Solución de Kerr-Newman

La solución de Kerr-Newman es una solución exacta de las ecuaciones de Einstein que describen un agujero negro giratorio cargado eléctricamente sin perturbaciones y sin un término cosmológico. El significado astrofísico de la solución no está claro, ya que se supone que los colapsares naturales no pueden tener una carga eléctrica significativa.

La forma de la solución y sus propiedades

La familia Kerr-Newman de tres parámetros es la solución más general correspondiente al estado final de equilibrio de un agujero negro no perturbado por campos externos (según los teoremas de “no pelo” para campos físicos conocidos ). En coordenadas de Boyer-Lindquist, la métrica de Kerr-Newman viene dada por: [1]

ds^{2}=-\left(1-{2\,Mr-Q^{2} \over \Sigma }\right)\,dt^{2}-2(2\,Mr-Q^{2 })a{\sin ^{2}\theta \over \Sigma }\,dt\,d\varphi \,+

+\left(r^{2}+a^{2}+{(2\,Mr-Q^{2})a^{2}\sin ^{2}\theta \over \Sigma }\right) \sin ^{2}\theta \,{d\varphi ^{2}}+{\Sigma \over \Delta }\,dr^{2}+{\Sigma \,{d\theta ^{2}} },

donde ; y , donde el momento angular se normaliza a la velocidad de la luz, y es una carga igualmente normalizada. $\Sigma \equiv r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$ $\Delta \equiv r^{2}-2Sr+a^{2}+Q^{2}$ $a\equiv L/M$ $L$ $q$

De esta sencilla fórmula se deduce fácilmente que el horizonte de sucesos se encuentra en un radio: , y por lo tanto los parámetros de un agujero negro no pueden ser arbitrarios: la carga eléctrica y el momento angular no pueden ser mayores que los valores correspondientes a la desaparición de el horizonte de sucesos. Se deben cumplir las siguientes restricciones: ${\displaystyle r_{+}=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2))))$

a^{2}+Q^{2}\leqslant M^{2}

es la limitación para Kerr-Newman BH .

Si se violan estas restricciones, el horizonte de eventos desaparecerá y la solución en lugar de un agujero negro describirá la llamada singularidad "desnuda" , pero tales objetos, según las creencias populares, no deberían existir en el Universo real (según el aún no probado, pero plausible principio de la censura cósmica ). Alternativamente, puede haber una fuente de materia colapsada debajo del horizonte que cierra la singularidad y, por lo tanto, la solución externa de Kerr o Kerr-Newman debe acoplarse continuamente con la solución interna de las ecuaciones de Einstein con el tensor de energía-momento de esta materia. . La singularidad desaparece junto con la restricción de los parámetros de la solución de Kerr-Newman para el BH.

Allá por 1970, V. Israel consideró la fuente de la solución Kerr-Newman en forma de un disco giratorio que cierra este movimiento. Esta dirección fue desarrollada por C. L`opez, quien demostró que la singularidad de Kerr puede cerrarse mediante una cáscara giratoria (burbuja), y en este caso no se aplica la restricción sobre los parámetros de la solución de Kerr-Newman. Además, como señaló B. Carter (1968), la solución de Kerr-Newman tiene la misma relación giromagnética que la de un electrón según la ecuación de Dirac. La historia de esta dirección para la solución Kerr-Newman se describe en arXiv:0910.5388[hep-th] .

La métrica de Kerr-Newman (y solo Kerr, pero no Schwarzschild) puede continuarse analíticamente a lo largo del horizonte de tal manera que se conecten infinitos espacios "independientes" en un agujero negro. Pueden ser tanto "otros" universos como partes remotas de nuestro Universo. Hay curvas temporales cerradas en los espacios así obtenidos: el viajero puede, en principio, adentrarse en su pasado, es decir, encontrarse consigo mismo. También hay una región alrededor del horizonte de sucesos de un agujero negro en rotación llamada ergosfera , que es prácticamente equivalente a la ergosfera de la solución de Kerr; un observador estacionario ubicado allí debe girar con una velocidad angular positiva (en la dirección de rotación del agujero negro).

Coordenadas de Kerr-Schild

La expresión más simple para las soluciones de Kerr y Kerr-Newman se toma en la forma de Kerr-Schild (KS) [2] , en la que la métrica tiene la forma

{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2Hk_{\mu }k_{\nu ))

donde es la métrica del espacio auxiliar de Minkowski con coordenadas cartesianas . ${\ estilo de visualización \ eta _ {\ mu \ nu}}$ ${\ Displaystyle x = x ^ {\ mu} (x) = (t, x, y, z)}$

De esta forma, es un campo vectorial de direcciones similares a la luz. A menudo dicen direcciones "cero", porque . Tenga en cuenta que la estructura específica de la forma de la métrica KSh asegura que el campo también sea cero con respecto al espacio plano auxiliar, es decir, . $k^{\mu}(x)$ $k_{\mu }k^{\mu }=g_{\mu \nu }k^{\mu }k^{\nu }=0$ $k^{\mu}(x)$ $\eta _{\mu \nu }k^{\mu }k^{\nu }=0$

La función H tiene la forma

H={\frac {Sr-|Q|^{2}/2}{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta )),

donde están las coordenadas esferoidales achatadas de Kerr, que están definidas por la relación ${\ estilo de visualización r, \ theta}$

x+iy=(r+ia)e^{i\phi }\sin \theta ,\ z=r\cos \theta .

e ir lejos del agujero negro en las coordenadas esféricas habituales. En estas coordenadas, las componentes del vector se determinan a partir de la forma diferencial ${\ Displaystyle k_ {\ alfa}}$

k_{\alpha }dx^{\alpha }=dr-dt-a\sin ^{2}\theta d\phi

comparando los coeficientes frente a los diferenciales. Este es un ejemplo de un cálculo utilizando un aparato muy conveniente de formas externas, que fue utilizado por Kerr para obtener una solución en el primer artículo y en los siguientes.

De hecho, la coordenada angular de Kerr es muy inusual, y la forma simple de la KSh se debe al hecho de que toda la complejidad de la solución está oculta en la forma de un campo vectorial , que es un flujo similar a un vórtice de luz que forma la llamada Congruencia Principal Cero (GNC). En coordenadas cartesianas, los componentes de un campo vectorial están definidos por la forma $\fi$ $k^{\mu}(x)$ ${\ Displaystyle k_ {\ mu}}$

k_{\mu }dx^{\mu }=-dt+{\frac {z}{r}}dz+{\frac {r}{r^{2}+a^{2}}}(xdx +ydy)-{\frac {a}{r^{2}+a^{2}}}(xdy-ydx)

En la teoría KSh, para determinar este campo, también se utilizan coordenadas cartesianas "cero" (ligeras)

$u=(zt)/{\sqrt {2)),\quad v=(z+t)/{\sqrt {2)),\quad \zeta =(x+iy)/{\sqrt { 2)),\quad {\bar {\zeta}}=(x-iy)/{\sqrt {2}}$ ,

en el que la congruencia tiene componentes determinados por la forma diferencial

k_{\mu }^{(\pm )}dx^{\mu }=P^{-1}(du+{\bar {Y}}^{\pm }d\zeta +Y^{\ pm }d{\bar {\zeta }}-Y^{\pm }{\bar {Y}}^{(\pm )}dv)

Esta expresión está definida por una función compleja , que tiene dos soluciones , lo que da dos congruencias diferentes (GNC) para el campo vectorial . Por lo tanto, la solución para rotar BH se puede escribir en dos formas diferentes, que se basan en una congruencia "dentro" o "fuera" del BH, lo que corresponde a las llamadas soluciones algebraicamente especiales de tipo D (según la clasificación de Petrov ). ${\ estilo de visualización Y (x)}$ $Y^{\pm }(x)$ $k^{\mu}(x)$

La representación en la forma KS tiene una serie de ventajas, ya que la congruencia, todas las coordenadas y la forma de las soluciones para el campo electromagnético (EM) y la métrica resultan estar rígidamente relacionadas con las coordenadas del espacio plano auxiliar y no dependen de la posición del horizonte y del límite de la ergosfera. Además, las soluciones de KSh continúan analíticamente de manera única a través del horizonte hacia BH y más allá de la hoja "negativa", la región de valores negativos de la coordenada radial achatada . $r$

En coordenadas de Kerr , la función tiene la forma ${\ estilo de visualización \ theta, \ phi}$ ${\ estilo de visualización Y (x)}$

Y(x)=e^{i\phi }\tan {\frac {\theta}{2))

Geométricamente, es una proyección de la esfera celeste con coordenadas en el plano complejo , sin embargo, la dependencia es muy no trivial y viene dada por el teorema de Kerr , muy relacionado con los twistores . De hecho, el GNC forma la columna vertebral de la solución de Kerr como un torbellino de rayos twistor. La función para la solución en reposo tiene la forma ${\ estilo de visualización \ theta, \ phi}$ $Y$ ${\ estilo de visualización x \ a Y (x)}$ ${\ estilo de visualización P}$

$P={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+Y{\bar {Y}})$ .

Al igual que la forma de la métrica KSh, todas las características tensoriales de la solución deben ser consistentes con el campo vectorial GNK y, en particular, el vector potencial del campo EM de la solución Kerr-Newman se expresa como

A^{\mu }=\Re e{\frac {Qr}{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }}k^{\mu }

La singularidad de Kerr está debajo del horizonte. Está relacionado con la singularidad de la función H y corresponde a los valores y simultáneamente . Se trata de un anillo que abre paso a la lámina negativa de la geometría de Kerr , sobre la que se invierten los valores de masa y carga, así como la dirección de los campos. (No debe confundirse con la máxima extensión analítica de soluciones a través del horizonte del agujero negro, descrita un poco más adelante). Esta segunda hoja ("El espejo de Alicia") ha sido durante mucho tiempo el enigma de la solución de Kerr. ${\ estilo de visualización r = 0}$ ${\ estilo de visualización \ theta = 0}$ ${\ estilo de visualización r <0}$

Literatura

C. Mizner, K. Thorne, J. Wheeler. Gravedad. - Mir, 1977. - T. 3. - 512 p.
Subramanyan Chandrasekhar . Teoría matemática de los agujeros negros. En 2 volúmenes = Teoría matemática de los agujeros negros / Traducido del inglés por Ph.D. norte. V. A. Berezina. ed. d.f.-m. norte. D. A. Galtsova. — M .: Mir, 1986.
I. D. Novikov, V. P. Frolov. Física de agujeros negros. — M .: Nauka, 1986. — 328 p.

Notas

↑ C. Misner, K. Thorne, J. Wheeler. Gravity, Vol. 3, 1977 , Suplemento 33.2. KERR-NEWMAN GEOMETRÍA Y CAMPO ELECTROMAGNÉTICO, pág. 88.
↑ Debney GC, Kerr RP y Schild A. Soluciones de las ecuaciones de Einstein y Einstein-Maxwell // Journal of Mathematical Physics . - 1969. - Vol. 10 _ - Pág. 1842-1854 . -doi : 10.1063/ 1.1664769 .

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