La regla mnemotécnica de Napier

La regla mnemotécnica de Napier es una forma de escribir las proporciones básicas en un triángulo esférico  de ángulo recto , fácil de recordar.

Formulación y justificación de la regla

Redacción

La regla mnemotécnica de Napier se puede formular de la siguiente manera [1] :

Dos ejemplos:

Para que sea más conveniente aplicar la regla, dibuje un círculo, divídalo en cinco partes por radios, y escriba en ellos todos los elementos de un triángulo esférico rectángulo, con excepción del ángulo recto, en la secuencia en que están ubicados en el triángulo. Cada pierna está marcada con una línea horizontal encima o un apóstrofe al lado, un signo del complemento de la pierna hasta 90 grados. Es fácil encontrar los tres elementos correctos en el círculo y aplicarles la regla mnemotécnica.

Probemos una fórmula para tres elementos adyacentes de un triángulo esférico de ángulo recto y una fórmula para dos elementos adyacentes y uno separado [2] , y luego comprobemos la regla mnemotécnica de Napier (y al mismo tiempo demostremos las fórmulas mismas), que da las diez fórmulas de este tipo para un triángulo esférico de ángulo recto, se aplican a estas dos fórmulas, siguiendo a Lambert, el pentágono estrellado [3] .

Tomemos dos catetos a y b (elementos adyacentes) y la hipotenusa c (elemento separado). Están conectados por el teorema esférico de Pitágoras , que se demuestra en el artículo al respecto. Por lo tanto, no hay prácticamente nada que probar en este caso. Solo notamos que

es decir, para estos tres elementos es válida la regla mnemotécnica de Napier. Ahora derivamos una fórmula para tres elementos adyacentes. Tome la hipotenusa c, el cateto a y el ángulo B. Como en la demostración del teorema esférico de Pitágoras, considere el ángulo triédrico OA 1 B 1 C 1 con lados (rayos) OA 1 , OB 1 , OC 1 y vértice en el punto O, correspondiente a un triángulo esférico rectángulo ABC dado.

Darse cuenta de

De aquí

es decir, para estos tres elementos es válida la regla mnemotécnica de Napier. Ambas fórmulas están probadas. Queda por aplicar la estrella del pentágono.

En la figura, las adiciones de elementos hasta 90 grados se indican mediante apóstrofes. Este pentágono estrellado está construido de la siguiente manera. Sobre la esfera se dibuja un triángulo esférico ABC dado, sus vértices A y B son los dos primeros vértices del pentágono. A continuación, dibujamos los polos de los puntos A y B, el punto de su intersección, que se encuentra al otro lado de la hipotenusa c del vértice C, será el tercer vértice del pentágono, y los dos puntos de intersección de estos polares con la continuación de los lados ayb serán los otros dos vértices del pentágono. Las extensiones de los lados del pentágono se intersecan para formar cinco triángulos esféricos. Es fácil ver que cada vértice del pentágono es un polo de su lado opuesto. Por lo tanto, los cinco triángulos esféricos serán rectángulos. De aquí también se obtienen los valores de todos sus elementos, indicados en la figura.

Para el triángulo esférico ABC, arriba se probaron dos fórmulas de la regla mnemotécnica de Napier. Los elementos de cada siguiente triángulo esférico rectángulo en el sentido de las agujas del reloj corresponden a los elementos del anterior, girados 2/5 de vuelta completa, o sus complementos hasta 90 grados. Por tanto, aplicando sucesivamente las dos fórmulas obtenidas a los elementos correspondientes de cada triángulo, obtenemos las 10 fórmulas y la misma forma de la regla mnemotécnica de Napier para todas ellas.

Historia

La regla mnemotécnica de Napier lleva el nombre de John Napier , quien la publicó en su famoso trabajo "Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos" (1614), y la citó como una demostración de la aplicación del nuevo concepto matemático definido por él en este trabajo. logaritmo , y ambas partes de la igualdad en las reglas mnemotécnicas de Napier son prologarítmicas. Johann Lambert dio una justificación matemática elegante y visual de la regla mnemotécnica de Napier con la ayuda de un pentágono estrellado en su trabajo "Adiciones a la aplicación de las matemáticas y sus aplicaciones", publicado en 1765 [3] . Más tarde, Carl Gauss usó el pentágono estrellado en la esfera para corroborar lo mismo (probablemente no leyó sobre él en el trabajo de Lambert) y otras propiedades, Gauss lo llamó un "pentagrama maravilloso" ( lat.  pentagramma mirificum ) [4] .

La justificación con la ayuda de un pentágono estrellado de relaciones en un triángulo esférico de ángulo recto resultó ser un método un tanto universal: Nikolai Lobachevsky usó una secuencia de cinco triángulos rectángulos para derivar una relación entre los elementos de un triángulo rectángulo. en el espacio que estudió , más tarde el matemático indio S. Mukopadiaya conectó esta sucesión con un pentágono en ese mismo espacio, e incluso más tarde el matemático ruso Alexander Norden estableció una conexión entre el pentágono en forma de estrella sobre la esfera y el mencionado pentágono en el Espacio de Lobachevsky [3] .

Notas

1. ↑ Stepanov N. N. Regla mnemotécnica de Napier // Trigonometría esférica . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  48 -49. — 154 pág.
2. ↑ Stepanov N. N. trigonometría esférica. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.
3. ↑ 1 2 3 BL Laptev. Lambert es geómetra. // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1980. - Nº 25 . - S. 248-252 .
4. ↑ Magnus J. Wenninger. Modelos de poliedros . - Prensa de la Universidad de Cambridge , 1974. - C. xi. — 228 págs.