Teorema de verde

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El teorema de Green establece una conexión entre una integral curvilínea sobre un contorno cerrado y una integral doble sobre una región simplemente conexa limitada por este contorno. De hecho, este teorema es un caso especial del teorema de Stokes más general . El teorema lleva el nombre del matemático inglés George Green . $C$ $D$

Redacción

Sea una curva cerrada uniformemente orientada positivamente en el plano, y sea la región delimitada por la curva . Si las funciones , están definidas en el dominio y tienen derivadas parciales continuas , , entonces $C$ $D$ $C$ $P = P(x, y)$ $Q = Q(x, y)$ $D$ $\frac{\parcial P}{\parcial y}$ $\frac{\Q parcial}{\x parcial}$

\oint\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\parcial Q}{\parcial x} - \frac{\parcial P}{\parcial y} \right) \,dx\,dy

A menudo se dibuja un círculo en el símbolo integral para enfatizar que la curva está cerrada. $C$

Prueba para una región simple

Sea la región un trapezoide curvilíneo (región regular en la dirección ): $D$ $OY$

re = \{(x,y)|a \le x \le b, y_1(x) \le y \le y_2(x) \}

Para la curva que delimita el área, establezca la dirección de la derivación en el sentido de las agujas del reloj. $C$ $D$

Después:

\iint\limits_{D} \frac{\parcial P}{\parcial y} \,dx\,dy = \int\limits_{a}^{b}dx \int\limits_{y_1(x)}^{ y_2(x)} \frac{\P parcial}{\y parcial} \,dy = \int\limits_{a}^{b} (P(x,y_2(x)) - P(x,y_1(x) ))) \,dx =

= \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx - \int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x)) \,dx \quad (una)

Nótese que ambas integrales obtenidas pueden ser reemplazadas por integrales curvilíneas:

\int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{-C_1} P(x,y) \,dx = -\int\limits_{a}^{b} P( x,y_1(x)) \,dx \quad(2)

\int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx = \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x)) \,dx \quad (3)

La integral a lo largo se toma con signo menos, ya que, según la orientación del contorno , la dirección de desvío de esta parte es de a . $C_{1}$ $C$ $b$ $a$

Las integrales curvilíneas sobre y serán iguales a cero, ya que : $C_{2}$ $C_{4}$ $x = \nombre del operador{const}$

\int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx = 0 \quad (4)

\int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx = 0 \quad (5)

Reemplazamos las integrales en (1) según (2) y (3), y además sumamos (4) y (5), que son iguales a cero y por lo tanto no afectan el valor de la expresión:

\iint\limits_{D} \frac{\parcial P}{\parcial y} \,dx\,dy = \int\limits_{C_1} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_3} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_2} P(x,y) \,dx + \int\limits_{C_4} P(x,y) \,dx

Dado que el desvío en el sentido de las agujas del reloj con la orientación correcta del plano es una dirección negativa, entonces la suma de las integrales en el lado derecho es una integral curvilínea a lo largo de una curva cerrada en la dirección negativa: $C$

\iint\limits_{D} \frac{\parcial P}{\parcial y} \,dx\,dy = -\int\limits_{C} P(x,y) \,dx \quad (6)

La fórmula se demuestra de manera similar:

\iint\limits_{D} \frac{\parcial Q}{\parcial x} \,dx\,dy = \int\limits_{C} Q(x,y) \,dy \quad (7)

si tomamos como área el área correcta en la dirección . $D$ $BUEY$

Sumando (6) y (7), obtenemos:

\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\parcial Q}{\parcial x} - \frac{\parcial P}{\parcial y} \right) \,dx\,dy

Fórmulas de Green

Si en problemas electrostáticos siempre estuviéramos tratando con una distribución de carga discreta o continua sin ninguna superficie límite, entonces la solución general para el potencial escalar

\Phi (x)=\int {\frac {\rho (x')}{|xx'|}}d^{3}x

sería la forma más conveniente y directa para resolver tales problemas, y no se necesitaría ni la ecuación de Laplace ni la ecuación de Poisson . Sin embargo, en realidad, en un número, si no en la mayoría, de los problemas de electrostática , estamos tratando con regiones finitas del espacio (que contienen o no una carga ), en cuyas superficies límite se especifican ciertas condiciones límite ("límite"). . Estas condiciones de contorno pueden ser reemplazadas por alguna distribución de carga apropiadamente seleccionada fuera de la región considerada (en particular, en el infinito), pero la relación anterior en este caso ya no es adecuada para calcular el potencial, excepto en algunos casos especiales (por ejemplo, en el método de la imagen).

Para considerar problemas con condiciones de contorno, es necesario ampliar el aparato matemático que utilizamos, es decir, derivar las llamadas fórmulas o teoremas de Green (1824). Se obtienen directamente del teorema de la divergencia

\int\limits_V \operatorname{div}~A\,d^3x=\oint\limits_S A \cdot n\,da

lo cual es válido para cualquier campo vectorial A definido en un volumen V acotado por una superficie cerrada S. Sean , donde y funciones escalares dos veces continuamente diferenciables arbitrarias. Después $A=\varphi\nombre del operador{grado} ~\psi$ $\varphi$ $\psi$

\operatorname{div} \, (\varphi \; \operatorname{grado} \, \psi)=\varphi \nabla^2 \psi + \operatorname{grado} ~\varphi \cdot \operatorname{grado} ~\psi \qquad (1)

\varfi\; \operatorname{grado} \, \psi \cdot n=\varphi \frac{\parcial \psi}{\parcial n} \qquad (2)

donde es la derivada normal sobre la superficie S (en la dirección de la normal hacia afuera con respecto al volumen V). Sustituyendo (1) y (2) en el teorema de la divergencia, llegamos a la primera fórmula de Green $\frac{\parcial}{\parcial n}$

\int\limits_V (\varphi \; \nabla^2 \psi + \operatorname{grad} \, \varphi \cdot \operatorname{grad} \, \psi)\,d^3x = \oint\limits_S \varphi \ frac{\parcial \psi}{\parcial n} \,da \qquad (3)

Escribamos la misma fórmula, intercambiando y en ella , y restándola de (3). Luego, los términos con el producto se cancelan y obtenemos la segunda fórmula de Green , también llamada teorema de Green : $\varphi$ $\psi$ $\operatorname{grado} ~\varphi \cdot \operatorname{grado} ~\psi$

\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)\,d^3x = \oint\limits_S \left[\varphi \frac{\parcial \psi}{\parcial n } - \psi \frac{\parcial \varphi}{\parcial n}\right] \,da

En física y matemáticas , el teorema de Green da la relación entre la integral curvilínea de una curva acotada simple C y la integral doble sobre una superficie plana D de una curva acotada C. Y en forma general se escribe de la siguiente manera

\int\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\parcial M}{\parcial x} - \frac{\parcial L}{\parcial y}\derecha)\, dA.

En física, el teorema de Green se usa principalmente para resolver integrales de flujo bidimensionales , basado en la suposición de que la suma de los flujos salientes en cualquier punto de un área es igual al flujo neto sumado en toda la superficie límite.

La tercera fórmula de Green se obtiene a partir de la segunda reemplazando y anotando que en . Si es dos veces diferenciable en U. $\psi = \frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}$ $\nabla^2 \psi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right)$ ${{\matemáticas{R}}^{3}}$ ${\ estilo de visualización \ phi,}$

\oint\limits_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\parcial \phi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \ phi(\mathbf{y}) {\parcial \sobre \parcial n_\mathbf{y)) {1 \sobre |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y } - \int\limits_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \phi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y } = k

${\ estilo de visualización k = 4 \ pi \ phi (x),}$ si (aquí int denota el interior de un conjunto ), $x \in Int U$

${\ estilo de visualización 2 \ pi \ phi (x),}$ si y en un punto de la superficie límite hay un plano tangente . $x \in \U parcial$ $X$

Véase también

Literatura

DJ Jackson Electrodinámica clásica (1965)
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ecuaciones de física matemática. — M .: Nauka, 1977. — 735 p.