Teorema de Weierstrass-Stone

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El teorema de Weierstrass-Stone es una declaración sobre la posibilidad de representar cualquier función continua en un conjunto compacto de Hausdorff por el límite de una secuencia uniformemente convergente de funciones continuas de una clase especial: el álgebra de Stone .

Originalmente formulado y probado por Karl Weierstrass en 1885 para funciones continuas sobre un segmento de la recta real, estableciendo la posibilidad de aproximarlos uniformemente mediante una sucesión de polinomios . En 1937, Marshall Stone generalizó sustancialmente el resultado extendiendo el resultado a funciones que son continuas en un espacio compacto separable en T 2 arbitrario, formando un anillo , y como secuencias de funciones uniformemente convergentes, en lugar de polinomios, a funciones de una subclase específica de funciones continuas que forman un subanillo.

Posteriormente se encontraron otras generalizaciones del resultado .

Teorema de Weierstrass

Sea una función continua definida en el intervalo . Entonces para cualquiera existe un polinomio con coeficientes reales tal que la condición [1] se cumple simultáneamente para todos ellos . $F$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $pags$ $X$ $[a,\;b]$ $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$

Si es continua en el círculo (periódica), entonces la afirmación también es válida para los polinomios trigonométricos . $f(x)$

El teorema también es válido para funciones de valor complejo , pero entonces los coeficientes del polinomio deben considerarse números complejos y sus conjugaciones complejas deben sumarse a los polinomios. $pags$

Esquema de la demostración de Weierstrass

El teorema fue establecido por Karl Weierstrass en 1885 [2] como consecuencia de un enunciado más general: para real en todas partes funciones continuas definidas y , cuyo valor absoluto no excede un cierto límite, no cambia su signo en ninguna parte y satisface la igualdad , y la integral converge para ello: $f(x)$ $\psi(x)$ $\psi(x)$ $\psi(-x)=\psi(x)$

\int \limits _{0}^{\infty}\psi(x)dx=\omega

realizado:

f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits_{-\infty}^{\infty}\psi \left ({\frac{xy}{k}}\right)f(y)dy

Inmediatamente se sigue de la demostración directa que el límite no solo existe y es igual a , sino que la convergencia es uniforme en , cambiando en cualquier intervalo finito. $f(x)$ $X$

Tomando como , cada función de la familia: $\psi(x)=e^{-x^2}$

F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{xy}{k}\right)f(y)dy

está completamente definido para todo complejo y es entero . Por lo tanto, se pueden aproximar uniformemente en un círculo de cualquier radio mediante polinomios ( teorema de Abel ). Esto implica inmediatamente que cualquier función continua puede aproximarse uniformemente mediante polinomios en cualquier intervalo finito. $X$ $f(x)$

Si, además, es una función periódica con periodo , entonces las funciones son funciones periódicas enteras. Pero entonces: $f(x)$ $T$ $F_k(x)$

F_k\izquierda(\frac{T}{2\pi i}\ln z\derecha)

es una función de un solo valor y holomorfa en el dominio y, por lo tanto, se expande en una serie de Laurent : $z\no=0$

F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{ T}inx\right)}

por lo tanto , y por lo tanto se puede aproximar mediante polinomios trigonométricos. $F_k(x)$ $f(x)$

Importancia del resultado de Weierstrass

A mediados del siglo XIX, la idea de una función como expresión analítica parecía haber sobrevivido por completo, y el análisis formado sobre la base del cálculo integral y diferencial se dedicó a funciones arbitrarias, por ejemplo, Hermann Hankel especialmente anotado: algún intervalo corresponde a un cierto valor ; al mismo tiempo, no importa si depende en todo el intervalo de acuerdo con una ley, y si esta dependencia se puede expresar usando operaciones matemáticas” [3] , enfatizando que no todas las funciones se pueden representar usando una expresión analítica. En respuesta a esto, Weierstrass escribió el trabajo "Sobre la representación analítica de las llamadas funciones arbitrarias", en el que se demostró que una función continua arbitraria es el límite de los polinomios. Más tarde resultó que incluso las funciones más "patológicas", por ejemplo, la función de Dirichlet , permiten tales representaciones, pero solo con una gran cantidad de pasajes al límite. $y$ $X$ $X$ $y$ $y$ $X$

Consecuencias topológicas

De acuerdo con el teorema de Weierstrass, el espacio de funciones continuas reales o de valores complejos en un segmento con norma uniforme es separable : el espacio de polinomios con coeficientes racionales o complejos-racionales es el subespacio denso numerable requerido en todas partes .

Generalización de Stone

En 1935, Stone demostró que cualquier función del anillo de funciones de valor real continuas en un compacto de Hausdorff puede aproximarse uniformemente mediante funciones de una clase especial que componen el álgebra de Stone, es decir, cualquier álgebra de Stone es densa en todas partes del espacio . de funciones continuas en el compacto: . Como norma de convergencia uniforme se toma , y el álgebra de Stone se define como una subálgebra cuyos elementos separan los puntos . $C(K)$ $k$ $C_{0}$ ${\overline {C_{0}}}=C(K)$ $C(K)$ $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$ $C_0 \subconjunto C(K)$ $k$

Más precisamente, el álgebra de Stone es el conjunto de funciones del anillo que satisface las siguientes condiciones: $C_{0}$ $C(K)$

junto con cualquiera de sus elementos , el álgebra de Stone incluye los siguientes elementos: ( ), , ; $f, g \in C_0$ $cf$ $c\en \mathbb {R}$ $f + g$ $fg$
el álgebra de Stone contiene una función constante ; $una$
para cada par de puntos distintos , hay al menos una función tal que . $x_{1}, x_{2} \en K$ ${\ estilo de visualización f \ en C_ {0},}$ $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

Otras generalizaciones

Hay una serie de generalizaciones del teorema de Weierstrass-Stone en varias direcciones. Por ejemplo, por el teorema de Mergelyan, cualquier función que sea continua en cualquier conjunto compacto con complemento conexo en el plano complejo y holomorfa en sus puntos interiores puede aproximarse uniformemente mediante polinomios complejos. Además, se encontraron generalizaciones que permiten, en lugar de un compacto de Hausdorff, considerar funciones que son continuas en un espacio de Tikhonov arbitrario .

Véase también

Polinomio de Bernstein

Notas

↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. Vol. 3, pág. 734
↑ Weierstrass K. // Matemáticas. trabajo bd. 3. P. 1.
↑ Citado. por Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie . Teubner, 1987. Pág. 261

Literatura

Teorema de Weierstrass-Stone - Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . VI Ponomarev
Dzyadyk VK Introducción a la teoría de la aproximación uniforme de funciones por polinomios. — M .: Nauka, 1977. — 512 p.