Equivalencia

La equivalencia es la relación de dos conjuntos arbitrarios ( finitos o infinitos ) , lo que significa, en términos generales, que un conjunto contiene la misma cantidad de elementos que el otro. Los conjuntos finitos son equivalentes si y solo si contienen el mismo número de elementos. Por ejemplo, el conjunto de constelaciones zodiacales tradicionales y el conjunto de aristas de cubo son igualmente poderosos, ya que ambos contienen 12 elementos cada uno.

El concepto de equivalencia, introducido por Georg Cantor en 1878, extiende esta relación a conjuntos infinitos, y en él se basa la definición del concepto central en la teoría de conjuntos de la cardinalidad de un conjunto . Cantor también definió una comparación de cardinalidades: si dos conjuntos no son equivalentes, entonces la cardinalidad de uno de ellos es mayor que la del otro (el axioma de elección se usa en la demostración ).

Definiciones

Definición 1 . Una función definida sobre un conjunto y que toma valores en el conjunto se llama correspondencia biunívoca [1] si: $F,$ $A$ $b,$

diferentes elementos corresponden a diferentes elementos $A$ ${\ estilo de visualización B;}$
cada elemento se asigna a algún elemento . $B$ $A$

Es fácil ver que la correspondencia uno a uno como función tiene una función inversa (uno a uno) definida en todo el conjunto $b.$

Definición 2 . Dos conjuntos se denominan equivalentes si es posible establecer una correspondencia biunívoca entre ellos [2] . Variaciones en la terminología: Los conjuntos equivalentes "tienen la misma cardinalidad" o "el mismo número cardinal ".

En la correspondencia indicada, cualquier elemento de cada uno de los conjuntos equivalentes corresponde exactamente a un elemento del otro conjunto.

Diferentes autores han propuesto diferentes símbolos para denotar la equivalencia de conjuntos : $A,B$

A \ sim B

{\ estilo de visualización | A | = | B |}

{\ estilo de visualización A \ aproximadamente B}

{\bar {\bar {A}}}={\bar {\bar {B}}}

(Notación de Cantor)

{\ Displaystyle ecuación (A, B)}

( notación de Bourbaki ) # = #

A

B

\mathrm {tarjeta} (A)=\mathrm {tarjeta} (B)

Más adelante en este artículo, se utiliza la primera notación.

Ejemplos

El conjunto de los números naturales y el conjunto de los números pares son equivalentes, ya que cada número natural tiene una correspondencia biunívoca con un número par.Todos los conjuntos que son equivalentes se denominan contables . Cualquier subconjunto infinito es contable, por ejemplo, el conjunto de números primos . $\matemáticas {N}$ $norte$ ${\ estilo de visualización 2n.}$ $\NORTE$ $\matemáticas {N}$

El conjunto de los números racionales es contable, pero el conjunto de los números reales ya es incontable. $\matemáticas {R}$

Todos los círculos son iguales. Para verificar esto, construimos para cada círculo un sistema de coordenadas polares con el origen en el centro del círculo y ponemos en correspondencia puntos con el mismo ángulo polar.

El enfoque esbozado se utiliza a menudo para definir el concepto de un conjunto infinito "según Dedekind ": un conjunto se llama infinito si es equivalente a su propio subconjunto (es decir, un subconjunto que no coincide con todo ) [3] . $A$ $A$

Propiedades

La relación de equivalencia es una relación de equivalencia :

Cada conjunto es equivalente a sí mismo.
si entonces $A\sim B,$ $B\sim A.$
si y entonces $A \ sim B$ $B\sim C,$ $A\sim C.$

Por lo tanto, la relación de equivalencia divide los conjuntos en clases no superpuestas de conjuntos equipotentes. Esta partición permitió a Cantor definir el concepto de cardinalidad de un conjunto como una de esas clases (en la teoría axiomática de conjuntos, el concepto de cardinalidad se presenta de manera algo diferente, consulte el artículo sobre cardinalidad de un conjunto para obtener más detalles ).

Del teorema de Cantor se sigue que ningún conjunto puede ser equivalente en tamaño al conjunto de sus subconjuntos (que siempre tiene una potencia mayor) [4] .

Teorema de Cantor-Bernstein : si de dos conjuntos A y B cada uno es equivalente a una parte del otro, entonces estos dos conjuntos son equivalentes.

En 1877, Cantor descubrió una serie de consecuencias inusuales de su teoría [5] .

Un segmento finito de una recta es equipotente a toda la recta infinita.
Todo el plano, cualquier cuadrado sobre él y un segmento de recta son equivalentes.

La relación de equivalencia es consistente (con algunas restricciones) con las operaciones de teoría de conjuntos [6] .

( producto cartesiano ): $A\times B\sim B\times A;\ (A\times B)\times C\sim A\times (B\times C)$
si y entonces $A_{1}\sim B_{1}$ $A_{2}\sim B_{2},$ $(A_{1}\times A_{2})\sim (B_{1}\times B_{2})$
( Unión ) Let y no intersecta con no intersecta con Entonces $A_{1}\sim B_{1},A_{2}\sim B_{2},$ $A_{1}$ ${\ estilo de visualización A_ {2}, B_ {1}}$ ${\ estilo de visualización B_ {2}.}$ $(A_{1}\taza A_{2})\sim (B_{1}\taza B_{2})$

Notas

↑ Enciclopedia de Matemáticas, 1977 .
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , pág. 12
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , pág. 17
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , pág. 28
↑ Vereshchagin, Shen, 2012 , pág. Dieciocho.
↑ Kuratovsky, Mostovsky, 1970 , p. 177.

Literatura

Vereshchagin N. K., Shen A. Comienzos de la teoría de conjuntos. - M. : MTSNMO, 2012. - ISBN 978-5-4439-0012-4 .
Kudryavtsev L. D. Correspondencia uno a uno // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1977. - T. 1. - S. 690. - 1152 p.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Teoría de conjuntos / Traducido del inglés por M. I. Brevemente, editado por A. D. Taimanov. - M. : Mir, 1970. - 416 p.
Yashchenko IV Equivalencia de conjuntos / Paradojas de la teoría de conjuntos. M.: Editorial del Centro de Moscú para la Educación Matemática Continua, 2002.

Enlaces

Poder de Conjuntos // Matemáticas Discretas, HSE, Facultad de Informática, 2014
Conjuntos equivalentes / Introducción a la teoría de conjuntos, Universidad Estatal de Moscú, 2007
Yiannis Moschovakis . CAPÍTULO 2 EQUINMEROSIDAD // Notas sobre la teoría de conjuntos, Springer, 2005. ISBN 9780387287225 pp. 7-18 (inglés)