Relatividad numérica

La relatividad numérica es un  campo de la relatividad general que desarrolla y utiliza métodos y algoritmos numéricos para la simulación por computadora de procesos físicos en campos gravitatorios intensos cuando es necesario resolver numéricamente las ecuaciones de Einstein . Los principales sistemas físicos que requieren de la relatividad numérica para ser descritos se relacionan con la astrofísica relativista e incluyen colapso gravitacional , estrellas de neutrones , agujeros negros , ondas gravitatorias y otros objetos y fenómenos, para una descripción adecuada de los cuales es necesario referirse a la teoría general completa de relatividad sin aproximaciones convencionales campos débiles y bajas velocidades (como en las expansiones posnewtonianas y la teoría de perturbaciones en el contexto de las soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein ) [1] .

El modelado en esta área requiere métodos numéricos especiales debido a la complejidad y no linealidad de las ecuaciones de Einstein (por ejemplo, la hiperbolicidad y corrección de la formulación del problema de Cauchy de su evolución en el tiempo depende de la representación de las ecuaciones, así como de la inicial y condiciones de contorno [2] ), y también para la mayoría de las tareas tridimensionales: alta potencia informática disponible solo para las supercomputadoras modernas . Actualmente, en relatividad numérica, la investigación es relevante en el campo del modelado de estrellas binarias cercanas relativistas y ondas gravitacionales relacionadas, así como muchos otros problemas matemáticos y astrofísicos [1] .

Información general

El objetivo principal de la relatividad numérica es el estudio de los campos gravitatorios , cuya forma analítica exacta se desconoce. Los campos gravitatorios, cuya forma se busca mediante cálculos, pueden ser completamente dinámicos , estacionarios o estáticos, y también pueden contener campos materiales [~ 1] o ser vacíos. En el caso de soluciones estacionarias y estáticas, se pueden utilizar métodos numéricos para estudiar la estabilidad de estas configuraciones. A su vez, en el caso de los campos gravitatorios dinámicos, el problema se puede dividir en dos partes, que requieren diferentes métodos de solución: el problema de los valores iniciales y el problema de la evolución [3] .

La relatividad numérica se utiliza en el estudio de modelos cosmológicos , fenómenos críticos en el colapso gravitacional , así como procesos que involucran agujeros negros y estrellas de neutrones , especialmente sus fusiones y perturbaciones . En cada uno de estos casos, es necesario rastrear la evolución del espacio-tiempo, para lo cual las ecuaciones de Einstein se pueden representar de varias formas. Los más populares son los métodos del problema de Cauchy , pero también se utilizan el método de las características [4] y los métodos basados ​​en el cálculo de Regge [5] . Todos los métodos anteriores comienzan con una "instantánea" del campo gravitacional en alguna hipersuperficie , es decir, a partir de los datos iniciales, y luego rastrean su evolución hasta las siguientes hipersuperficies cercanas, avanzando en el tiempo [6] .

Como en todos los problemas de análisis numérico, en la relatividad numérica se presta mucha atención a la estabilidad y convergencia de soluciones numéricas, condiciones iniciales y de contorno admisibles. Los detalles de la relatividad numérica son las complicaciones introducidas por la presencia de condiciones de calibre y coordenadas , así como varias representaciones de las ecuaciones de Einstein y su influencia en la capacidad de obtener soluciones numéricas precisas.

Muchas de las técnicas numéricas utilizadas en la teoría clásica de campos no son aplicables a la relatividad general, por lo que el trabajo en esta área difiere de la investigación en el campo de la relatividad numérica. Sin embargo, en problemas a gran escala, la relatividad numérica comparte muchos aspectos con otras ciencias computacionales, como la dinámica de fluidos computacional , la electrodinámica y la mecánica de cuerpos rígidos . Los científicos involucrados en la relatividad numérica a menudo trabajan junto con matemáticos aplicados y entran en contacto con áreas de las matemáticas como el análisis numérico , la computación paralela , las ecuaciones diferenciales parciales y la geometría [7] .

Historia

Fundamentos teóricos

Albert Einstein publicó la versión final de la teoría general de la relatividad en 1915 [8] . Esta teoría, al igual que la teoría especial de la relatividad que la precedió , describe el espacio y el tiempo como un solo objeto: el espacio-tiempo , cuya evolución obedece a las ecuaciones de Einstein . Forman un sistema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales acopladas . En el siglo que ha pasado desde la derivación de estas ecuaciones, solo se ha conocido un número relativamente pequeño de soluciones analíticas exactas físicamente relevantes de estas ecuaciones , y la mayoría de ellas se derivan bajo el supuesto de alta simetría, lo que simplifica la solución de ecuaciones. , como las soluciones de Friedmann para un Universo homogéneo e isotrópico [ 9 ] .

El campo de la relatividad numérica surgió del deseo de estudiar soluciones más generales y físicamente aplicables a las ecuaciones de Einstein resolviéndolas numéricamente de forma aproximada. Una condición necesaria para tal solución era llevar a cabo la división de un solo espacio-tiempo tetradimensional en un espacio tridimensional dividido y un tiempo unidimensional, la llamada división 3 + 1 . Además, puede llevarse a cabo de muchas maneras diferentes, lo que puede complicar o simplificar significativamente el problema de integrar las ecuaciones resultantes. El primer intento bastante exitoso de escisión fue realizado por Richard Arnowitt, Stanley Deser y Charles Misner a fines de la década de 1950 en el formalismo hamiltoniano a lo largo del camino indicado por Dirac . Culminó con la obtención de ecuaciones que forman el llamado formalismo ADM, el formalismo Arnowitt-Deser-Mizner [10] . Aunque, por razones técnicas, estas ecuaciones en particular resultaron no ser muy convenientes para la integración numérica (solo son débilmente hiperbólicas y, por lo tanto, rara vez se usan en cálculos reales), la gran mayoría de los enfoques prácticos de la relatividad numérica usan una división 3 + 1 cercana a la utilizada en el formalismo ADM. Tal división conduce a una reformulación de las ecuaciones de Einstein en forma de un problema de Cauchy con restricciones en los valores iniciales, que ya es susceptible de solución numérica en computadoras [11] .

Las coordenadas en el espacio-tiempo no se pueden determinar de manera única, por lo tanto, incluso cuando se fijan las coordenadas en la hipersuperficie inicial, cuando se mueve a una hipersuperficie vecina, las coordenadas temporales y espaciales se pueden "empujar" de diferentes maneras en diferentes puntos (ya en la teoría especial de relatividad, la dirección y la velocidad del flujo del tiempo no coincide en diferentes marcos de referencia inerciales), que es la especificidad de la relatividad numérica. Esta libertad de medida, que no afecta a los procesos físicos, sino que sólo cambia su descripción en términos de coordenadas y, en consecuencia, de las ecuaciones que se resuelven, se manifiesta en la arbitrariedad de la elección de las funciones de movimiento y desplazamiento , puntos de "empuje" con puntos fijos. coordenadas espaciales desde la hipersuperficie inicial hasta la vecina hacia adelante en el tiempo — y hacia los lados en el espacio — , respectivamente. La capacidad de elegir estas funciones es una ventaja potencial para la solución numérica de ecuaciones, pero se ha encontrado que muchas elecciones "naturales" de estas condiciones de coordenadas o indicadores causan inestabilidades numéricas en las soluciones, lo que lleva a interrupciones de la simulación [12] .

En el momento de la publicación de los artículos originales sobre el formalismo ADM, el desarrollo de la tecnología informática no permitía realizar cálculos utilizando sus ecuaciones para ningún problema de tamaño razonable. Históricamente, el primer intento de resolver numéricamente las ecuaciones de Einstein fue realizado por Hahn y Lindqvist en 1964 [13] , y luego en la década de 1970 por Smarr [14] [15] y Eppley [16] . Estos primeros intentos estaban relacionados con la evolución de los datos iniciales de Misner en espacios axialmente simétricos (también conocidos como "dimensiones 2+1"). Casi al mismo tiempo, Zvi Piran escribió el primer código que trazaba la evolución de un sistema cilíndricamente simétrico que emitía radiación gravitatoria [17] . En este desarrollo, Piran inició muchos de los conceptos que ahora se utilizan en la relatividad numérica, como la evolución libre y la evolución restringida, métodos que abordan el problema de la evolución de las restricciones de datos iniciales en el tiempo de diferentes maneras [18] [19] . El uso de la simetría redujo los requisitos necesarios de memoria y potencia informática, lo que permitió a los científicos utilizar las supercomputadoras de entonces para resolver este problema [17] .

Primeros resultados

Los primeros cálculos realistas para un verdadero problema astrofísico, el colapso giratorio, se llevaron a cabo a principios de la década de 1980 por Richard Stark y Zvi Piran [20] , en los que se calcularon por primera vez las ondas gravitacionales emitidas por un agujero negro giratorio en formación. En las casi dos décadas desde esta publicación, solo se han hecho públicos unos pocos resultados nuevos en relatividad numérica, probablemente debido a la falta de computadoras lo suficientemente potentes para resolver estos problemas. En la década de 1990, Binary Black Hole Grand Challenge Alliance simuló con éxito una colisión frontal entre dos agujeros negros utilizando simplificaciones derivadas de la simetría axial del problema . En la etapa de procesamiento posterior, el grupo pudo calcular el horizonte de eventos para la solución resultante [21] .  

Algunos de los primeros intentos conocidos de resolver numéricamente las ecuaciones de Einstein en geometría espacial 3D completa se centraron en un agujero negro de Schwarzschild que no gira , que es una solución estática y esféricamente simétrica de las ecuaciones de Einstein. Es una excelente prueba para los métodos de la relatividad numérica, ya que, en primer lugar, la solución se conoce en una forma analítica exacta, con la que se pueden comparar los resultados numéricos, en segundo lugar, es estática y cualquier agujero negro que no gire debería converger a ella con el tiempo. , y en tercer lugar, contiene uno de los objetos más difíciles para el modelado numérico: una singularidad gravitacional física en el centro. Uno de los primeros intentos de obtener esta solución numéricamente fue realizado por Anninos et al., en 1995 [22] . En este trabajo señalaron:

El progreso en la relatividad numérica 3D se ve obstaculizado en parte por la falta de computadoras con suficiente memoria y poder de cómputo para realizar cálculos en 3D con buena resolución.

Texto original  (inglés)[ mostrarocultar] El progreso en la relatividad numérica tridimensional se ha visto obstaculizado en parte por la falta de computadoras con suficiente memoria y poder computacional para realizar cálculos bien resueltos de espaciotiempos 3D.

Área de desarrollo

A lo largo de los años, además de que las computadoras se vuelven más poderosas, varios grupos de investigación han desarrollado técnicas alternativas para aumentar la eficiencia de la computación. En primer lugar, el grupo de Lazarus desarrolló métodos que utilizaron los primeros resultados de simulaciones cortas para resolver ecuaciones ADM no lineales para fusiones de agujeros negros con el fin de proporcionar datos iniciales para un código más robusto basado en las ecuaciones linealizadas de la teoría de la perturbación de un solo agujero negro [23] . Luego, en lo que respecta al modelado de agujeros negros, se desarrollaron dos técnicas para evitar los problemas asociados con la existencia de una singularidad física en las soluciones de ecuaciones: (1) eliminación y (2) el método del “prick” [24] . La combinación de estos métodos con las condiciones de coordenadas adecuadas encontradas permitió en 2005 hacer un gran avance en el modelado de agujeros negros binarios, que comenzó con el trabajo de Pretorius [25] . Unos años más tarde, la estabilidad numérica de los nuevos métodos hizo posible simular configuraciones casi arbitrarias de agujeros negros binarios, describiendo decenas y cientos de revoluciones entre sí antes de fusionarse. Además, en relatividad numérica se empezaron a utilizar los métodos de refinamiento adaptativo de la grilla computacional, que antes se empleaban en dinámica de fluidos computacional [26] .

Proyecto Lázaro

El proyecto Lazarus (1998-2005) se desarrolló después del Gran Desafío como una técnica para extraer resultados astrofísicamente relevantes de las simulaciones numéricas cortas disponibles en ese momento de fusiones binarias de agujeros negros. En ese momento, todos los intentos conocidos de integrar las ecuaciones de Einstein para el espacio-tiempo de los agujeros negros binarios en las supercomputadoras, debido a varios tipos de inestabilidades, no pudieron avanzar ni siquiera hasta completar una rotación completa del sistema. En el marco del proyecto, los investigadores combinaron métodos aproximados antes ( trayectorias post-newtonianas ) y después de la transformación de un par de agujeros en uno solo (perturbaciones de agujeros negros individuales) con soluciones numéricas completas del proceso mismo [23] .

El enfoque del proyecto Lazarus en ese momento fue el mejor enfoque para el problema de los agujeros negros binarios y dio una gran cantidad de resultados suficientemente precisos para aplicaciones astrofísicas, como los valores de la energía y el momento angular arrastrado por las ondas gravitacionales [27]. ] [28] , así como el momento durante la fusión de agujeros negros de varias masas [29] , y los valores de la masa final, el momento y el momento angular del agujero negro emergente [30] . Los métodos del proyecto también permitieron calcular las formas detalladas de las ondas gravitatorias emitidas durante la fusión, lo que fue importante para los telescopios gravitacionales , y predijeron que las colisiones de agujeros negros deberían ir acompañadas de las explosiones de energía más poderosas del universo, cuando más energía. se libera en forma de radiación gravitacional en una fracción de segundo, que todas las estrellas de la galaxia irradian durante su existencia - la radiación gravitacional se lleva varios por ciento de la masa reducida inicial del sistema [31] .

Método de exclusión

En la técnica de escisión ,  que se propuso por primera vez a fines de la década de 1990 [32] , la parte del espacio-tiempo dentro del horizonte de eventos que rodea la singularidad del agujero negro simplemente se excluye de la evolución . Teóricamente, esto no debería afectar la decisión fuera del horizonte de eventos debido al principio de causalidad y las propiedades del horizonte, ya que ninguna interacción física debajo del horizonte puede tener ningún efecto sobre la física fuera de él. Por lo tanto, si simplemente no resuelve las ecuaciones dentro del agujero negro, aún puede obtener la solución real exacta fuera de él. Es posible “eliminar” la dinámica interna imponiendo en el límite interior del horizonte, abrazando la singularidad, las condiciones límite de ausencia de ondas salientes [33] .

Aunque el uso de la técnica de eliminación ha tenido mucho éxito, tiene dos pequeños problemas. La primera es que uno debe elegir y usar cuidadosamente las condiciones de las coordenadas. Si bien los efectos físicos no pueden propagarse desde dentro del horizonte hacia el exterior, los efectos de coordenadas sí pueden. Por ejemplo, si se imponen condiciones de coordenadas elípticas, los cambios de cuadrícula dentro de un agujero negro pueden propagarse instantáneamente hacia el exterior a través del horizonte [34] . Esto significa que para aplicar el método de eliminación es necesario utilizar condiciones de coordenadas de tipo hiperbólico, en las que las velocidades de propagación características de los efectos de coordenadas son menores o iguales a la velocidad de la luz (por ejemplo, utilizando condiciones de coordenadas armónicas) [35] . El segundo problema es que, dado que el agujero negro se está moviendo, la región de exclusión debe moverse constantemente junto con él [33] .

El método de eliminación se ha desarrollado durante varios años, mientras que se encontraron nuevas condiciones de calibración que aumentan la estabilidad del procedimiento de solución, y se demostró la capacidad de las regiones excluidas para moverse a lo largo de la cuadrícula computacional [36] [37] [38] [ 39] [40] [35] . El primer cálculo largo estable de la órbita y la fusión de dos agujeros negros utilizando esta técnica se publicó en 2005 [25] .

El método de inyección

En el método  de punción , la solución se divide en una parte analítica [41] , que contiene la singularidad del agujero negro: la punción, y una parte construida numéricamente, que no contiene la singularidad. Este método es una generalización del algoritmo de Brill-Lindquist [42] para datos iniciales con agujeros negros en reposo, y puede generalizarse aún más al algoritmo de Bowen-York [43] para datos iniciales con agujeros negros en rotación y movimiento. Hasta 2005, todos los ejemplos publicados del uso del método "prick" requerían que las coordenadas de todos los pinchazos se fijaran durante la duración de la simulación. Por supuesto, los agujeros negros muy próximos entre sí se moverán bajo la influencia de las fuerzas gravitatorias, por lo que las coordenadas fijas de los pines significan que los sistemas de coordenadas se "estiran" o "distorsionan", lo que conduce a la inestabilidad numérica en algunas etapas de la simulación Efectos similares son causados ​​por el uso de otro método: la evitación de singularidades, cuando los agujeros negros se forman en la simulación por el colapso de la materia, y las condiciones de coordenadas se eligen de tal manera que la hipersuperficie tridimensional que evoluciona en el tiempo no alcanza la singularidad hasta el final de los cálculos, formando un "cuerno" alargado a su alrededor [44 ] .

En 2005, los investigadores demostraron por primera vez la posibilidad de que los pinchazos se movieran a lo largo de un sistema de coordenadas, resolviendo así algunos de los primeros problemas del método, que hizo posible rastrear con precisión la evolución a largo plazo de los agujeros negros [25] [45 ] [46] . Al elegir condiciones de coordenadas adecuadas y hacer aproximaciones analíticas aproximadas de campos físicos cerca de la singularidad (dado que ningún efecto físico puede escapar de un agujero negro, la rugosidad de la aproximación no es importante), se pueden obtener soluciones numéricas para el problema de dos agujeros negros. rotando uno alrededor del otro, y también calcular con precisión su radiación gravitatoria [47] .

Refinamiento de malla adaptable

El refinamiento de malla adaptativa como método numérico se utilizó en física mucho antes del surgimiento de la relatividad numérica. En él, se utilizó por primera vez en la década de 1980 en los trabajos de Choptwick cuando estudiaba fenómenos críticos durante el colapso de un campo escalar , cuando las configuraciones del campo están al borde mismo entre la formación final de un agujero negro y la expansión final en el espacio. [48] ​​[49] . El trabajo original era unidimensional, ya que usaban simetría esférica, pero luego el método se generalizó a dos dimensiones [50] . Los métodos de refinamiento bidimensional también se han aplicado al estudio de cosmologías no homogéneas [51] [52] y agujeros negros de Schwarzschild [53] . Los métodos de refinamiento adaptativo ahora se han convertido en una herramienta estándar en relatividad numérica y se utilizan en el estudio de fusiones de agujeros negros y otros objetos compactos, además de estudiar la propagación de ondas gravitacionales generadas por tales eventos [54] [55] .

Desarrollo moderno

Hasta la fecha, se escriben decenas y cientos de artículos por año sobre relatividad numérica, presentando una amplia gama de resultados en las áreas de las matemáticas de la relatividad general, las ondas gravitacionales y la astrofísica, obtenidos al resolver el problema de los agujeros negros que giran unos alrededor de otros. Los métodos utilizados se generalizaron para estudiar sistemas binarios astrofísicos, incluidas estrellas de neutrones, agujeros negros [56] y conjuntos de agujeros negros [57] . Entre otras cosas, estos artículos predicen que cuando dos agujeros negros en rotación se fusionan, el agujero resultante puede alcanzar velocidades de hasta 4000 e incluso hasta 10 000 km/s , lo que le permite ir más allá de cualquier galaxia conocida [58] [59] . Las simulaciones también predicen una gran liberación de energía durante la fusión, que puede representar hasta el 8 % de la masa total en reposo, y la posibilidad de un cambio brusco en el eje de rotación de un agujero negro , lo que puede explicar los cambios en las direcciones de los chorros. observado en radiogalaxias [ 60] . Una importante línea de investigación es también la creación de un catálogo de las formas de radiación gravitacional de la fusión de agujeros negros, sin el cual la búsqueda de estas señales en datos de detectores como LIGO y VIRGO es mucho menos sensible [61] .

La precisión de los métodos modernos de relatividad numérica se hizo posible comprobar en la práctica inmediatamente después del descubrimiento de las ondas gravitacionales . Se encontró que la señal GW150914 estaba de acuerdo con las predicciones de la relatividad numérica dentro del 4% de error [62] .

Véase también

Notas

  1. ↑ En la teoría general de la relatividad, todos los campos, excepto los campos gravitatorios, suelen denominarse materiales.
Fuentes
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Literatura

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Enlaces

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