Teorema de Legendre (trigonometría esférica)

El teorema de Legendre en trigonometría esférica permite simplificar la solución de un triángulo esférico , si se sabe que sus lados son lo suficientemente pequeños en comparación con el radio de la esfera en la que se encuentra.

Redacción

Sea un triángulo esférico con lados pequeños en comparación con el radio de la esfera , ángulos y curtosis . Construyamos un triángulo en el plano con lados de igual longitud que los lados correspondientes del triángulo esférico dado, es decir, dado que los lados del triángulo esférico tienen una medida angular, y se expresan en radianes, entonces . Denotemos los ángulos de tal triángulo (expresados en radianes) como . El teorema de Legendre establece que las siguientes relaciones son verdaderas [1] : $a B C$ $R$ $\alfa,\beta,\gamma$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon = \ alfa + \ beta + \ gamma - \ pi}$ ${\ estilo de visualización a', b', c'}$ $a'=aR,b'=bR,c'=cR$ ${\ estilo de visualización \ alfa ', \ beta ', \ gamma '}$

\alpha '\approx \alpha -{\frac {\varepsilon}{3))

\beta '\approx \beta -{\frac {\varepsilon}{3))

\gamma '\approx \gamma -{\frac {\varepsilon}{3))

Por lo tanto, si los lados de un triángulo esférico son pequeños en comparación con el radio de la esfera, podemos reemplazarlo con un triángulo plano con lados de la misma longitud y un tercio de los ángulos de curtosis más pequeños y calcular los elementos de un triángulo plano.

Historia

Este teorema fue formulado por A. M. Legendre en 1787 [2] y probado por él en 1798 [3] . Sin embargo, según algunas fuentes, ya se conocía en 1740, cuando Sh.M. de la Condamine lo utilizó en el procesamiento de las medidas de grado de la expedición peruana [4] .

Notas

↑ Stepanov N. N. §55. Teorema de Legendre // Trigonometría esférica. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 141-143. — 154 pág.
↑ Legendre AM: Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dependent de la figure de la Terre. Histoire de l'Académie royale de sciences, París 1787; 352-383.
↑ Legendre AM: Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d'après les observes faites pour la mesure de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelone, Nota III: Résolution des Triangles sphériques dont des côtés sont très petits par rapport au rayon de la esfera. JB Delembre: Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du méridien, París 1798; 12-14
↑ Zbynek Nadenik. Teorema de Legendre sobre triángulos esféricos . Archivado desde el original el 16 de enero de 2014.

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