Estirar (geometría)

El estiramiento es una operación sobre un poliedro (en cualquier dimensión, no solo en el espacio tridimensional), en la que se separan las facetas y se mueven radialmente en la dirección del centro, se forman nuevas facetas sobre los elementos separados (vértices, aristas, etc. .). Estas mismas operaciones pueden entenderse como operaciones que mantienen las facetas en su lugar pero las reducen de tamaño.

Un politopo se entiende como un poliedro multidimensional, y más adelante en el artículo estos conceptos se utilizan como sinónimos (la palabra "multidimensional" se puede omitir si se asume por significado) [1] .

Estirar un politopo multidimensional regular produce un politopo uniforme , pero la operación se puede aplicar a cualquier politopo convexo , como se demuestra para los politopos en el artículo " Notación de Conway para politopos ". En el caso de los politopos 3D, el politopo estirado tiene todas las caras del politopo original, todas las caras del politopo dual y caras cuadradas adicionales en lugar de los bordes originales.

Estiramiento de politopos regulares

Según Coxeter , este término para sólidos de alta dimensión fue definido por Alicia Buhl Stott [2] para crear nuevos poliedros de alta dimensión. Más precisamente, para crear poliedros multidimensionales uniformes a partir de poliedros multidimensionales regulares .

La operación de estiramiento es simétrica para politopos regulares y sus poliedros duales . El cuerpo resultante contiene facetas tanto de un poliedro regular como de su poliedro dual, así como facetas prismáticas adicionales que llenan el espacio entre elementos de menor dimensión.

Estirar hasta cierto punto tiene un significado diferente para diferentes dimensiones . En la construcción de Wythoff, el estiramiento se genera por la reflexión del primer y último espejo. En dimensiones más altas, el estiramiento se puede escribir con un (sub)índice, por lo que e 2 es lo mismo que t 0.2 en cualquier dimensión.

Nota : Los nombres de las operaciones en poliedros en la literatura en idioma ruso no se han establecido, por lo que los nombres en inglés con traducción se dan a continuación .

Por dimensiones:

• Un polígono regular {p} se expande en un 2p-gon regular.
  • Para polígonos, la operación es idéntica a la operación de truncamiento , e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} y tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin .
• Un politopo regular {p,q} ( politopo tridimensional) se expande en un politopo con la figura de vértice p.4.q.4 .
  • Para poliedros, esta operación se llama "cantelación" , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0.2 {p,q} = rr{p,q}, y la operación tiene un diagrama de Coxeter. Por ejemplo, un rombicuboctaedro puede llamarse cubo dilatado , octaedro dilatado , así como cubo oblicuo u octaedro oblicuo .
• Un politopo 4D regular {p,q,r} (politopo 4) se estira en un nuevo politopo 4D con las mismas celdas {p,q}, se forman nuevas celdas {r,q} en lugar de los vértices anteriores, p Se forman prismas -gonales en lugar de caras antiguas (bidimensionales) y prismas r-gonales en lugar de aristas antiguas.
  • Para poliedros de 4 dimensiones, esta operación se llama "ejecución" (cepillado), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0.3 {p,q,r}, y la operación tiene un diagrama de Coxeter.
• De manera similar, un politopo 5D regular {p,q,r,s} se expande en un nuevo politopo 5D con facetas {p,q,r}, {s,r,q}, prismas {p,q}× { }, prismas {s,r}×{ } y duoprismas {p} × {s}.
  • La operación se llama "esterificación" (cortar), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0.4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} y la operación tiene un diagrama de Coxeter.

La operación general de estirar un poliedro regular de n dimensiones es t 0,n-1 {p,q,r,...}. Se agregan nuevas facetas regulares en lugar de cada vértice, y se agregan nuevos politopos prismáticos para cada arista dividida, cara (2D), etc.

Véase también

• Notación de Conway para poliedros

Notas

1. ↑ En la literatura en idioma ruso, los politopos regulares (politopos de dimensión > 3) y los poliedros generalmente se entienden como cuerpos convexos, en la literatura en idioma inglés, los poliedros regulares estrellados también se consideran politopos regulares (politopos)
2. ↑ Coxeter, 1973 , pág. 123.210.

Literatura

• HSM Coxeter . Politopos regulares. - tercera edicion. - Nueva York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 ..Primera edición: Methuen & Co. Ltd., Londres, 1948
• Weisstein, Eric W. Expansion  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
• Norman Johnson. Politopos uniformes. - 1991. - (manuscrito).
  • NW Johnson. La teoría de politopos uniformes y panales. - Doctor. Universidad de Toronto, 1966. - (Tesis doctoral).

La Fundación	truncamiento	truncamiento completo	Truncamiento profundo	Dualidad _	extensión	Truncamiento	alternancia
t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p,q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p, q} rr{p, q}	t 012 {p, q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p, q} sr{p, q}