Teorema esférico de Pitágoras

El teorema esférico de Pitágoras es un teorema que establece la relación entre los lados de un triángulo esférico rectángulo .

Declaración y prueba

El teorema esférico de Pitágoras se formula de la siguiente manera [1] :

El coseno de la hipotenusa de un triángulo esférico rectángulo es igual al producto de los cosenos de sus catetos.

La demostración se realizará utilizando un ángulo triédrico [1] OA 1 B 1 C 1 de lados (rayos) OA 1 , OB 1 , OC 1 y vértice en el punto O, los ángulos planos A 1 OC 1 y C 1 OB 1 de los cuales son iguales a los catetos b y a de este triángulo, el ángulo plano A 1 OB 1 es igual a su hipotenusa c, el ángulo diedro entre las caras A 1 OC 1 y C 1 OB 1 es de 90 grados, y el otros dos ángulos diedros son iguales a los ángulos correspondientes del triángulo rectángulo esférico. Este ángulo triédrico es cortado por el plano A 1 B 1 C 1 perpendicular al rayo OB 1 . Entonces los ángulos A 1 C 1 O y A 1 C 1 B 1 serán rectos.

Darse cuenta de

De aquí

QED

Si asumimos que el teorema del coseno esférico ya ha sido probado, la fórmula para el teorema esférico de Pitágoras puede obtenerse inmediatamente escribiendo el teorema del coseno esférico para la hipotenusa de un triángulo esférico rectángulo dado y simplemente sustituyendo en la expresión resultante el ángulo de 90 grados, cuyo coseno es cero.

Consecuencias y aplicaciones

Como el radio de la esfera tiende a infinito, el teorema esférico de Pitágoras se convierte en el teorema de Pitágoras de la planimetría . Por lo tanto, dado que el radio de la Tierra es grande, a distancias pequeñas, los triángulos rectángulos en la superficie de la Tierra (por ejemplo, usados ​​para medir distancias y ángulos en el suelo) obedecen prácticamente al teorema de Pitágoras de la planimetría [2] , mientras que para grandes distancias comparables al radio de la Tierra, ya es necesario aplicar el teorema esférico de Pitágoras.

Utilizando el teorema esférico de Pitágoras, se pueden obtener fórmulas para la diferencia de longitudes y distancias entre puntos de la superficie terrestre y, en consecuencia, las correspondientes fórmulas para distancias y coordenadas de puntos de la esfera celeste .

Del teorema esférico de Pitágoras se sigue que en un triángulo esférico rectángulo el número de lados menores de 90 grados es impar, y el número de lados grandes es par [1] . Por lo tanto, si los dos catetos de un triángulo esférico rectángulo son mayores de 90 grados, entonces su hipotenusa es menor de 90 grados, es decir, en este caso, la hipotenusa es más corta que cada uno de los dos catetos, posición que es imposible. para un triángulo rectángulo en un plano.

Historia

El teorema esférico de Pitágoras también era conocido por Al-Biruni , quien a su vez desconocía el teorema del coseno esférico, por lo que aplicó el teorema esférico de Pitágoras y el teorema del seno para resolver al menos dos problemas: determinar la diferencia de longitudes de dos puntos en la superficie de la Tierra por sus latitudes y la distancia entre ellos y determinar la distancia entre dos puntos en la superficie de la Tierra por sus latitudes y longitudes [3] :81 .

Véase también

• Teorema de pitágoras

Notas

1. ↑ 1 2 3 Stepanov N.N. Teorema esférico de Pitágoras // Trigonometría esférica . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  42 -44. — 154 pág.
2. ↑ John McCleary. La geometría desde un punto de vista diferenciable . - Cambridge University Press , 1994. - S. 6. - 308 p. Archivado el 22 de enero de 2021 en Wayback Machine .
3. ↑ Rosenfeld BA, Rozhanskaya MM Trabajo astronómico de Al-Biruni "Canon de Mas'ud"  // Investigación histórica y astronómica . - M .: Nauka , 1969. - Edición. x _ - S. 63-96 . Archivado desde el original el 10 de septiembre de 2010.