Aceleración propia

La aceleración intrínseca [1]  en la teoría de la relatividad es la aceleración física (es decir, aceleración medible, por ejemplo usando un acelerómetro ) experimentada por un objeto. Por lo tanto, es la aceleración relativa a la caída libre o un observador inercial que está momentáneamente en reposo con respecto al objeto que se mide. La gravedad no provoca su propia aceleración, ya que la gravedad actúa sobre el observador inercial de tal forma que su propia aceleración no es fija. La consecuencia es que todos los observadores inerciales siempre tienen aceleración intrínseca cero.

La aceleración intrínseca contrasta con la aceleración , que depende de la elección del sistema de coordenadas y, por tanto, de la elección del observador.

En las coordenadas inerciales estándar de la teoría especial de la relatividad para el movimiento unidireccional, la propia aceleración es la tasa de cambio de la propia velocidad relativa al tiempo coordinado.

En un marco inercial en el que el objeto está instantáneamente en reposo, el 3-vector de aceleración apropiado, combinado con un componente de tiempo cero, da la 4-aceleración del objeto, lo que hace que la magnitud de la aceleración intrínseca de Lorentz sea invariante . Así, el concepto es útil en los siguientes casos: (i) con marcos acelerados, (ii) a velocidades relativistas, y (iii) en espacio-tiempo curvo.

En un cohete que acelera después del lanzamiento, o incluso en un cohete en el lanzamiento, la aceleración intrínseca es la aceleración que sienten los ocupantes y se describe como una fuerza g (que no es una fuerza, sino solo una aceleración, consulte este artículo para obtener una discusión más detallada de la aceleración intrínseca) producida solo por vehículos. [2] La "aceleración de la gravedad" ("gravedad") nunca contribuye a su propia aceleración bajo ninguna circunstancia, lo que significa que la propia aceleración observada por los observadores parados en el suelo se debe a una fuerza mecánica de la tierra , y no debida a la "fuerza o "aceleración" de la gravedad. Si se quita el suelo y se permite que el observador caiga libremente, el observador experimentará una aceleración coordinada, pero no una autoaceleración y, por lo tanto, ninguna fuerza g. Por lo general, los objetos en tal caída, o en general en cualquier trayectoria balística (también llamada movimiento inercial), incluidos los objetos en órbita, no experimentan su propia aceleración (despreciando las pequeñas aceleraciones de las mareas para las trayectorias inerciales en los campos gravitatorios). Este estado también se conoce como " ingravidez " ("cero-g") o "caída libre".

La aceleración intrínseca se reduce a la coordenada uno en el sistema de coordenadas inercial en espacio-tiempo plano (es decir, en ausencia de gravedad), siempre que la velocidad intrínseca del objeto [3] (cantidad de movimiento por unidad de masa) sea mucho menor que la velocidad de la luz c . Es solo en tales situaciones que la aceleración coordinada se siente completamente como una sobrecarga (es decir, su propia aceleración, también definida como la creación de un peso medible).

En situaciones donde no hay gravedad, pero el sistema de coordenadas elegido no es inercial, sino que acelera con el observador (por ejemplo, el marco de referencia acelerado del cohete que acelera o un marco fijo en objetos en una centrífuga), entonces las fuerzas g y las correspondientes aceleraciones propias observadas por los observadores en estos sistemas de coordenadas, son causadas por fuerzas mecánicas que resisten sus pesos en dichos sistemas. Este peso, a su vez, es creado por fuerzas de inercia , que aparecen en todos estos sistemas de coordenadas aceleradas, similar al peso creado por la "fuerza de gravedad" para objetos fijos en el espacio en relación con un cuerpo que gravita (como en la superficie del Tierra).

La fuerza total (mecánica) que se calcula para provocar su propia aceleración de una masa en reposo en un sistema de coordenadas que tiene su propia aceleración, según la ley de Newton F = ma , se llama fuerza propia . Como se vio arriba, la fuerza propia es igual a la fuerza de reacción, que se mide como el "peso de trabajo" del objeto (es decir, su peso medido por un dispositivo como una balanza de resorte en el vacío, en el sistema de coordenadas del objeto). Por lo tanto, la fuerza propia de un objeto siempre es numéricamente igual y opuesta en dirección al peso medido.

Ejemplos

Cuando se sostiene en un carrusel que gira a una velocidad angular constante , experimenta una autoaceleración radial interna ( centrípeta ) debido a la interacción entre la manivela y la mano. Esto cancela la aceleración geométrica radialmente hacia afuera asociada con el marco de referencia giratorio . Esta aceleración hacia afuera (en términos del marco de referencia giratorio) se convertirá en la aceleración de coordenadas cuando suelte las manos, lo que dará como resultado un vuelo geodésico con aceleración intrínseca cero. Por supuesto, en este momento, los observadores no acelerados en su marco de referencia simplemente ven cómo desaparecen sus aceleraciones propias y coordinadas iguales.

De manera similar, cuando estamos parados sobre un planeta que no gira (y sobre la Tierra), experimentamos nuestra propia aceleración hacia arriba debido a la fuerza normal (perpendicular a la superficie) que ejerce la Tierra sobre la suela de nuestros zapatos. Neutraliza la aceleración geométrica en la dirección hacia abajo debido a la elección del sistema de coordenadas (el llamado marco de referencia de superficie (marco de shell inglés) [4] ). Esta aceleración hacia abajo se convierte en coordinada si accidentalmente saltamos de un acantilado en una trayectoria de aceleración intrínseca cero (marco de referencia geodésico o de lluvia).

Tenga en cuenta que las aceleraciones geométricas (debido al término de conexión afín en el sistema de coordenadas derivado covariante ) actúan sobre cada gramo de nuestro ser , mientras que las aceleraciones propias generalmente son causadas por una fuerza externa. Los cursos introductorios de física a menudo tratan la aceleración gravitatoria hacia abajo (geométrica) como una consecuencia de la fuerza gravitacional . Esto, junto con evitar cuidadosamente los marcos de referencia no acelerados, les permite considerar la coordenada y la aceleración propia como una sola y misma entidad.

Incluso cuando un objeto mantiene una aceleración adecuada constante durante un largo período de tiempo en un espacio-tiempo plano, los observadores en reposo verán que la aceleración coordinada del objeto disminuye a medida que su velocidad coordinada se acerca a la velocidad de la luz. Sin embargo, la tasa de crecimiento de la propia velocidad del objeto permanece constante.

Por lo tanto, la diferencia entre la aceleración propia y la coordinada [5] permite rastrear la experiencia de los viajeros acelerados desde varias perspectivas no newtonianas. Estas perspectivas incluyen casos tales como sistemas de coordenadas aceleradas (por ejemplo, carruseles), altas velocidades (cuando difieren los tiempos propios y coordinados) y el espacio-tiempo curvo (por ejemplo, asociado con la gravedad en la Tierra).

Aplicaciones clásicas

A bajas velocidades en los sistemas de coordenadas inerciales de la física newtoniana, la aceleración adecuada es igual a la aceleración de coordenadas a = d 2 x /dt 2 . Sin embargo, como se mencionó anteriormente, difiere de la aceleración de coordenadas si elige (en contra del consejo de Newton) describir el mundo en términos de un sistema de coordenadas acelerado, como un automóvil a toda velocidad o una piedra girando en una honda. Si está de acuerdo en que la gravedad es causada por la curvatura del espacio-tiempo (ver más abajo), en un campo gravitacional , la aceleración propia difiere de la coordenada.

Por ejemplo, un objeto sujeto a una aceleración física o intrínseca a o será observado por observadores en un sistema de coordenadas sujeto a una aceleración constante un marco con aceleración de coordenadas:

Por lo tanto, si un objeto está acelerando con un marco de referencia, los observadores anclados en ese marco de referencia no verán ninguna aceleración en absoluto.

De manera similar, los observadores en un marco que gira a una velocidad angular ω observarán que un objeto sujeto a una aceleración física o intrínseca a o tiene una aceleración coordinada:

En la ecuación anterior, hay tres términos de aceleración geométrica en el lado derecho. La primera es “aceleración centrífuga”, depende únicamente de la posición radial “r”, y no de la velocidad de nuestro objeto, la segunda es “aceleración de Coriolis”, depende únicamente de la velocidad del objeto en el marco de referencia giratorio v rot , pero no de su posición, y el tercer término, "aceleración de Euler", depende solo de la posición y la tasa de cambio de la velocidad angular del marco de referencia.

En cada uno de estos casos, la aceleración física o intrínseca es diferente de la aceleración de coordenadas, ya que esta última puede verse influenciada por nuestra elección del sistema de coordenadas, así como por las fuerzas físicas que actúan sobre el objeto. Los componentes de la aceleración coordinada que no son causados ​​por fuerzas físicas (como el contacto directo o la atracción electrostática) a menudo se atribuyen (como en el ejemplo anterior de Newton) a fuerzas que: (i) actúan sobre cada gramo de un objeto, (ii) causan aceleraciones independientes de la masa y (iii) no existen desde todos los puntos de vista. Tales fuerzas geométricas (o impropias) incluyen las fuerzas de Coriolis , las fuerzas de Euler , las fuerzas g , las fuerzas centrífugas y (como veremos más adelante) la gravedad .

Visto desde una porción del espacio-tiempo plano

La relación entre la aceleración propia y la coordenada uno en una parte dada del espacio-tiempo plano sigue [6] de la ecuación de la métrica del espacio-tiempo plano Minkowski ( c d τ ) 2 = ( c d t ) 2  — (d x ) 2 . Aquí, un solo marco de referencia de metros y relojes sincronizados determina la posición del marco de reposo x y el tiempo del marco de reposo t respectivamente, el reloj del objeto en movimiento determina el tiempo propio τ y la "d" delante de la coordenada denota un cambio infinitesimal. Estas relaciones permiten resolver varios problemas de "ingeniería de cualquier velocidad", aunque sólo desde el punto de vista del marco de referencia extendido del reposo del observador, en el que se define la simultaneidad.

Aceleración en (1+1)D

En el caso unidireccional, cuando la aceleración del objeto es paralela o antiparalela a su velocidad en la sección media del observador, la aceleración correcta α y la aceleración coordinada a están relacionadas con [7] mediante el factor de Lorentz γ para α =γ 3 a . Por lo tanto, el cambio en la propia velocidad w=dx/dτ es la integral de la propia aceleración en el tiempo del sistema en reposo t, es decir, Δ w = α Δ t para la constante α . A bajas velocidades, esto se reduce a la conocida relación entre la velocidad coordinada y el tiempo de aceleración coordinado, es decir, Δ v = a Δ t .

Para una aceleración propia unidireccional constante, existen relaciones similares entre la velocidad η y el tiempo propio transcurrido Δ τ , así como entre el coeficiente de Lorentz γ y la distancia recorrida Δ x . A saber:

donde diferentes parámetros de velocidad están relacionados por la relación

Estas ecuaciones describen algunas de las consecuencias del movimiento acelerado a alta velocidad. Por ejemplo, imagine una nave espacial que puede acelerar a sus pasajeros a 1 g (10 m/s 2 o aproximadamente 1,0 años luz por año al cuadrado) a la mitad de su destino, luego desacelerarlos a 1 g durante la mitad restante para proporcionar gravedad artificial a la Tierra desde el punto A. al punto B. [8] [9] Para distancias de marco en reposo Δ x AB, la primera ecuación anterior predice un factor de Lorentz promedio γ mid =1+ α (Δ x AB /2)/c 2 . Por tanto, el tiempo de ida y vuelta en el reloj del comandante será Δ τ = 4( c / α ) cosh −1 ( γ mid ), durante el cual el tiempo transcurrido en el reloj del resto del sistema será Δ t  = 4( c / α ) sinh [cosh −1 ( γ mid )].

Esta nave espacial imaginaria podría ofrecer viajes hacia y desde Próxima Centauri en aproximadamente 7,1 años según las horas de los viajeros (~ 12 años según el tiempo de la Tierra), viajes al agujero negro central en aproximadamente 40 años (~ 54,000 años según el tiempo de la Tierra) y viaja a la Galaxia de Andrómeda , con una duración de unos 57 años (más de 5 millones de años según el reloj terrestre). Desafortunadamente, la aceleración de 1 g a lo largo de los años es más fácil decirlo que hacerlo, como se ilustra en la figura de la derecha, que muestra la relación entre la carga útil máxima y el peso de lanzamiento.

Notas

1. ↑ Edwin F. Taylor & John Archibald Wheeler (1966 1st ed. only) Spacetime Physics (WH Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X , Capítulo 1 Ejercicio 51 página 97-98: "Paradoja del reloj III" ( pdf Archivado el 21 de julio de 2017 en Wayback Machine ).
2. ↑ Relatividad Por Wolfgang Rindler página 71
3. ↑ Francis W. Sears & Robert W. Brehme (1968) Introducción a la teoría de la relatividad (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344 Archivado el 30 de julio de 2012 en Wayback Machine , sección 7-3
4. ↑ Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler (2000) Explorando agujeros negros (Addison Wesley Longman, NY) ISBN 0-201-38423-X
5. ↑ cf. CW Misner, KS Thorne y JA Wheeler (1973) Gravitación (WH Freeman, NY) ISBN 978-0-7167-0344-0 , sección 1.6
6. ↑ P. Fraundorf (1996) "Un enfoque de un mapa y dos relojes para enseñar la relatividad en física introductoria" ( arXiv:physics/9611011 )
7. ↑ A. John Mallinckrodt (1999) ¿Qué sucede cuando a*t>c? Archivado desde el original el 30 de junio de 2012. (Reunión de Verano de la AAPT, San Antonio TX)
8. ↑ E. Eriksen y Ø. Grøn (1990) Dinámica relativista en marcos de referencia uniformemente acelerados con aplicación a la paradoja del reloj, Eur. J Phys. 39 :39-44
9. ↑ C. Lagoute y E. Davoust (1995) El viajero interestelar, Am. J Phys. 63 :221-227