Fórmula de medio lado

En trigonometría esférica , la fórmula del medio lado se aplica para resolver triángulos esféricos .

Fórmula de medio lado

{\begin{alineado}\tan \left({\frac {a}{2}}\right)&=R\cos(S-\alpha )\\[8pt]\tan \left({\frac {b {2}}\right)&=R\cos(S-\beta )\\[8pt]\tan \left({\frac {c}{2}}\right)&=R\cos(S- \gamma )\end{alineado}}

dónde

α , β , γ son los ángulos de un triángulo esférico,
a , b , c son las longitudes de los lados opuestos, respectivamente, a los ángulos α , β , γ ,

$S={\frac {1}{2}}(\alfa +\beta +\gamma )$

la mitad de la suma de los ángulos de un triángulo, y

$R={\sqrt {{\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))))$

Curiosamente, R es la tangente del radio del círculo circunscrito del triángulo esférico dado [1] :78.83 . Las tres fórmulas son, de hecho, la misma fórmula, con solo la notación de los ángulos y lados correspondientes cambiados.

Derivación de fórmulas

Por el teorema del coseno , tenemos [1] :75-77 :

\cos a={\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma )).

Entonces, según la fórmula del doble ángulo (se saca la raíz positiva porque el lado mide menos de 180 grados):

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\sin \beta \sin \gamma -\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma }}}.

Aplicando la fórmula para sumar argumentos y la fórmula para transformar la suma de funciones, obtenemos:

\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos(\beta +\gamma )-\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma } ))={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

De manera similar, para el coseno de la mitad de un lado, obtenemos:

\cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\cos(S-\beta ) \cos(S-\gamma )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.

Es por eso

\operatorname {tg} {\frac {a}{2}}={\frac {\sin {\frac {a}{2}}}{\cos {\frac {a}{2}}} }={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}=\cos(S-\alpha ){\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )))}.

El dual de esta fórmula, es decir, la fórmula para la mitad de un ángulo, se puede obtener de ella como de costumbre, reemplazando el lado con el complemento del ángulo correspondiente hasta 180 grados y los ángulos con los complementos de los lados correspondientes hacia arriba. a 180 grados.

La fórmula dual

Las fórmulas de doble a medio lado son fórmulas para medio ángulo [1] :74 :

{\begin{alineado}\operatorname {tg}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sa)))\cdot r\\[ 8pt]\nombre del operador {tg}\left({\frac {\beta }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sb)))\cdot r\\[8pt]\nombre del operador {tg}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)&={\frac {1}{\sin(sc)))\cdot r\end{alineado}}

dónde

$s={\frac{1}{2}}(a+b+c)$

la mitad de la suma de los lados de un triángulo, y

$r={\sqrt {{\frac {\sin(sa)\sin(sb)\sin(sc)}{\sin s))))$

Además, en este caso, r será la tangente de la circunferencia inscrita del triángulo esférico [1] :74 .

Una fórmula similar en planimetría se conoce como el teorema de la cotangente .

Aplicación

La fórmula del medio lado se utiliza para resolver un triángulo esférico oblicuo de tres lados, es decir, cuando es necesario calcular cada uno de sus ángulos a partir de los lados dados [1] :102-104 . La fórmula del medio ángulo, a su vez, se utiliza para resolver un triángulo oblicuo en tres ángulos, es decir, cuando es necesario calcular cada uno de sus lados para los tres ángulos dados [1] :104-108 . Si un triángulo esférico tiene una de las esquinas de una línea recta, en lugar de estas fórmulas, se usa una regla mnemotécnica de Napier más conveniente para resolverlo .

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 Stepanov N. N. Trigonometría esférica. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 p.

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