Γ}}(\lambda,k)$

Las trayectorias del proceso de Poisson son funciones no decrecientes, continuas a la derecha, constantes por tramos, con saltos iguales a uno casi con seguridad. Con más precisión

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)

en ,

h \ a 0

donde significa " sobre pequeño ". $Oh)$

Criterios

Para que algún proceso aleatorio con tiempo continuo sea Poisson (simple, homogéneo) o idénticamente cero, es suficiente que se cumplan las siguientes condiciones: $\{X_{t}\}$

$X_{0}=0$ .
El proceso tiene incrementos independientes.
El proceso es uniforme.
El proceso acepta valores enteros no negativos.
$P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)$ en . $h \ flecha 0$

Propiedades de la información [3]

Sean los tiempos de salto del proceso de Poisson. . $\tau _{1},\puntos,\tau _{n}$ $T=\tau _{j}-\tau _{j-1}$

¿Depende de la parte anterior de la trayectoria? - ? $T$
$\mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})$

deja _ $u(t)=\mathbb {P} (T>t)$

$u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)))={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)))$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}$ .
La distribución de longitudes de intervalos de tiempo entre saltos tiene la propiedad de falta de memoria ⇔ es exponencial .

Considere un segmento en el eje del tiempo. $[a,b]$

$X(b)-X(a)=n$ es el número de saltos en el segmento . La distribución condicional de los momentos de saltos coincide con la distribución de las series variacionales construidas a partir de una muestra de longitud de . $[a,b]$
$\tau _{1},\puntos,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n$ $norte$ $R[a,b]$

La densidad de esta distribución $f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(ba)^{n}}}\mathbb {I} (a \leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)$

Teorema del límite central

Teorema.

$\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \ infty }{\overset {x}{\rightrightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\ infinito }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du$

Tasa de convergencia : , donde es la constante de Berry-Esseen .
$\sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\ biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0)){\sqrt {\lambda t))}$
$C_{0}$

Aplicación

El flujo de Poisson se utiliza para simular varios flujos reales: accidentes, flujo de partículas cargadas desde el espacio, fallas de equipos y otros. También se puede utilizar para analizar mecanismos financieros, como el flujo de pagos y otros flujos reales. Construir modelos de diversos sistemas de servicios y analizar su idoneidad.

El uso de flujos de Poisson simplifica enormemente la solución de problemas de sistemas de colas relacionados con el cálculo de su eficiencia. Pero el reemplazo irrazonable del flujo real por el flujo de Poisson, donde esto es inaceptable, conduce a graves errores de cálculo.

Literatura

Gardiner KV Métodos estocásticos en ciencias naturales. — M .: Mir, 1986. — 528 p.
van Kampen NG Procesos estocásticos en física y química. - M. : Escuela superior, 1990. - 376 p.
Procesos de Kingman J. Poisson. - M. : MTSNMO, 2007. - 136 p.

Notas

↑ " Enciclopedia Matemática " / Editor Jefe I. M. Vinogradov. - M. : "Enciclopedia soviética", 1979. - T. 4. - 1104 p. - 148.800 ejemplares.
↑ Diccionario de cibernética / Editado por el académico V. S. Mikhalevich . - 2do. - Kyiv: Edición principal de la Enciclopedia soviética ucraniana que lleva el nombre de MP Bazhan, 1989. - S. 534. - 751 p. - (C48). — 50.000 copias. - ISBN 5-88500-008-5 .
↑ Shestakov Oleg Vladimirovich. Apuntes de clase sobre el tema "Modelos probabilísticos", Clase 7 . (Ruso)