Suma de Gauss
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 24 de junio de 2020; las comprobaciones requieren 2 ediciones .En matemáticas , la suma de Gauss se entiende como un cierto tipo de sumas finitas de raíces a partir de la unidad , por regla general, escritas en la forma
Aquí la suma se toma sobre todos los elementos r de algún anillo conmutativo finito R , ψ( r ) es el homomorfismo del grupo aditivo R + en el círculo unitario , y χ( r ) es el homomorfismo del grupo de unidades R × en el círculo unitario extendido por 0. Las sumas de Gauss son análogas a las funciones gamma para el caso de campos finitos .
Estas sumas ocurren a menudo en la teoría de números , en particular en las ecuaciones funcionales de las funciones L de Dirichlet .
Carl Friedrich Gauss utilizó las propiedades de las sumas para resolver algunos problemas de teoría de números, en particular las aplicó en una de las demostraciones de la ley de reciprocidad cuadrática . Inicialmente, las sumas de Gauss se entendían como sumas de Gauss cuadráticas , para las cuales R es el campo de residuos módulo p , y χ es el símbolo de Legendre . Para este caso, Gauss demostró que G (χ) = p 1/2 o ip 1/2 cuando p es congruente con 1 o 3 módulo 4, respectivamente.
Una forma alternativa de escribir la suma de Gauss:
La teoría general de las sumas de Gauss se desarrolló a principios del siglo XIX utilizando sumas de Jacobi y sus factores primos en campos circulares .
La importancia de las sumas de Gauss para la teoría de números no se reveló hasta la década de 1920. En ese momento, Hermann Weyl aplicó sumas trigonométricas más generales al estudio de distribuciones uniformes , más tarde llamadas sumas de Weyl. Al mismo tiempo, I. M. Vinogradov usó sumas de Gauss para obtener una estimación superior para el módulo p sin residuos cuadrático mínimo. Las sumas de Gauss permiten establecer una conexión entre dos objetos importantes de la teoría de números: caracteres multiplicativos y aditivos. Las sumas cuadráticas de Gauss están estrechamente relacionadas con la teoría de las funciones θ .
El valor absoluto de las sumas de Gauss generalmente se encuentra usando el teorema de Plancherel para grupos finitos . En el caso de que R sea un campo de p elementos y χ no sea trivial, el valor absoluto es igual a p 1/2 . Calcular el valor exacto de las sumas totales de Gauss no es una tarea fácil.
Propiedades de las sumas de Gauss para el carácter de Dirichlet
Suma de Gauss para el carácter de Dirichlet módulo N
Si χ es primitivo entonces
y, en particular, no es igual a cero. Más generalmente, si N 0 es un conductor de un carácter χ y χ 0 es un carácter primitivo de Dirichlet módulo N 0 que induce χ, entonces
donde μ es la función de Möbius .
De esto se deduce que G (χ) es distinto de cero si y solo si N / N 0 no tiene cuadrados y es primo relativo a N 0 .
La relación
donde χ es la conjugación compleja del carácter de Dirichlet.
Si χ′ es un carácter de Dirichlet módulo N ′ tal que N y N ′ son coprimos, entonces
Véase también
- Teorema de Chole-Mordell
- Suma elíptica de Gauss
Literatura
- Berndt, BC; Evans, RJ; Williams, K. S. Gauss y Jacobi Sums. - Wiley, 1998. - (Serie de Monografías y Textos Avanzados de la Sociedad Matemática Canadiense). - ISBN 0-471-12807-4 .
- Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael. Una introducción clásica a la teoría de números moderna . — 2do. - Springer-Verlag , 1990. - vol. 84.- ( Textos de Licenciatura en Matemáticas ). — ISBN 0-387-97329-X .
- Sección 3.4 de Iwaniec, Henryk & Kowalski, Emmanuel (2004), Teoría analítica de números , vol. 53, Publicaciones del coloquio de la Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-3633-0
- Artin E., Tate J., Teoría del campo de clases, NY-Amst., 1967;
Ediciones en ruso
- Ireland K., Rosen M. Una introducción clásica a la teoría de números moderna.
- Carl Friedrich Gauss. Se sentó. artículos, M., 1956;
- Vinogradov I. M. Método de sumas trigonométricas en teoría de números, M., 1971;
- Davenport G. Teoría de los números multiplicativos, trad. de Inglés, M., 1971;
- Prahar K. La distribución de los números primos , trad. del alemán., M., 1967;
- Hasse G. Conferencias sobre teoría de números, trad. del alemán, M., 1953.
Carácter de plantilla
- Teoría algebraica de números, trad. del inglés, M., 1969;
- Serre J.-P. Representaciones abelianas l-ádicas y curvas elípticas , trad. de Inglés, M., 1973.