Traza (teoría de campos)

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Trace es un mapeo de los elementos de la extensión final del campo al campo inicial K , definido de la siguiente manera: $E\supset K$

Sea E una extensión finita K de grado , sea un elemento del campo E . Dado que E es un espacio vectorial sobre un campo K , este elemento define una transformación lineal . Esta transformación en alguna base se puede asociar con la matriz . La traza de esta matriz se llama la traza del elemento α . Dado que en otra base este mapeo corresponderá a una matriz similar con la misma traza, la traza no depende de la elección de la base, es decir, cada elemento de la extensión se asocia de forma única con su traza. Se denota o, si está claro de qué extensión se trata, simplemente . $n=[E:K]$ $\alpha \in E$ $x\mapsto\alpha x$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )$ ${\text{Tr}}(\alpha )$

Propiedades de rastreo

${\text{Tr))(\alpha +\beta )={\text{Tr))(\alpha )+{\text{Tr))(\beta )$
${\text{Tr))(c\alpha )=c{\text{Tr))(\alpha )$ a $c\en K$
Si E es una extensión separable de , entonces es un funcional distinto de cero; si no es separable, entonces . ${\text{Tr}}_{K}^{E}$ ${\text{Tr}}_{K}^{E}=0$
La traza es transitiva, es decir, para una cadena de extensiones tenemos $K\subconjunto E\subconjunto F$ ${\text{Tr))_{K}^{E}({\text{Tr))_{E}^{F}(\alpha ))={\text{Tr))_{K}^{ F}(\alfa)$
Si es una extensión algebraica simple y es un polinomio mínimo α, entonces ${\ estilo de visualización E = K (\ alfa)}$ ${\displaystyle f(x)=x_{n}+a^{n-1}x_{n-1}+...+a_{1}x+a_{0))$ ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=-a_{{n-1}}$

Trace la expresión en términos de automorfismos de E sobre K

Sean σ 1 ,σ 2 …σ m todos los automorfismos de E que dejan elementos de K fijos . Si E es separable, entonces m es igual al grado [E:K]=n . Entonces existe la siguiente expresión para la traza:

${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _ {m}(\alfa)$

Si E no es separable, entonces m≠n , pero n es un múltiplo de m , y el cociente es algún grado de característica p: n=p i m .

Después ${\text{Tr))_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\ sigma _{m}(\alpha ))^{m/n}$

Ejemplo

Sea K el campo de los números reales y E el campo de los números complejos . Entonces la traza del número es . La traza de un número complejo se puede calcular usando la fórmula y esto concuerda bien con el hecho de que la conjugación compleja es el único automorfismo del campo de los números complejos. $a+bi$ $2a$ ${\text{Tr}}\;z=z+{\bar z}$

Véase también

Norma (teoría de campos)

Literatura

Van der Waerden BL Álgebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O. , Samuel P. Álgebra conmutativa v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Álgebra -M:, Mir, 1967