Colon conectado

Un colon conectado ( colon de Alexandrov ) es un espacio topológico finito de dos puntos de un cierto tipo; el ejemplo significativo más simple de un espacio topológico no Hausdorff en topología general .

Se define como un espacio topológico formado por un conjunto de dos elementos ("abierto") y ("cerrado"), cuya topología viene dada por la siguiente lista de tres subconjuntos abiertos : $\circ$ $\bala$

$\varnada$ - conjunto vacío ;
$\{\círculo \}$ - un conjunto de un elemento es "abierto";
$\{\circ ,\bullet \}$ - todo el espacio.

Además del conjunto vacío y los dos puntos completos, su subconjunto abierto es solo , y su subconjunto cerrado es solo . Vemos que un punto no tiene otra vecindad que todo el espacio; por lo tanto, el espacio viola el axioma T1 , en particular, no es Hausdorff. También vemos que el punto no es un subconjunto cerrado. $\{\círculo \}$ $\{\bala \}$ $\bala$ $\circ$

Un mapeo de un espacio topológico a dos puntos conectados es continuo si y solo si la preimagen del punto está abierta en (o, de manera equivalente, la preimagen del punto está cerrada en ). Esta propiedad justifica los nombres de los puntos de dos puntos vinculados. Un colon conectado es un espacio conectado y también conectado por caminos . $F$ $X$ $F^{{-1}}(\circ )$ $\{\círculo \}$ $X$ $F^{{-1}}(\bullet)$ $\{\bala \}$ $X$

El cubo de Alexander , la potencia de dos puntos conectados , es un espacio universal para -espacios de peso en , es decir, cualquier -espacio de peso es homeomorfo a un subespacio [1] . $F^{m}$ $T_{0}$ $metro$ $m\geqslant\aleph_{0}$ $T_{0}$ $metro$ $F^{m}$

Notas

↑ Engelking, 1986 , Teorema 2.3.26, p. 138.

Literatura

Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. — ISBN 5-354-00822-0 .
Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.