Notación de Conway para poliedros

La notación de Conway para politopos , desarrollada por Conway y promovida por Hart , se usa para describir politopos basados ​​en un politopo semilla (es decir, usado para crear otros), modificado por varias operaciones de prefijo .

Conway y Hart extendieron la idea de usar operadores como el operador de truncamiento de Kepler para crear poliedros conectados con la misma simetría. Los operadores básicos pueden generar todos los sólidos de Arquímedes y sólidos catalanes a partir de las semillas correctas. Por ejemplo, t C representa un cubo truncado y taC, obtenido como t(aC), es un octaedro truncado . El operador dual más simple intercambia vértices y caras. Entonces, el poliedro dual para un cubo es un octaedro - dC \ u003d O. Aplicados secuencialmente, estos operadores permiten la generación de muchos poliedros de alto orden. Los poliedros resultantes tendrán una topología fija (vértices, aristas, caras), mientras que la geometría exacta no está limitada.

Los poliedros semilla que son poliedros regulares están representados por la primera letra de su nombre (inglés) ( T etrahedron = tetrahedron, O ctahedron = octahedron, C ube = cube, I cosahedron = icosahedron, D odecahedron = dodecahedron). Además, prismas ( P n - de prisma para n -prismas angulados), antiprismas ( A n - de Antiprismas ), cúpulas ( U n - de cúpulas ), anticúpulas ( V n ) y pirámides ( Y n - de la pirámide ). Cualquier poliedro puede actuar como semilla si se pueden realizar operaciones sobre él. Por ejemplo, los poliedros facetados regulares se pueden denotar como Jn (de sólidos de Johnson = sólidos de Johnson ) para n =1…92.

En el caso general, es difícil predecir el resultado de la aplicación sucesiva de dos o más operaciones en un poliedro semilla dado. Por ejemplo, la operación de ambón aplicada dos veces es igual que la operación de expansión, aa = e , mientras que la operación de truncamiento después de la operación de ambón produce lo mismo que la operación de bisel, ta = b . No existe una teoría general que describa qué tipo de poliedros se pueden obtener con algún conjunto de operadores. Por el contrario, todos los resultados se obtuvieron empíricamente .

Operaciones sobre politopos

Los elementos de la tabla se dan para una semilla con parámetros ( v , e , f ) (vértices, aristas, caras) transformados en nuevos tipos bajo el supuesto de que la semilla es un poliedro convexo (una esfera topológica con característica de Euler 2). Se da un ejemplo basado en una semilla de cubo para cada operador. Las operaciones básicas son suficientes para generar poliedros uniformes con simetría especular y sus duales. Algunas operaciones básicas pueden expresarse en términos de la composición de otras operaciones.

tipos especiales

La operación "kis" tiene una variante k n , en cuyo caso solo se agregan pirámides a las caras con n - lados . La operación de truncamiento tiene una variante t n , en cuyo caso sólo se truncan los vértices de orden n .

Los operadores se aplican como funciones de derecha a izquierda. Por ejemplo, el cuboctaedro es un cubo ambo (un cubo al que se le aplica la operación ambo), es decir, t(C) = aC , y el cuboctaedro truncado es t(a(C)) = t(aC) = taC .

operador de quiralidad

• r - "reflejo" ("reflejar") - hace una imagen especular de la semilla. El operador no cambia la semilla a menos que se le hayan aplicado los operadores s o g . Otra notación para la forma quiral es un guión bajo, como s = rs .

Las operaciones de la tabla se muestran en un cubo de ejemplo y se dibujan en la superficie del cubo. Las caras azules intersecan los bordes originales, las caras rosadas corresponden a los vértices originales.

Operaciones básicas

Operador	Ejemplo	Nombre	Construcción alternativa	picos	costillas	facetas	Descripción
		semilla		v	mi	F	poliedro inicial
r		reflejar		v	mi	F	Imagen especular para formas quirales
d		doble		F	mi	v	Poliedro de doble semilla: cada vértice crea una nueva cara
a		ambón	dj _	mi	2e _	f + v	Se agregan nuevos vértices en el medio de los bordes y los vértices antiguos se cortan ( rectifican ). La operación crea vértices con valencia 4.
j		unirse	papá _	v + f	2e _	mi	Se añaden a la semilla pirámides con altura suficiente, de modo que dos triángulos pertenecientes a pirámides diferentes y que tienen un lado común de la semilla se vuelven coplanares (que se encuentran en el mismo plano) y forman una nueva cara. La operación crea caras cuadradas.
k k norte		beso	nd = dz dtd	v + f	3e _	2e _	Se añade una pirámide en cada cara. Akización o acumulación, [1] aumento o expansión piramidal .
t t n		truncar	nd = dz dkd	2e _	3e _	v + f	Recorta todos los vértices. La operación se conjuga a kis
norte		aguja	kd = dt dzd	v + f	3e _	2e _	El poliedro dual a una semilla truncada. Las caras se triangulan con dos triángulos por cada arista. Esto biseca las caras a través de todos los vértices y bordes, mientras elimina los bordes originales. La operación transforma el politopo geodésico ( a , b ) en ( a +2 b , a - b ) para a > b . También convierte ( a ,0) a ( a , a ), ( a , a ) a (3 a ,0), (2,1) a (4,1), etc.
z		Código Postal	dk = td dnd	2e _	3e _	v + f	El politopo dual a la semilla después de la operación kis o el truncamiento del politopo dual. La operación crea nuevos bordes que son perpendiculares a los bordes originales. La operación también se llama bitruncation ( truncamiento profundo ). Esta operación transforma el politopo de Goldberg G ( a , b ) en G ( a +2 b , a - b ) para a > b . También convierte G ( a ,0) en G ( a , a ), G ( a , a ) en G (3 a ,0), G (2,1) en G (4,1), etc.
mi		expandir (estirar)	aa dod = hacer	2e _	4e _	v + e + f	Cada vértice crea una nueva cara y cada arista crea un nuevo quad. ( cantelado = biselado)
o		orto	daa ded = de	v + e + f	4e _	2e _	Cada cara n -gonal se divide en n cuadriláteros.
rg = g _		giroscopio	dsd = ds	v + 2e + f	5e _	2e _	Cada cara n -gonal se divide en n pentágonos.
s rs = s		desaire	dgd = dg	2e _	5e _	v + 2e + f	"expansión y torsión": cada vértice forma una nueva cara y cada borde forma dos nuevos triángulos
b		bisel	dkda = ta dmd = dm	4e _	6e _	v + e + f	Se agregan nuevas caras en lugar de aristas y vértices. (cantruncamiento = bisel-truncamiento )
metro		metamedial _	kda = kj dbd = db	v + e + f	6e _	4e _	Triangulación con adición de vértices en los centros de caras y aristas.

Formación de semillas correctas

Los cinco politopos regulares se pueden generar a partir de generadores prismáticos usando de cero a dos operadores:

• Pirámide triangular : Y3 (Tetraedro es un caso especial de pirámides)
  • T = Y3
  • O = aT (tetraedro después de la operación ambón)
  • C = jT (tetraedro después de la operación de unión)
  • I = sT (tetraedro romo, tetraedro después de la operación romo)
  • D = gT (tetraedro después de la operación giroscópica)
• Antiprisma triangular : A3 (El octaedro es un caso especial de los antiprismas)
  • O=A3
  • C=dA3
• Prisma cuadrado : P4 (Cube es un caso especial de un prisma)
  • C=P4
• Antiprisma pentagonal : A5
  • I = k5A5 (Caso especial de bipirámide alargada torcida )
  • D = t5dA5 (Caso especial de trapezoedro truncado )

El mosaico euclidiano correcto también se puede usar como semilla:

• Q = Quadrille (mosaico cuadrilátero) = mosaico cuadrado
• H = Hextille = mosaico hexagonal = dΔ
• Δ = Deltille = mosaico triangular = dH

Ejemplos

El cubo puede formar todos los poliedros uniformes convexos con simetría octaédrica . La primera línea muestra los sólidos de Arquímedes , y la segunda muestra los sólidos catalanes . La segunda fila se forma como poliedros duales a los poliedros de la primera fila. Si compara cada nuevo poliedro con un cubo, puede comprender las operaciones realizadas visualmente.

Cubo "semilla"	ambón	truncar	Código Postal	expandir	bisel	desaire
CdO_ _	aC aO	tC zO	zC = dkC tO	aaC = CEO	bC = taC taO	sc tan
doble	unirse	aguja	beso	orto	medio	giroscopio
dCO_ _	jC jO	dtC = kdC kO	kC dtO	oC oO	dtaC = mC mO	gc goo

Un icosaedro truncado , tI o zD, que es un politopo Goldberg G(2,0), crea politopos adicionales que no son transitivos por vértices ni por caras .

Icosaedro truncado como semilla

"semilla"	ambón	truncar	Código Postal	extensión	bisel	desaire
zD ti Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine .	azI atI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	tzD ttI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	tdzD tdtI Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine .	aazD = ezD aatI = etI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	bzD btI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	szD stI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .
doble	unirse	aguja	beso	orto	medio	giroscopio
dzD dtI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	jzD jtI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	kdzD kdtI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	kzD ktI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	ozD otI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	mzD mtI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	gzD gtI Archivado el 1 de febrero de 2017 en Wayback Machine .

Coordenadas geométricas de formas derivadas

En el caso general, se puede pensar en una semilla como un mosaico de la superficie. Dado que los operadores representan operaciones topológicas, las posiciones exactas de los vértices de las formas derivadas generalmente no están definidas. Los politopos regulares convexos como semilla se pueden considerar como mosaicos de una esfera y, por lo tanto, los politopos derivados se pueden considerar como ubicados en una esfera. Al igual que los mosaicos planos regulares, como el parquet hexagonal , estos poliedros en la esfera pueden actuar como una semilla para los mosaicos derivados. Los poliedros no convexos pueden convertirse en semillas si se definen superficies topológicas conectadas para restringir la posición de los vértices. Por ejemplo, los poliedros toroidales pueden producir otros poliedros con puntos en la misma superficie tórica.

Ejemplo: semilla de dodecaedro como mosaico esférico

D	tD	anuncio	zD = dkD	educar	bD = taD	Dakota del Sur
dd	nD = dtD	jD = papá	kD = dtdD	oD = deD	mD=dtaD	gD

Ejemplo: semilla de mosaico hexagonal euclidiana (H)

H	el	aH	tdH = H	eH	bH = taH	sH
dH	nH = dtH	jH = daH	dtdH = kH	oH = deH	mH = dtaH	gH = dsH

Operaciones de derivadas

La mezcla de dos o más operaciones básicas da como resultado una amplia variedad de formas. Hay muchas otras operaciones de derivados. Por ejemplo, mezclar dos operaciones ambo, kis o expandir junto con operaciones duales. El uso de operadores alternativos como unir, truncar, orto, bisel y medial puede simplificar los nombres y eliminar los operadores duales. El número total de aristas de las operaciones derivadas se puede calcular en términos de los multiplicadores de cada operador individual.

Operador(es)	d	una j	k , tn , z _	eo _	gs_ _	a & k	un y e	k & k	k & e k & un 2	e y e
multiplicador de borde	una	2	3	cuatro	5	6	ocho	9	12	dieciséis
Operadores derivados únicos						ocho	2	ocho	diez	2

Las operaciones de la tabla se muestran para un cubo (como ejemplo de semilla) y se dibujan en la superficie del cubo. Las caras azules intersecan los bordes originales y las caras rosadas corresponden a los vértices originales.

Operaciones de derivados

Operador	Ejemplo	Nombre	Construcción alternativa	picos	costillas	facetas	Descripción
		semilla		v	mi	F	poliedro inicial
a			akd	3e _	6e _	v + 2e + f	operación ambo después de truncar
jk			Dak	v + 2e + f	6e _	3e _	unirse a la operación después de kis. Similar a orto , excepto que las nuevas caras cuadradas se insertan en lugar de los bordes originales
Alaska			días	3e _	6e _	v + 2e + f	Operación ambo tras kis. Similar a expandir, excepto que se agregan nuevos vértices a los bordes originales, formando dos triángulos.
jt			dakd = dat	v + 2e + f	6e _	3e _	unir la operación después de truncar. El poliedro dual al obtenido después de las operaciones se trunca, luego ambo
tj			dka	4e _	6e _	v + e + f	unión truncada
ka				v + e + f	6e _	4e _	beso ambo
ea o ae			aaa	4e _	8e _	v + 3e + f	operación ambón extendida, operación ambón triple
oa o je			daaa = jjj	v + 3e + f	8e _	4e _	Operación orth después de ambo, operación triple join
x = kt		exaltar	kdkd dtkd	v + e + f	9e _	7e _	Operaciones de truncamiento, triangulación, división de aristas en 3 partes y adición de nuevos vértices en el centro de las caras originales. La operación transforma el politopo geodésico ( a , b ) en (3 a ,3 b ).
y = tk		tirón	dkdk dktd	v + e + f	9e _	7e _	Operaciones truncar kis, expansión por hexágonos alrededor de cada borde La operación transforma el poliedro de Goldberg G ( a , b ) en G (3 a ,3 b ).
nk			kdk = dtk = ktd	7e _	9e _	v + e + f	beso de aguja
Tennesse			dkdkd = dkt = tkd	7e _	9e _	v + e + f	aguja truncada
tt			dkkd	7e _	9e _	v + e + f	operación de doble truncamiento
k			dttd	v + 2e + f	9e _	6e _	kis de doble operación
Nuevo Testamento			kd = dtt	v + e + f	9e _	7e _	aguja truncada
tz			dkk = ttd	6e _	9e _	v + 2e + f	cremallera truncada
que			Kaa	v+3e+f	12e	8e	Kis ampliar
a			dkaa	8e	12e	v+3e+f	orto truncado
eek			aak	6e	12e	v+5e+f	ampliar besos
OK			daak = dek	v+5e+f	12e	6e	ortopedia
et			aadkd	6e	12e	v+5e+f	operación truncada extendida
Antiguo Testamento			daadkd = det	v+5e+f	12e	6e	orto truncado
te o ba			dkdaa	8e	12e	v+3e+f	truncar expandir
ko o ma			kdaa = dte ma = mj	v+3e+f	12e	8e	kis orto
ab o soy			alias = ata	6e _	12e _	v + 5e + f	bisel de ambón
jb o jm			daka = datos	v + 5e + f	12e _	6e _	bisel unido
ee			aaaaaa	v+7e+f	16e	8e	doble expansión
oh			daaaa = dee	8e	16e	v+7e+f	doble orto

Operaciones derivadas quirales

Hay otras operaciones derivadas si se usa gyro con las operaciones ambo, kis o expand y hasta tres operaciones duales.

Operador(es)	d	a	k	mi	gramo	a&g	kg	p.ej	g&g
multiplicador de borde	una	2	3	cuatro	5	diez	quince	veinte	25
Operadores derivados únicos						cuatro	ocho	cuatro	2

Operaciones de niños quirales

Operador	Ejemplo	Nombre	Edificio	picos	costillas	caras	Descripción
		semilla		v	mi	F	poliedro inicial
Ag			como djsd = djs	v + 4e + f	10e _	5e _	giroscopio ambón
jg			dag = js dasd = das	5e _	10e _	v + 4e + f	giroscopio unido
Georgia			gj dsjd = dsj	v + 5e + f	10e _	4e _	giroscopio ambón
sa			dga = sj dgjd = dgj	4e _	10e _	v + 5e + f	ambón chato
kg			dtsd = dts	v + 4e + f	15 mi	10e _	beso giroscopio
t			dkgd = dkg	10e _	15 mi	v + 4e + f	chato truncado
G k			dstd	v + 8e + f	15 mi	6e _	girokis
S t			dgkd	6e _	15 mi	v + 8e + f	truncamiento desaire
sk			dgtd	v + 8e + f	15 mi	6e _	snubkis
gt			dskd	6e _	15 mi	v + 8e + f	truncamiento giroscópico
Kansas			kdg dtgd = dtg	v + 4e + f	15 mi	10e _	beso desaire
tg			dkdg dksd	10e _	15 mi	v + 4e + f	giroscopio truncado
p.ej			es aag	v + 9e + f	20e _	10e _	giroscopio expandido
og			os daagd = daag	10e _	20e _	v + 9e + f	desaire expandido
edad			vamos gaa	v + 11e + f	20e _	8e _	giroscopio expandir
se			entonces dgaad = dgaa	8e _	20e _	v + 11e + f	desaire expandir
g			gs dssd = dss	v + 14e + f	25e _	10e _	giroscopio doble
ss			sg dggd = dgg	10e _	25e _	v + 14e + f	doble desaire

Operadores extendidos

Estas declaraciones extendidas no se pueden crear de forma genérica utilizando las operaciones básicas anteriores. Algunos operadores pueden crearse como casos especiales con operadores k y t, pero aplicados a ciertas caras y vértices. Por ejemplo, un cubo achaflanado , cC , Un4.valenciadetruncadosvérticesconjCodaC,rómbicododecaedrouncomo,t4daCcomopuede construirse hexecontaedro deltoidal se puede construir como deD u oD con vértices truncados con valencia 5.

Algunos operadores extendidos forman una secuencia y se dan seguidos de un número. Por ejemplo, orto divide una cara cuadrada en 4 cuadrados, mientras que o3 puede dividirse en 9 cuadrados. o3 es una construcción única, mientras que o4 se puede obtener como oo , el operador orto aplicado dos veces. El operador loft puede incluir un índice, como el operador kis , para restringir la aplicación a una cara con un número específico de lados.

La operación de chaflán crea un poliedro Goldberg G(2,0) con nuevos hexágonos entre las caras originales. Las sucesivas operaciones de chaflán crean G(2 n ,0).

Operaciones avanzadas

Operador	Ejemplo	Nombre	Construcción alternativa	picos	costillas	caras	Descripción
		semilla		v	mi	F	poliedro inicial
c (de chaflán )		chaflán	falso	v  + 2e	4e _	f  +  e	Truncamiento de costillas. En lugar de aristas, se insertan nuevas caras hexagonales. poliedro de Goldberg (0,2)
-		-	corriente continua	f  +  e	4e _	v  + 2e	operación dual después del chaflán
tu		subdividir _ _	corriente continua	v+e	4e	f+2e	Operación Ambo mientras se conservan los vértices originales La operación es similar a Bucle de subdivisión de superficie para caras triangulares
-			discos compactos	f+2e	4e	v+e	Operación dual después de subdividir
en _ _		desván _		v + 2e	5e _	f + 2e	Extendiendo cada cara con un prisma , agregando una copia más pequeña de cada cara con trapecios entre la cara interna y externa.
			dl dln_ _	f + 2e	5e _	v + 2e	Operación dual después de loft
			ld l n d	f + 2e	5e _	v + 2e	Operación loft después de dual
			dld dl n d	v + 2e	5e _	f + 2e	Operación asociada a loft
			dL0	f +3 mi	6e _	v + 2e	Operación dual después de encaje
			L0d	f + 2e	6e _	v +3 mi	operación de encaje unido después de doble
			dL0d	v +3 mi	6e _	f + 2e	Operación asociada con encaje unido
q		q uinto		v+3e	6e	f+2e	La operación orto seguida de truncamiento de los vértices situados en el centro de las caras originales. La operación crea 2 nuevos pentágonos para cada borde original.
-			dq	f+2e	6e	v+3e	Operación dual después de quinto
			qd	v+2e	6e	f+3e	Operación quinto después de dual
-			dqd	f+3e	6e	v+2e	Operación asociada al quinto
L0		encaje unido		v + 2e	6e _	f +3 mi	Similar a la operación de encaje, pero con nuevas caras cuádruples en lugar de los bordes originales
L Ln _		as de encaje		v + 2e	7e _	f + 4e	Extendiendo cada cara con un antiprisma , agregando una copia rotada más pequeña de cada cara con triángulos entre la cara antigua y la nueva. Se puede agregar un índice para limitar la operación a una cara con un número específico de lados.
			dL dLn _	f + 4e	7e _	v + 2e	operador dual después de atado
			Ld Ld n	f + 2e	7e _	v +4 mi	operador de encaje después de dual
			dLd dL n d	v +4 mi	7e _	f + 2e	Secuencia de operaciones dual, encaje, dual
k kn _		personal K e		v+2e+f	7e	4e	Subdivisión de caras con cuadriláteros y triángulos centrales. Se puede agregar un índice para limitar la operación a una cara con un número determinado de lados.
			d K dK n	4e	7e	v+2e+f	Operación dual after stake
			kd	v+2e+f	7e	4e	operación de juego después de doble
			d K d	4e	7e	v+2e+f	Operación asociada a la participación
M3		borde-medial-3		v+2e+f	7e	4e	La operación es similar a m3, pero no se agregan bordes diagonales
			dM3	4e	7e	v+2e+f	Operación dual después de edge-medial-3
			M3d	v+2e+f	7e	4e	operación edge-medial-3 después de doble
			dM3d	4e	7e	v+2e+f	Operación asociada con edge-medial-3
M0		unido medial		v+2e+f	8e	5e	La operación es similar a la medial, pero con la adición de caras rómbicas en lugar de los bordes originales.
			dM0 _	v+2e+f	8e	5e	Operación dual después de unión medial
			M0 día	v+2e+f	8e	5e	operación medial conjunta después de doble
			d M0 d	5e	8e	v+2e+f	Operación asociada a medial unido
m3		medio-3		v+2e+f	9e	7e	Triangulación añadiendo dos vértices por arista y un vértice en el centro de cada cara.
b3		bisel-3	dm3	7e	9e	v+2e+f	Operación dual después medial-3
			m3d	7e	9e	v+2e+f	Operación medial-3 después de dual
			dm3d	v+2e+f	9e	7e	Operación asociada a medial-3
o3		orto-3	de 3	v +4 mi	9e _	f + 4e	Operador orth con división de arista por 3
e3		expandir-3	hacer 3	f + 4e	9e _	v +4 mi	operador de expansión con división de aristas por 3
X		cruz		v + f + 3 mi	10e _	6e _	Una combinación de las operaciones kis y subdividir . Las aristas iniciales se dividen por la mitad y se forman caras triangulares y cuadriláteras.
			dX	6e _	10e _	v + f + 3 mi	Operación dual después de la cruz
			xdd	6e _	10e _	v + f + 3 mi	operación cruzada después de doble
			dxd	v + f + 3 mi	10e _	6e _	Operación asociada a cruz
m4		medio-4		v+3e+f	12e	8e	Triangulación con 3 vértices añadidos a cada arista y vértices al centro de cada cara.
u5		subdividir-5		v + 8e	25e _	f +16 mi	Aristas divididas en 5 partes Este operador divide aristas y caras para que se formen 6 triángulos alrededor de cada nuevo vértice.

Operadores quirales extendidos

Estos operadores no se pueden generar de forma genérica a partir de las operaciones básicas enumeradas anteriormente. El artista geométrico Hart creó una operación que llamó hélice .

• p - " hélice " = hélice (operador de rotación que crea quads donde están los vértices). Esta operación es autodual: dpX=pdX.

Operaciones quirales avanzadas

Operador	Ejemplo	Nombre	Construcción alternativa	picos	costillas	facetas	Descripción
		"Semilla"		v	mi	F	poliedro inicial
rp = p _		hélice		v  + 2e	5e _	f  + 2e	operación giroscópica seguida de ambón en los vértices en los centros de las caras originales
-		-	dp=pd	f  + 2e	5e _	v  + 2e	Los mismos vértices que en giroscopio, pero los bordes se forman en lugar de los vértices originales
-				4e _	7e _	v + 2e + f	La operación es similar a snub , pero las caras originales tienen pentágonos en lugar de triángulos alrededor del perímetro.
-		-	-	v + 2e + f	7e _	4e _
w = w2 = w2,1 rw = w		giro		v+ 4e	7e _	f + 2e	Operación giroscopio seguida de truncamiento de los vértices en el centro de las caras originales. La operación crea 2 hexágonos nuevos para cada arista original, poliedro de Goldberg (2,1) El operador de derivada wrw transforma G(a,b) en G(7a,7b).
rv = v _		volumen	dwd	f + 2e	7e _	v+ 4e	operador dual después de torbellino, o desaire seguido de kis en las caras originales. El operador vrv resultante transforma el poliedro geodésico (a,b) en (7a,7b).
g3 rg3 = g3		giroscopio-3		v + 6e	11e _	f + 4e	La operación de giroscopio crea 3 pentágonos a lo largo de cada borde de la fuente
s3 rs3 = s3		desaire-3	dg 3 d = dg 3	f + 4e	11e _	v + 6e	La operación dual después de gyro-3, la operación snub dividiendo los bordes en 4 triángulos medios y con triángulos en lugar de los vértices originales
w3.1 rw3.1 = w3.1		remolino-3.1		v+ 8e	13e _	f +4 mi	La operación crea 4 hexágonos nuevos por cada arista original, poliedro de Goldberg (3,1)
w3 = w3,2 rw3 = w3		torbellino-3,2		v+ 12e	19e _	f+6 mi	La operación crea 12 hexágonos nuevos por cada arista original, poliedro de Goldberg (3,2)

Operaciones que preservan los bordes originales

Estas operaciones de expansión dejan los bordes originales y permiten aplicar el operador a cualquier subconjunto independiente de caras. La notación de Conway mantiene un índice adicional para estas operaciones, indicando el número de lados de las caras involucradas en la operación.

Operador	beso	taza	una taza	desván	cordón	apostar	kis-kis
Ejemplo	kC	CU	CV	lC	LC	KC	kkC
costillas	3e _	4 e - f 4	5 e - f 4	5e _	6e _	7e _	9e _
Imagen en cubo
Extensión	Pirámide	Hazme	antídoto	Prisma	antiprisma

Operadores de Coxeter

Los operadores de Coxeter / Johnson a veces son útiles cuando se combinan con los operadores de Conway. Para mayor claridad, en la notación de Conway, estas operaciones se dan en letras mayúsculas. La notación t de Coxeter define los círculos calientes como índices de un diagrama de Coxeter-Dynkin . Así, en la tabla, la T mayúscula con índices 0,1,2 define operadores homogéneos a partir de la semilla correcta. El índice cero representa vértices, 1 representa bordes y 2 representa caras. Para T = T 0.1 esto será un truncamiento normal, y R = T 1 es un truncamiento completo u operación de rectificación , lo mismo que el operador ambón de Conway. Por ejemplo, r{4,3} o t 1 {4,3} es el nombre de Coxeter para el cuboctaedro , y el cubo truncado es RC , lo mismo que el cubo ambón de Conway , aC .

Operaciones extendidas de Coxeter

Operador	Ejemplo	Nombre	Construcción alternativa	picos	costillas	facetas	Descripción
T0 _	, t 0 {4,3}	"Semilla"		v	mi	F	forma de semilla
R = T1 _	, t 1 {4,3}	rectificar	a	mi	2e _	f + v	Igual que ambo , se agregan nuevos vértices en el medio de los bordes y las nuevas caras reemplazan los vértices originales. Todos los vértices tienen valencia 4.
T2 _	, t 2 {4,3}	doble birectificación	d	F	mi	v	La operación dual para el poliedro semilla: cada vértice crea una nueva cara
T = T0.1 _	, t 0,1 {4,3}	truncar	t	2e _	3e _	v + f	Todos los vértices están cortados.
T 1.2	, t 1,2 {4,3}	bitruncate	z = td	2e _	3e _	v + f	Igual que zip
RR = T 0,2	, t 0,2 {4,3}	cantelar	aa = mi	2e _	4e _	v + e + f	Igual que expandir
TR = T 0,1,2	, t 0.1.2 {4.3}	no puedo correr	ejército de reserva	4e _	6e _	v + e + f	Igual que el bisel

Semioperadores

El operador semi o demi de Coxeter , H (de Half ) , reduce el número de lados de cada cara a la mitad, y cuádruple caras en digons con dos aristas que conectan los dos vértices, y estas dos aristas pueden o no ser reemplazadas por una sola arista . Por ejemplo, el medio cubo, h{4,3}, medio cubo, es HC que representa uno de los dos tetraedros. Ho abrevia orto a ambo / Rectify .

Se pueden definir otros semioperadores (semioperadores) usando el operador H. Conway llama al operador Snub de Coxeter S , semi-snub definido como Ht . El operador snub de Conway se define como SR . Por ejemplo, SRC es un cubo chato, sr{4,3}. El octaedro de Coxeter chato , s{3,4} se puede definir como SO , la construcción de la simetría pirita-édrica para un icosaedro regular . Esto también es consistente con la definición de un antiprisma cuadrado chato regular como SA 4.

El operador semigiroscópico , G , se define como dHt . Esto nos permite definir el operador de rotación de Conway g (gyro) como GR . Por ejemplo, GRC es un girocubo, gC o un icositetraedro pentagonal . GO define un piritoedro con simetría piriteédrica , mientras que gT ( girotetraedro ) define el mismo poliedro topológico con simetría tetraédrica .

Ambos operadores S y G requieren que el politopo desnudo tenga vértices de valencia uniforme. En todos estos semioperadores, hay dos opciones de alternancia de vértices para el medio operador . Estas dos construcciones generalmente no son topológicamente idénticas. Por ejemplo, HjC define un cubo o un octaedro, según el conjunto de vértices seleccionado.

Los otros operadores se aplican solo a politopos con caras que tienen un número par de aristas. El operador más simple es semi-join , que es el conjugado del medio operador , dHd .

El operador semi-orto , F , es conjugado con el semi-romo. Agrega un vértice al centro de la cara y biseca todos los bordes, pero conecta el centro con solo la mitad de los bordes con nuevos bordes, creando así nuevas caras hexagonales. Las caras cuadradas originales no requieren un vértice central, pero requieren solo un borde a través de la cara, creando un par de pentágonos. Por ejemplo, el dodecaedro tetartoide se puede construir como FC .

El operador de semiexpansión , E , se define como Htd o Hz . El operador crea caras triangulares. Por ejemplo, EC crea una construcción con simetría piroédrica del pseudoicosaedro .

Semioperadores en poliedros con caras que tienen un número par de lados

Operador	Ejemplo (Semilla - Cubo)	Nombre	Construcción alternativa	picos	costillas	caras	Descripción
H = H1 H2		semi ambo M adio 1 y 2		v /2	mi - f 4	f - f 4 + v /2	Alternando , eliminando la mitad de los vértices. Las caras cuádruples ( f 4 ) se reducen a aristas individuales.
yo = yo1 yo2		semi-truncado 1 y 2		v /2+ mi	2e _	f + v /2	Trunca todos los demás vértices
		semi-aguja 1 y 2	yo	v /2+ f	2e _	e + v /2	La operación de aguja de cada segundo vértice.
F = F1 F2		semi-orto Flex 1 y 2	dHtd = dHz dSd	v + e + f - f 4	3 e - f 4	mi	Operación dual después de la semiexpansión: se crean nuevos vértices en los bordes y en los centros de las caras, 2 n -ágonos se dividen en n hexágonos, las caras cuadriláteras ( f 4 ) no contendrán un vértice central, por lo que se forman dos caras pentagonales.
E = E1 E2		semi-expandible Eco 1 y 2	Htd = Hz dF = Sd dGd	mi	3 e - f 4	v + e + f - f 4	Operación dual después de semiorto: se crean nuevas caras triangulares. Las caras originales se sustituyen por polígonos con la mitad de los lados, los cuadriláteros ( f 4 ) se reducen a aristas simples.
U = U 1 U 2		COPA semi-encaje p 1 y 2		v + mi	4 e - f 4	2 mi + f - f 4	Extensión de borde con cúpulas .
V = V 1 V 2		semi encaje Anticopa 3 y 4		v + mi	5 e - f 4	3 mi + f - f 4	Aumento de bordes con antidomo
		semimedial 1 y 2	XdH = XJd	v + e + f	5e _	3e _	Operación medial alternativa con respecto a las diagonales
		semimedial 3 y 4		v + e + f	5e _	3e _	Operación alternativa medial con respecto a las medianas (conectando los puntos medios de los lados opuestos)
		semi-bisel 1 y 2	dXdH = dXJd	3e _	5e _	v + e + f	Operación de bisel alternativo con respecto a las diagonales
		semi-bisel 3 y 4		3e _	5e _	v + e + f	Operación de bisel alternativo con respecto a las medianas

Semioperaciones sobre poliedros con vértices de valencia par

Operador	Ejemplo (Semilla - Octaedro)	Nombre	Construcción alternativa	picos	costillas	caras	Descripción
J = J1 J2		semi-join 1 y 2	dhd	v - v 4 + f /2	e - v 4	f /2	Operador conjugado a la mitad, operador de unión en caras alternas. Los vértices de 4 valentes ( v 4 ) se reducen a los de 2 valentes y se reemplazan por un solo borde.
		semi-kis 1 y 2	hizo	v + f /2	2e _	f /2+ mi	Operación kis en la mitad (alternativamente, sin tocar a lo largo de un borde) caras
		semi-cremallera 1 y 2	IDENTIFICACIÓN	f /2+ mi	2e _	v + f /2	Funcionamiento zip en medias caras
S = S1 S2		semidesaire 1 y 2	Ht dFd	v - v 4 + mi	3 e - v 4	f + e	La operación dual después del semigiro es una operación snub , girando las caras originales mientras agrega nuevas caras triangulares a los espacios resultantes.
G = G1 G2		semigiro 1 y 2	dHt dS = Fd dEd	f + e	3 e - v 4	v - v 4 + mi	La operación dual después del semidesaire crea caras pentagonales y hexagonales a lo largo de los bordes originales.
		semimedial 1 y 2	XdHd = XJ	3e _	5e _	v + e + f	Operación medial en la mitad de las caras (borde sin tocar)
		semi-bisel 1 y 2	dXdHd = dXJ	v + e + f	5e _	3e _	Operación de bisel en la mitad de las caras (sin tocar el borde)

Subdivisiones

La operación de subdivisión divide las aristas originales en n nuevas aristas, y el interior de las caras se rellena con triángulos u otros polígonos.

Subdivisión cuadrada

El operador orto se puede aplicar a una serie de potencias de dos subdivisiones de cuadrilátero. Se pueden obtener otras subdivisiones como resultado de subdivisiones factorizadas. El operador de hélice, aplicado secuencialmente, da como resultado una subdivisión de 5-orth. Si la semilla no tiene caras cuádruples, permanecen como copias reducidas para operadores orto impares.

Ejemplos de cubos

Orto		o 2 = o	o 3	o 4 = o 2	o 5 = prp	o 6 = o 3	o 7	o8 = o3 _ _	o 9 \ u003d o 3 2	o 10 = oo 5 = oprp
Ejemplo
picos	v	v + e + f	v +4 mi	v + 7e + f	v + 12e	v + 17e + f	v + 24e	v + 31e + f	v + 40e	v + 63e + f
costillas	mi	4e _	9e _	16e _	25e _	36e _	49e _	64e _	81e _	128e _
facetas	F	2e _	f + 4e	8e _	f +12 mi	18e _	f + 24e	32e _	f + 40e	64e _
Expandir (doble)		mi 2 = mi	mi 3	e4 = e2 _ _	e5 = dprp _	e 6 = ee 3	mi 7	e8 = e3 _ _	e 9 \ u003d e 3 2	e 10 = ee 5 = doprp
Ejemplo

Subdivisión hexagonal quiral

El operador de torbellino crea un poliedro Goldberg G(2,1) con nuevas caras hexagonales alrededor de cada vértice original. Dos operaciones de torbellinos consecutivos crean G(3,5). En general, la operación de torbellino puede transformar G( a , b ) en G( a +3 b ,2 a - b ) para a > b y en la misma dirección quiral. Si las direcciones quirales se invierten, G( a , b ) se convierte en G(2 a +3 b , a -2 b ) para a >=2 b y G(3 a + b ,2 b - a ) para a < 2 segundo _

Los operadores de torbellino forman politopos de Goldberg ( n , n -1) y se pueden definir dividiendo los bordes del politopo desnudo en 2 n -1 subbordes .

El resultado de la operación torbellino- n y su inversa forma un (3 n 2 -3 n +1,0) poliedro de Goldberg . wrw es (7,0), w 3 rw 3 es (19,0), w 4 rw 4 es (37,0), w 5 rw 5 es (61,0) y w 6 rw 6 es (91, 0). El resultado de dos operaciones de torbellino es (( n -1)(3 n -1),2 n -1) o (3 n 2 -4 n +1,2 n -1) . El producto de w a por w b da (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), y w a por el inverso w b da (3ab-a-2b+1,ab) para a ≥b.

El producto de dos operadores idénticos torbellino- n forma el politopo de Goldberg (( n -1)(3 n -1),2 n -1). El producto de k-giratorio y zip es (3k-2,1).

operadores de torbellino

Nombre	semilla	giro	Remolino-3	Remolino-4	Remolino-5	Remolino-6	Remolino-7	Remolino-8	Remolino-9	Remolino-10	Remolino-11	Remolino-12	Remolino-13	Remolino-14	Remolino-15	Remolino-16	Remolino-17	Remolino-18	Remolino-19	Remolino-20	Remolino- n
Operador (Compuesto)	-	w=w2	w3	w4	w5	w6 ww 3.1	w7	w8 w3,1w3,1	w9 ww5,1	w10	w11	w12	w13 ww7.2	w14	w15	w16 ww9.2	w17 w3w6,1	w18	w19 w3,1w7,3	w20 ww11.3	wn _
poliedro de Goldberg	(1.0)	(2.1)	(3.2)	(4.3)	(5.4)	(6.5)	(7.6)	(8.7)	(9.8)	(10.9)	(11.10)	(12.11)	(13.12)	(14.13)	(15.14)	(16.15)	(17.16)	(18.17)	(19.18)	(20.19)	( norte , n - 1)
Expansión en T	una	7	19	37	61	91 7×13	127	169 13×13	217 7×31	271	331	397	469 7×67	547	631	721 7×103	817 19×43	919	1027 13×79	1141 7×163	3n ( n -1 ) +1
Ejemplo
Vértice	v	v +4 mi	v + 12e	v + 24e	v + 40e	v + 60e	v +84 mi	v +112 mi	v +144 mi	v +180 mi	v + 220e	v +264 e	v +312 mi	v +364 e	v +420 mi	v +480 mi	v +544 e	v +612 e	v +684 e	v +760 e	v + 2n ( n -1) e
costillas	mi	7e _	19e _	37e _	61e _	91 mi	127e _	169 mi	217e _	271e _	331e _	397 mi	469 mi	547 mi	631 mi	721e _	817e _	919e _	1027 mi	1141 mi	e + 3n ( n -1) e
facetas	F	f + 2e	f + 6e	f +12 mi	f + 20e	f + 30e	f + 42e	f + 56e	f + 72e	f +90 mi	f + 110e	f + 132e	f + 156e	f + 182e	f +210 mi	f + 240e	f +272 mi	f +306 mi	f + 342e	f + 380e	f + norte ( norte - 1) mi
w n w n	(1.0)	(5.3)	(16.5)	(33.7)	(56.9)	(85.11)	(120.13)	(161.15)	(208.17)	(261.19)	(320.21)	(385.23)	(456.25)	(533.27)	(616.29)	(705.31)	(800.33)	(901.35)	(1008.37)	(1121.39)	(( n - 1)( 3n -1), 2n - 1)
wnrwn _ _ _ _	(1.0)	(7.0)	(19.0)	(37.0)	(61.0)	(91.0)	(127.0)	(169.0)	(217.0)	(271.0)	(331.0)	(397.0)	(469.0)	(547.0)	(631.0)	(721.0)	(817.0)	(919.0)	(1027.0)	(1141.0)	(1+ 3n ( n -1),0)
wn z _	(1.1)	(4.1)	(7.1)	(10.1)	(13.1)	(16.1)	(19.1)	(22.1)	(25.1)	(28.1)	(31.1)	(34.1)	(37.1)	(40.1)	(43.1)	(46.1)	(49.1)	(52.1)	(55.1)	(58.1)	( 3n -2.1)

Subdivisión triangulada

La operación u n divide las caras en triángulos dividiendo cada arista en n partes, llamada división de n frecuencias del poliedro geodésico de Buckminster Fuller 2] .

Los operadores de Conway en poliedros pueden construir muchas de estas subdivisiones.

Si todas las caras originales son triángulos, los nuevos poliedros también tendrán todas las caras como triángulos y se crean mosaicos triangulares en lugar de las caras originales . Si los poliedros originales tienen caras con más lados, todas las caras nuevas no serán necesariamente triángulos. En tales casos, el poliedro puede someterse primero a la operación kis con nuevos vértices en el centro de cada cara.

Ejemplos de subdivisiones en un cubo

Operador	tu 1	tu 2 = tu	u3 = x	tu 4 = uu	tu 5	tu 6 = ux	tu 7 \u003d vrv	tu 8 = uuu	u9 = xx
Ejemplo
notación de Conway	C Archivado el 2 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	uC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	xC Archivado el 16 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	uuC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	tu 5 C	uxC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	vrvC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	uuuC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	xxC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .
picos	v	v+e	v+e+f	v+4e	v+8e	v+11e+f	v+16e	v+21e	v+26e+f
costillas	mi	4e	9e	16e	25e	36e	49e	64e	81e
facetas	F	f+2e	7e	f+8e	f+16e	24e	f+32e	f+42e	54e
triangulación completa
Operador	tu 1k _	tu 2 k = reino unido	tu 3k = xk	tu 4k = uuk	tu 5 k	tu 6 k = uxk	u 7 k \u003d vrvk	tu 8 k = uuuk	tu 9k = xxk
Ejemplo
Conway	kC Archivado el 5 de febrero de 2017 en Wayback Machine .	ukC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	xkC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	uukC Archivado el 16 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	tu 5 kC	uxkC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	vrvkC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	uuukC Archivado el 16 de marzo de 2017 en Wayback Machine .	xxkC Archivado el 15 de marzo de 2017 en Wayback Machine .
doble goldberg	{3,n+} 1,1	{3,n+} 2,2	{3,n+} 3,3	{3,n+} 4.4	{3,n+} 5,5	{3,n+} 6,6	{3,n+} 7,7	{3,n+} 8,8	{3,n+} 9,9

Poliedros geodésicos

Las operaciones de Conway pueden duplicar algunos de los poliedros de Goldberg y poliedros duales a geodésicos. El número de vértices, aristas y caras del poliedro de Goldberg G ( m , n ) se puede calcular a partir de m y n y el número de nuevos triángulos en cada triángulo original se calcula mediante la fórmula T  =  m 2  +  mn  +  norte 2  = ( metro  +  norte ) 2  -  min . Las construcciones ( m ,0) y ( m , m ) se enumeran debajo de la notación para las operaciones de Conway.

Clase I

Para politopos duales de Goldberg, el operador u k se define aquí como una división de caras con subdivisión de bordes en k partes. En este caso, el operador de Conway u = u 2 , y su operador adjunto dud es el operador chaflán , c . Este operador se usa en gráficos por computadora , en el esquema de subdivisión de bucles . El operador u 3 viene dado por el operador de Conway kt = x , y su operador adjunto y = dxd = tk . El producto de dos operadores de torbellino con inversión de quiralidad, wrw o w w , da una subdivisión en 7 en forma de politopo de Goldberg G(7,0), por lo que u 7 = vrv . Las subdivisiones más pequeñas y las operaciones de torbellino en pares quirales pueden construir formas adicionales de clase I. La operación w(3,1)rw(3,1) produce el politopo de Goldberg G(13,0). La operación w(3,2)rw(3,2) da G(19,0).

Clase I: Operaciones de subdivisión sobre el icosaedro como poliedro geodésico

( metro ,0)	(1.0)	(2.0)	(3.0)	(4.0)	(5.0)	(6.0)	(7.0)	(8.0)	(9.0)	(10.0)	(11.0)	(12.0)	(13.0)	(14.0)	(15.0)	(16.0)
T	una	cuatro	9	dieciséis	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256
Operación compuesta	tu 1	tu 2 = tu = cd	u 3 \ u003d x \ u003d kt	tu 4 = tu 2 2 = dccd	tu 5	tu 6 = tu 2 tu 3 = dctkd	tu 7 = v v = dwrwd	tu 8 = tu 2 3 = dcccd	tu 9 = tu 3 2 = nudo	tu 10 = tu 2 tu 5	tu 11	tu 12 = tu 2 2 tu 3 = dccdkt	tu 13 v 3.1 v 3.1	tu 14 = tu 2 tu 7 = uv v = dcwrwd	tu 15 = tu 3 tu 5 = tu 5 x	tu 16 = tu 2 4 = dccccd
cara triangular
Icosaedro Conway Geodésico	Archivado el 30 de diciembre de 2016 en Wayback Machine { 3.5+ } 1.0	uI = k5aI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 2.0	xI = ktI Archivado el 30 de diciembre de 2016 en Wayback Machine {3.5+} 3.0	u 2 I Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine { 3.5+ } 4.0	{3.5+} 5.0	uxI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 6.0	vrvI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 7.0	u 3 I Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine { 3.5+ } 8.0	x 2 I Archivado el 8 de enero de 2018 en Wayback Machine { 3.5+ } 9.0	{3.5+} 10.0	{3.5+} 11.0	u 2 x I Archivado el 10 de enero de 2017 en Wayback Machine { 3.5+ } 12.0	{3.5+} 13.0	uvrvI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 14.0	{3.5+} 15.0	u 4 I Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine { 3.5+ } 16.0
Operador dual		C	y = tk	CC	de 5	cy = ctk	ww = wrw_ _	ccc	y 2 = tktk	cc5 _	de 11	ccy = cctk	w 3.1 w 3.1	cww = cwrw _	c 5 años	cccc
Dodecaedro Conway Goldberg	D Archivado el 30 de diciembre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 1.0	CD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 2.0	yD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 3.0	CCD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 4.0	do 3 re {5+,3} 5.0	cyD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 6.0	wrwD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 7.0	cccD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 8.0	y 2 D Archivado el 30 de diciembre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 9.0	CC 5 D {5+,3} 10.0	c 11 D {5+,3} 11.0	ccyD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {5+,3} 12.0	w3,1rw3,1D {5+,3} 13.0	cwrwD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {5+,3} 14.0	c 5 yardas {5+,3} 15,0	ccccD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine G{5+,3} 16.0

Clase II

También se puede definir una división ortogonal usando el operador n = kd . El operador transforma el politopo geodésico ( a , b ) en ( a +2 b , a - b ) para a > b . Convierte ( a ,0) en ( a , a ) y ( a , a ) en (3 a ,0). El operador z = dk hace lo mismo para los poliedros de Goldberg.

Clase II: Operaciones de subdivisión ortogonal

( metro , metro )	(1.1)	(2.2)	(3.3)	(4.4)	(5.5)	(6.6)	(7.7)	(8.8)	(9.9)	(10.10)	(11.11)	(12.12)	(13.13)	(14.14)	(15.15)	(16.16)
T = metro 2 × 3	3 1×3	12 4×3	27 3×3	48 24×3	75 25×3	108 36×3	147 49×3	192 64×3	243 81×3	300 100×3	363 121×3	432 144×3	507 169×3	588 196×3	675 225×3	768 256×3
Operación	tu 1 norte norte = kd	tu 2 n = un = dct	tu 3 n = xn = ktkd	tu 4 norte = tu 2 2 norte = dcct	tu 5n _	tu 6 norte = tu 2 = tu 3 norte = dctkt	tu 7 norte = v v norte = dwrwt	tu 8 norte = tu 2 3 norte = dcct	tu 9 norte = tu 3 2 norte = ktktkd	tu 10 norte = tu 2 tu 5 norte	tu 11 norte	tu 12 norte = tu 2 2 tu 3 norte = dcctkt	tu 13 norte	tu 14 norte = tu 2 tu 7 norte = dcwrwt	tu 15 norte = tu 3 tu 5 norte	tu 16 norte = tu 2 4 norte = dcccct
cara triangular
Icosaedro Conway Geodésico	nI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 1.1	unI Archivado el 30 de diciembre de 2016 en Wayback Machine {3.5+} 2.2	xnI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 3.3	u 2 nI Archivado el 30 de diciembre de 2016 en Wayback Machine {3.5+} 4.4	{3.5+} 5.5	uxnI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 6.6	vrvnI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 7.7	u 3 nI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 8.8	x 2 nI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 9.9	{3.5+} 10.10	{3.5+} 11.11	u 2 xnI Archivado el 10 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 12.12	{3.5+} 13.13	dcwrwdnI Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 14.14	{3.5+} 15.15	tu 4 ni { 3.5+ } 16.16
Operador dual	z = dk	cz = CDK	yz = tkdk	c 2 z = cdk	c5z	cyz = ctkdk	w w z = wrwdk	c 3 z = cccdk	y 2 z = tktkdk	cc5z	c11z	c 2 yz = c 2 tkdk	c13z	cwwz = cwrwdk _ _	c3c5z	c 4 z = ccccdk
Dodecaedro Conway Goldberg	zD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 1.1	czD Archivado el 7 de abril de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 2.2	yzD Archivado el 30 de diciembre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 3.3	cczD Archivado el 7 de abril de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 4.4	{5+,3} 5.5	cyzD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {5+,3} 6.6	wrwzD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {5+,3} 7.7	c 3 zD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {5+,3} 8.8	y 2 zD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {5+,3} 9.9	{5+,3} 10.10	G{5+,3} 11.11	ccyzD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {5+,3} 12.12	{5+,3} 13.13	cwrwzD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine G{5+,3} 14.14	{5+,3} 15.15	cccczD Archivado el 9 de enero de 2017 en Wayback Machine {5+,3} 16.16

Clase III

La mayoría de los politopos geodésicos y los duales de los poliedros de Goldberg G(n,m) no se pueden construir utilizando operadores derivados de los operadores de Conway. La operación de torbellino crea un poliedro de Goldberg G(2,1) con nuevas caras hexagonales alrededor de cada vértice original, y n -torbellino produce G( n , n -1). En formas con simetría icosaédrica , t5g equivale en este caso a torbellino. La operación v (= voluta = giro) representa la subdivisión triangular dual a torbellino . En formas icosaédricas, la operación se puede realizar usando el operador derivado k5s , pentakis snub .

Dos operaciones de remolino consecutivas crean G(3,5). En general, la operación de torbellino puede transformar G( a , b ) en G( a +3 b ,2 a - b ) para a > b con la misma dirección quiral. Si se invierte la dirección quiral, G( a , b ) se convierte en G(2 a +3 b , a -2 b ) para a >=2 b , y G(3 a + b ,2 b - a ) para a < 2b . _

Clase III: Operaciones de subdivisión en partes desiguales

Operación compuesta	v 2,1 = v	versión 3.1	v 3,2 = v 3	v4,1 = vn_ _	v 4,2 = vu	versión 5.1	v 4,3 = v 4	v 5.2 = v 3 norte	versión 6.1	v 6.2 = v 3.1 tu	v5,3 = vv _	v 7.1 = v 3 norte	v 5,4 = v 5	v6.3 = vx _	versión 7.2
T	7	13	19	21 7×3	28 7×4	31	37	39 13×3	43	52 13×4	49 7×7	57 19×3	61	63 9×7	67
cara triangular
Icosaedro Conway Geodésico	VI { 3.5+ } 2.1	v 3.1 Yo {3.5+} 3.1	v 3 yo {3.5+} 3.2	vnI Archivado el 3 de febrero de 2017 en Wayback Machine {3.5+} 4.1	vui {3.5+} 4.2	{3.5+} 5.1	v 4 yo {3.5+} 4.3	v 3 ni { 3.5+ } 5.2	{3.5+} 6.1	v 3.1uI { 3.5+ } 6.2	nivel { 3.5+ } 5.3	v 3 ni { 3.5+ } 7.1	v 5 yo {3.5+} 5.4	vxI Archivado el 8 de enero de 2018 en Wayback Machine {3.5+} 6.3	v 7.2 Yo {3.5+} 7.2
Operador	w	3.1 _	w 3	wz	WC	5.1 _	w 4	w3.1z _ _	6.1 _	w 3.1 s	www	w 3 z	5 _	wy	7.2 _
dodecaedro de conway	wD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 2.1	w 3.1 D {5+,3} 3.1	w 3 D {5+,3} 3,2	wzD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 4.1	wcD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 4.2	w 5.1 D {5+,3} 5.1	w 4 D {5+,3} 4.3	w 3 zD {5+,3} 5.2	{5+,3} 6.1	w 3.1 CD {5+,3} 6.2	wwD Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine {5+,3} 5.3	w 3 zD {5+,3} 7.1	v 5 D {5+,3} 5.4	JMJ Archivado el 8 de enero de 2018 en Wayback Machine {5+,3} 6.3	w 7.2 D {5+,3} 7.2

Otras operaciones de clase III: Operaciones de subdivisión en partes desiguales

Operación compuesta	versión 8.1	v 6.4 = v 3 tu	versión 7.3	v8.2 = wcz _	v 6.5 = v 6 = vrv 3.1	vv 9.1 = vv 3.1	versión 7.4	versión 8.3	versión 9.2	versión 7.5	v 10.1 = v 4 norte	v 8,4 = vuu	v 9.3 = v 3.1 x	v 7.6 = v 7	v 8.6 v 4 u
T	73	76 19×4	79	84 7×4×3	91 13×7		93	97	103	109	111 37×3	112 7×4×4	117 13×9	127	148 37×4
cara triangular
Icosaedro Conway Geodésico	v 8.1 Yo {3.5+} 8.1	v 3 ui { 3.5+ } 6.4	v 7.3 Yo {3.5+} 7.3	vunI {3.5+} 8.2	vv3.1I {3.5+} 6.5	vrv3.1I {3.5+} 9.1	v 7.4 Yo {3.5+} 7.4	v 8.3 Yo {3.5+} 8.3	v 9.2 Yo {3.5+} 9.2	v 7.5 Yo {3.5+} 7.5	v 4 ni { 3.5+ } 10.1	vuui {3.5+} 8.4	v 3.1xI { 3.5+ } 9.3	v 7 yo {3.5+} 7.6	v 4 ui { 3.5+ } 8.6
Operador	8.1 _	3.1 _	7.3 _	w3,1c	wcz	w 3.1 w	7.4 _	8.3 _	9.2 _	7.5 _	w 4 z	wcc	w 3.1 años	7 _	w 4 c
dodecaedro de conway	w 8.1 D {5+,3} 8.1	w 3 CD {5+,3} 6.4	w 7.3 D {5+,3} 7.3	wczD {5+,3} 8.2	ww3,1D {5+,3} 6.5	wrw3,1D {5+,3} 9,1	w 7.4 D {5+,3} 7.4	w 8.3 D {5+,3} 8.3	w 9.2 D {5+,3} 9.2	w 7.5 D {5+,3} 7.5	w4zD { 5 +,3} 10.1	wccD {5+,3} 8.4	w 3,1 yardas {5+,3} 9,3	w 7 D {5+,3} 7.6	w 4 CD {5+,3} 8.6

Ejemplos de simetría de poliedros

La repetición de operaciones, partiendo de una forma simple, puede dar poliedros con un gran número de caras que conservan la simetría de la semilla.

Simetría tetraédrica

• t6dtT

• enT

• tatuaje

• stT

• XT (10e)

• dxt (10e)

• m3T

• b3T

• dhccc

• dFtO

• para

Simetría octaédrica

• daC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (2e)

• cC (4e) * Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine .

• dcC (4e) * Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine .

• cO Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (4e)

• akC (6e) * Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine .

• dakC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (6e)

• m3C (6e)

• m3O (6e)

• b3C (6e)

• b3O(6e)

• atC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (6e)

• qC(6e)

• edaC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (8e)

• dktO=tkC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (9e)

• taaC (12e) * Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine .

• XO (10e)

• XC (10e)

• dXO (10e)

• dXC (10e)

• cdkC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (12e)

• ccC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (16e)

• tkdkC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (18e)

• tatO Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (18e)

• tatC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (18e)

• l6l8taC Archivado el 4 de marzo de 2017 en Wayback Machine (22e)

• ccdkC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (48e)

• wrwC Archivado el 16 de enero de 2017 en Wayback Machine (49e)

• cccC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (64e)

• tktkC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (81e)

• H1taC

• H2taC

• dH1taC

• dH2taC

quiral

• wC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (7e)

• sAC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (10e)

• gaC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (10e)

• sAC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (10e)

• sto Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (15e)

• stC Archivado el 4 de enero de 2017 en Wayback Machine (15e)

Simetría isoédrica

• kD Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine = daD (2e)

• kD (3e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• dkD=tI (3e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• cI (4e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• t5daD = cD (4e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• dcI (4e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• dakD (6e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• atD Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (6e)

• atI = akD (6e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• qD Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (6e)

• m3D (6e)

• m3i (6e)

• b3D (6e)

• b3I (6e)

• edaD (8e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• tkdD (9e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• gaD (10e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• XI (10e)

• XD (10e)

• dXI(10e)

• dXD (10e)

• teD (12e) * Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• cdkD Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (12e)

• m3ai (12e)

• tatI Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine = takD (18e)

• tatD Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (18e)

• atkD Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (18e)

• m3tD (18e)

• qtI Archivado el 4 de marzo de 2017 en Wayback Machine = t5t6otI (18e)

• dqtI Archivado el 4 de marzo de 2017 en Wayback Machine = k5k6etI (18e)

• actI Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (24e)

• kdktI Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (27e)

• tktI Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (27e)

• dctkD Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (36e)

• ctkD Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine (36e)

• k6k5tI Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• kt5daD Archivado el 3 de marzo de 2017 en Wayback Machine .

• dHtmD

• F1taD

• F2taD

• dF1taD

• dF2taD

quiral

• dsd (5e)

• SD (5e)

• wD(7e)

• k5sD (7e)

• triste (10e)

• triste (10e)

• g3D (11e)

• s3D (11e)

• g3I (11e)

• s3i (11e)

• ITS (15e)

• estándar (15e)

• wtI(21e)

• k5k6sti (21e)

Simetría diedro

• t4daA4=cA4

• t4daA4=cA4 (lado)

• t4daA4=cA4 (superior)

• tA4

• tA5

• htA2

• htA3=Yo

• htA4

• htA5

• eP3 = aaP3

• eA4 = aaA4

Simetría toroidal

Los mosaicos toroidales existen en un toro plano , en la superficie de un duocilindro en el espacio 4D, pero se pueden proyectar en el espacio 3D como un toro normal . Estos mosaicos son topológicamente similares a los subconjuntos de mosaicos en el plano euclidiano.

• Toro cuadrado regular 1x1, {4,4} 1,0

• Toro cuadrado regular de 4x4, {4,4} 4,0

• Proyección tQ24×12 sobre toro

• proyección toroide taQ24×12

• proyección actQ24×8 sobre toro

• Proyección toroide tH24×12

• proyección toroide taH24×8

• kH24×12 proyección toroide

Simetría cuadrada euclidiana

• tq

• cQ

• akQ

• HDXQ

• dHdXQ

Simetría triangular euclidiana

• tH

• cΔ

• CH

• ctH

• dakH

• aaaH

• aaaH, equilátero

Véase también

• Poliedros uniformes
• Algoritmos gráficos por computadora :
  • Subdivisión de superficie Du-Sabine –operador de expansión
  • Algoritmo de subdivisión de superficies Catmull-Clark - operador orto
• Poliedro de Godberg
• Simetroedro

Notas

1. ↑ Acumulación - de Wolfram MathWorld . Consultado el 25 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 24 de noviembre de 2017. (indefinido)
2. ↑ Pugh, 1976 , pág. 63.

Literatura

• George W. Hart , Escultura basada en poliedros propulsados , Actas de MOSAIC 2000, Seattle, WA, agosto de 2000, págs. 61–70 [1] Archivado el 3 de noviembre de 2017 en Wayback Machine .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Capítulo 21: Nombrar los poliedros arquimedianos y catalanes y teselaciones // Las simetrías de las cosas. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Visualización de la notación de poliedros de Conway  // Academia Mundial de Ciencias, Ingeniería y Tecnología 50. - 2009.
• Antonio Pugh. Capítulo 6, Poliedro geodésico // Poliedros: una aproximación visual . - 1976. - S. p.63.

Enlaces

• Intérprete de Conway de George Hart Archivado el 29 de noviembre de 2014 en Wayback Machine : genera poliedros en VRML , tomando la notación de Conway como entrada. También incluye explicaciones útiles de las operaciones.
  • Nombres de poliedros Archivado el 12 de noviembre de 2020 en Wayback Machine .
• Truncamiento de vértices y bordes de los sólidos platónicos y de Arquímedes que conducen a poliedros transitivos de vértices Archivado el 16 de marzo de 2019 en Wayback Machine Livio Zefiro
• polyHédronisme Archivado el 25 de abril de 2012 en Wayback Machine : genera poliedros en lienzo HTML5, tomando la notación de Conway como entrada
• Weisstein, Eric W. Conway Polyhedron Notation  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
• Notación de John Conway Archivado el 3 de febrero de 2018 en Wayback Machine Visualización de la notación de poliedro de Conway Archivado el 9 de abril de 2017 en Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. Truncation  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld . (truncar)
• Weisstein, Eric W. Rectificación  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld . (ambón)
• Weisstein, Eric W. Cumulation or Apiculation  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld . (beso)
• Operadores de Conway, PolyGloss, Wendy Krieger Archivado el 22 de octubre de 2017 en Wayback Machine .
• Sólidos Derivados

poliedros
correcto	Tridimensional (sólidos platónicos) tetraedro regular Cubo Octaedro Dodecaedro icosaedro 4D cinco celdas teseracto celda hexadecimal veinticuatro celda 120 celdas seiscientas celdas Dimensión mayor (indicada entre paréntesis) Símplex regular Hipercubo ( Penteract (5) hexadecimal (6) Hepteracto (7) Octeracto (8) Enneract (9) Despreciar (10) ) hiperoctaedro
regular no convexo	dodecaedro estrellado Icosidodecaedro estrellado icosaedro estrellado poliedro estrella octaedro estrellado
Tridimensional por el número de caras (indicado entre paréntesis)	Monoedro (1) diedro (2) Triedro (3) tetraedro (4) Pentaedro (5) Hexaedro (6) Heptaedro (7) Octaedro (8) Eneaedro (9) Decaedro (10) Endecaedro (11) Dodecaedro (12) Tridecaedro (13) Tetradecaedro (14) Pentadecaedro (15) Hexadecaedro (16) Heptadecaedro (17) Octadecaedro (18) Eneadecaedro (19) Icosaedro (20) Icosotetraedro (24) Triacontaedro (30) Hexacontaedro (60) Eneacontaedro (90) Hectotriadioedro (132) Apeiroedro (∞)
convexo	sólidos de Arquímedes cuboctaedro icosidodecaedro tetraedro truncado octaedro truncado Icosaedro truncado cubo truncado dodecaedro truncado Rombicuboctaedro Rombicosidodecaedro Cuboctaedro truncado Icosidodecaedro rombotruncado cubo chato dodecaedro chato cuerpos catalanes dodecaedro rómbico Rombotriacontaedro triaquistetraedro tetraquishexaedro pentakisdodecaedro Triakisoctaedro triaquisicosaedro Icositetraedro deltoidal Hexacontaedro deltoidal Hexakisoctaedro hexaquisicosaedro Icositetraedro pentagonal Hexacontaedro pentagonal prismas prisma triangular prisma cuadrangular prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octogonal Prisma de nueve ángulos prisma decagonal Prisma de once ángulos Prisma dodecagonal poliedros de johnson pirámide cuadrada Pirámide pentagonal cúpula de tres pendientes cúpula de cuatro tonos cúpula de cinco pendientes rotonda de cinco pendientes Pirámide triangular alargada Pirámide cuadrangular alargada Pirámide pentagonal alargada Pirámide cuadrangular alargada retorcida Pirámide pentagonal alargada torcida bipirámide triangular Bipirámide pentagonal Bipirámide triangular alargada Bipirámide cuadrangular alargada Bipirámide pentagonal alargada Bipirámide cuadrangular alargada retorcida Cúpula triangular alargada Cúpula a cuatro aguas alargada Cúpula alargada de cinco lados rotonda alargada de cinco pendientes Cúpula triangular alargada retorcida Cúpula torcida alargada de cuatro tonos Cúpula torcida alargada de cinco tonos rotonda alargada torcida de cinco pendientes girobifastigio Bi-domo recto de tres vertientes Bi-domo recto de cuatro pendientes Bi-domo torneado de cuatro pendientes Bi-domo recto de cinco pendientes Bi-domo de cinco pendientes Cúpula recta de cinco vertientes Cúpula torneada de cinco vertientes-orotonda Birotunda recta de cinco pendientes Bi-domo recto alargado de tres pendientes Bi-domo rotado de tres pendientes alargado Girobicúpula cuadrada alargada Bi-domo recto alargado de cinco pendientes Bi-domo alargado de cinco pendientes convertido Cúpula recta alargada de cinco vertientes Cúpula torneada alargada de cinco vertientes Birotunda recta alargada de cinco vertientes Birotunda alargada de cinco pendientes convertida Bi-cúpula alargada retorcida de tres pendientes Bi-cúpula alargada torcida de cuatro tonos Bi-cúpula alargada torcida de cinco pendientes Cúpula torcida alargada de cinco vertientes Birotunda alargada torcida de cinco vertientes Prisma triangular extendido Prisma triangular doblemente extendido Prisma triangular triple extendido Prisma pentagonal extendido Prisma pentagonal doblemente extendido Prisma hexagonal extendido Prisma hexagonal extendido de doble opuesto Prisma hexagonal doblemente extendido oblicuamente Prisma hexagonal triple extendido dodecaedro aumentado Dodecaedro doblemente extendido Dodecaedro doblemente extendido Dodecaedro Triple Aumentado Doble icosaedro cortado oblicuamente Icosaedro de corte triple Icosaedro de corte triple aumentado Tetraedro truncado aumentado Cubo truncado aumentado Cubo truncado doblemente aumentado Dodecaedro truncado aumentado Dodecaedro truncado dodecaedro doblemente extendido dodecaedro dodecaedro Dodecaedro truncado de triple aumento Rombicosidodecaedro retorcido Rombicosidodecaedro doblemente torcido Rombicosidodecaedro doblemente torcido Rombicosidodecaedro tritorcido Cortar rombicosidodecaedro Rombicosidodecaedro truncado con torsión opuesta Rombicosidodecaedro truncado torcido oblicuamente Rombicosidodecaedro truncado doblemente torcido Rombicosidodecaedro de doble corte opuesto El rombicosidodecaedro cortado dos veces oblicuamente Rombicosidodecaedro torcido de doble corte Rombicosidodecaedro trisecado biclinoide escamoso Antiprisma cuadrado chato corona de cuña Corona de cuña extendida Corona de cuña grande Corona de cuña grande aplanada biclínico con cinturón serporotonda doble Clinorotonda triangular aplanada Pirámide Bipirámide antiprisma Zonoedro Paralelepípedo romboedro prismatoideo tetraedro Pirámide truncada Pentagondodecaedro paraleloedro Hazme Rotonda Birotonda deltaedro Dodecaedro trapecerombico Dodecaedro de Bilinsky poliedro cíclico
Fórmulas , teoremas , teorías	Teorema de barrido de Alexandrov teorema de Bleecker Teorema del politopo de Cauchy Teorema del politopo de Lindelöf Teorema de los poliedros de Minkowski teorema de Sabitov Teorema de Euler para poliedros Fórmula de Schläfli
Otro	Símbolo Schläfli notación de Conway Poliedro de Silashi Chasar poliedro poliedro de Schoenhardt Poliedro flexible ( poliedro de Steffen ) poliedro de Hanner Santoedro Poliedro de permutación tetraedro ortocéntrico tetraedro isoédrico cuboides grupo poliedro dodecaedros Ángulo sólido cubo unidad Escanear Parquet escutoide