Espinor

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Un espinor ( ing. spin - rotar) es una generalización especial del concepto de vector , que se usa para describir mejor el grupo de rotaciones de un espacio euclidiano o pseudo- euclidiano .

La esencia de la descripción espinorial del espacio V es la construcción de un espacio lineal complejo auxiliar S de modo que V esté incrustado (en el producto tensorial del espacio S por el complejo conjugado consigo mismo). $S\oveces S^{*}$

Los elementos del espacio S y se denominan "espinores"; a menudo (aunque no necesariamente) carecen de un significado geométrico directo.

Sin embargo, sobre los espinores es posible “casi” definir la acción de un grupo de rotaciones, a saber: una rotación actúa sobre un espinor hasta un factor complejo indefinido igual en módulo 1 (en casos simples, hasta ±1). se pueden representar como vectores complejos ordinarios, pero en un espacio con una métrica antisimétrica, por ejemplo:

g_{\mu\nu}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Los índices de espinor pueden ser punteados y no punteados, ya que para algunos índices el espinor se transforma como un conjugado complejo.

Si el espacio original V fuera considerado sobre el campo de los números reales , entonces los vectores de V serán descritos en S por matrices hermitianas . $\matemáticas {R}$

Una justificación matemáticamente rigurosa para tal construcción se hace con la ayuda del álgebra de Clifford construida a partir del espacio V en estudio .

Los espinores fueron considerados por primera vez en matemáticas por E. Cartan en 1913 . Fueron redescubiertos en 1929 por B. van der Waerden en relación con la investigación en mecánica cuántica .

Definición

Un espinor de primer rango es un vector en un espacio complejo bidimensional, que se transforma según las fórmulas: $a=(a_{1},a_{2})$

a_{1}^{'}=\alpha _{11}a_{1}+\alpha _{12}a_{2}

a_{2}^{'}=\alpha _{21}a_{1}+\alpha _{22}a_{2}

con determinante de transformación igual a uno:

{\begin{vmatriz}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{vmatriz}}=1

El espinor también se denota como . $a$ $a_{k},(k=1,2)$

Los coeficientes son números complejos. $\alpha _{rs},(r=1,2;s=1,2)$

Para cada espinor, hay un cospinor en el espacio complejo bidimensional, que se transforma mediante las fórmulas: $b=(b_{\punto {1)),b_{\punto {2)))$

b_{\dot {1}}^{'}={\bar {\alpha _{11}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{12}}}b_{\dot {2}}

b_{\dot {2}}^{'}={\bar {\alpha _{21}}}b_{\dot {1}}+{\bar {\alpha _{22}}}b_{\dot {2}}

donde los guiones marcan cantidades conjugadas complejas. Los índices de cospinores están marcados con puntos. [una]

Los espinores de rango superior son cantidades que se transforman como productos de espinores de primer rango. Por ejemplo, un espinor de segundo rango se transforma como un producto de espinores de primer rango . Un espinor mixto de segundo rango se transforma en un producto de espinores de primer rango . $a_{kl}(k,l=1,2)$ $a_{{k}}b_{{l}}$ $a_{{\punto {k}}l}({\punto {k}},l=1,2)$ $a_{\punto {k}}b_{l}$

En el álgebra de espinores, al igual que en el álgebra de tensores, es válida la regla de la suma sobre índices repetidos arriba y abajo y existe un espinor métrico de segundo rango y se define de la siguiente manera: $e^{{kl}}$

a^{{k}}=e^{{kl}}a_{{l}}

a_{{k}}=e_{{kl}}a^{{l}}

e_{kl}=e_{lk}=e_{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e_{{\dot {l}}{\dot {k}}}={\begin{ pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

e^{kl}=e^{lk}=e^{{\dot {k}}{\dot {l}}}=e^{{\dot {l}}{\dot {k}}}= {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Propiedades

Las coordenadas de espinores y coespinores están relacionadas por las siguientes relaciones:

un^{1}=un_{2}

. .

b^{\punto {1}}=b_{\punto {2}}

a^{2}=-a_{1}

. .

b^{\punto {2}}=-b_{\punto {1}}

El valor absoluto de cualquier espinor de rango impar es cero:

a_{{l}}a^{{l}}=0

a_{{lmn}}a^{{lmn}}=0

a^{{l}}b_{{l}}c_{{m}}+a_{{l}}b_{{m}}c^{{l}}+a_{{m}}b^{{ l}}c_{{l}}=0

[2] .

Los espinores se utilizan para introducir operadores diferenciales que son invariantes bajo transformaciones binarias.

Las componentes de un gradiente de cuatro dimensiones corresponden a los operadores:

\parcial _ {1}^{1}=\parcial _{{\dot {2}}1}={\frac {\parcial }{\parcial x^{1}}}+i{\frac {\parcial }{\parcial x^{2))}

-\parcial _ {2}^{\dot {2}}=\parcial_{{\dot {1}}2}={\frac {\parcial }{\parcial x^{1}}}-i{ \frac {\parcial }{\parcial x^{2))}

-\parcial _ {1}^{\dot {2}}=\parcial _({\dot {1}}{\dot {1}}}={\frac {\parcial }{\parcial x^{3 ))}-{\frac {\parcial }{\parcial x^{4))}

-\parcial _ {2}^{\dot {1}}=\parcial _{{\dot {2}}2}={\frac {\parcial }{\parcial x^{3}}}+{\ frac {\parcial }{\parcial x^{4))}

[1] .

Espacio tridimensional

Para representar un espacio tridimensional como S es necesario tomar un espacio complejo bidimensional $S={\mathbb {C} }^{2}.$

Los vectores del espacio tridimensional corresponderán a matrices con traza cero .

Los espinores del espacio euclidiano tridimensional tienen un álgebra cercana a las álgebras de productos internos y vectoriales . Esta álgebra admite una descripción conveniente en términos de cuaterniones hamiltonianos . Es decir, con cada vector x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) de números reales (o complejos ), puede asociar una matriz compleja :

{\mathbf {x} }\rightarrow X=x_{1}\sigma_{1}+x_{2}\sigma_{2}+x_{3}\sigma_{3}=\left( {\begin{matriz}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matriz}}\right),

donde son las matrices de Pauli (están asociadas a los vectores base e 1 , e 2 , e 3 ). $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end {pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Las matrices X de esta forma, asociadas a los vectores x , tienen las siguientes propiedades que las relacionan internamente con la geometría del espacio tridimensional:

det X = −(longitud x ) 2 .
X 2 = (longitud x ) 2 I , donde I es la matriz identidad.
${\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })I.$
${\frac{1}{2}}(XY-YX)=iZ,$ donde Z es la matriz asociada al producto vectorial z = x × y .
Si u es un vector unitario, entonces UXU es la matriz asociada al vector obtenido a partir de x por reflexión en el plano ortogonal a u .
Según el álgebra lineal , cualquier rotación en un espacio tridimensional se puede representar como dos reflejos. (Del mismo modo, cualquier transformación ortogonal inversa es un reflejo o un producto de tres reflejos (generalmente un número impar). Por lo tanto, si R es una rotación representable como dos reflejos sucesivos en planos perpendiculares a los vectores unitarios u 1 y u 2 , entonces la matriz U 2 U 1 XU 1 U 2 representa la rotación R del vector x .

Con una forma eficiente de representar toda la geometría de las rotaciones del espacio tridimensional como un conjunto de matrices complejas de 2×2, es natural preguntarse qué papel juegan las matrices de 2×1, si es que tienen alguno. Llamemos temporalmente a un vector columna espinor:

\xi =\left[{\begin{matriz}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matriz}}\right],

con componentes complejos ξ 1 y ξ 2 . Obviamente, las matrices complejas de 2×2 actúan en el espacio de espinor. Además, el producto de dos reflexiones (para un par dado de vectores unitarios) define una matriz de 2x2 cuya acción sobre los vectores euclidianos es una rotación, de manera que rota los espinores. Pero aquí hay una propiedad importante: la factorización de la rotación no es única. Está claro que si X → RXR −1 es una representación de una rotación, entonces reemplazar R con − R dará la misma rotación. De hecho, se puede demostrar fácilmente que esta es la única incertidumbre que surge. La acción de una operación de rotación sobre un espinor siempre tiene dos valores.

Espacio de Minkowski

Si sumamos la matriz identidad (numerada 0) a las tres matrices de Pauli , entonces obtenemos una representación spinor del espacio de Minkowski M :

X=\sigma_{\mu }x^{\mu },\ \mu =0,\ 1,\ 2,\ 3.

En este caso, los vectores luminosos (de longitud cero) corresponderán a matrices degeneradas de la forma , donde . $\pm {\bar {\psi}}\otimes \psi$ $\ psi \ en S$

La correspondencia entre el espacio de Minkowski y las matrices hermitianas de 2×2: M ≈Herm(2) será uno a uno .

Espinores en física

Los espinores no son en modo alguno una construcción puramente abstracta que no se manifieste de ningún modo en relación con la geometría de la realidad. Muchas cantidades encontradas en la mecánica cuántica son espinores (ver giro , ecuación de Dirac ). En la consideración relativista , se utiliza la representación de spinor anterior del espacio de Minkowski. Por ejemplo, hay una representación de espinor bastante simple de las ecuaciones de Maxwell .

A bajas velocidades, se utilizan espinores tridimensionales.

Véase también

Notas

↑ 1 2 Van der Werden B. L. Método de teoría de grupos en mecánica cuántica , M., Editorial URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Fórmulas básicas de física, ed. D. Menzela, M., IL, 1957

Literatura

Dirac P. Spinors en el espacio de Hilbert / Per. De inglés. — M.: Mir, 1978. — 126 p.
Zhelnorovich VA La teoría de los espinores y su aplicación en física y mecánica. — M.: Nauka, 1982. — 272 p.
Zhelnorovich VA La teoría de los espinores y sus aplicaciones. — M.: August-Print, 2001. — 400 p. — ISBN 5-94681-001-4
Cartan E. Teoría de los espinores / Per. del francés — M.: GIIL, 1947.
Penrose R. , Rindler W. Spinors y el espacio-tiempo. Volumen 2 / Traducción del inglés. — M.: Mir, 1988. — 584 p.
Rashevsky P. K. Teoría de los espinores. - Ed. 2do. - M .: KomKniga, 2006. - 112 p. — ISBN 5-484-00348-2
Análisis de Rumer Yu. B. Spinor. - M.-L.: ONTI, 1936. - 104 p.
Yappa Yu. A. Introducción a la teoría de los espinores y sus aplicaciones en física: Libro de texto / Ed. V. A. Franke. - San Petersburgo. : Universidad Estatal de San Petersburgo, 2004. - 256 p. — ISBN 978-5-288-01951-7 .

Enlaces

[bse.sci-lib.com/article105279.html "Cálculo de giro"] en TSB .