Integral múltiple

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 27 de diciembre de 2020; la verificación requiere 1 edición .

En análisis matemático , una integral múltiple o múltiplo es un conjunto de integrales tomadas de variables. Por ejemplo: $\d > 1$

{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int }_{d}f(x_{1},\ldots,x_{d})dx_{1}\cdots dx_{d))

Nota: una integral múltiple es una integral definida, y cuando se calcula, siempre se obtiene un número.

Definición de una integral múltiple

Sea un conjunto medible [1] de un espacio real n-dimensional, sea una función en . $B\sub\R^n$ $f:B\a\R$ $B$

Una partición de un conjunto $\sigma$ es un conjunto de subconjuntos disjuntos por pares que se combinan para dar todo . $B$ $\sigma =\izquierda\{{{U}_{i}}\subconjunto B\derecha\}$ $B$

La finura del tabique es el diámetro mayor de los conjuntos . $\izquierda| \sigma \derecho|$ $U_i \in \sigma$

\izquierda| \sigma \right|=\max \left\{ \operatorname{diámetro}\left( {{U}_{i}} \right) \right\}

Una partición se llama finita si es un conjunto finito, y medible si todos sus elementos son conjuntos medibles (en este caso, según Jordan).

Una integral múltiplo (n veces) de una función en un conjunto es un número (si existe) tal que, no importa cuán pequeña sea la vecindad del número que establezcamos, siempre existe tal partición del conjunto y un conjunto de puntos intermedios que la suma de los productos del valor de la función en el punto intermedio de la partición en la medida de partición caerá en esta vecindad. Formalmente: $F$ $B$ $yo$ $\varepsilon$ $yo$ $B$

\forall\varepsilon>0\;\; \existe\delta>0

: :

\sigma = \{U_i \}_{i=1}^{m}

\izquierda| \sigma \derecho|<\delta \; \forall \xi_i \in U_i \; \; \izquierda| {\sum_{i=1}^{m}f(\xi_i)\mu(U_i) - I} \right| < \varepsilon

Aquí está la medida del conjunto . $\mu(U_i)$ $tu_{i}$

Esta definición se puede formular de otra forma utilizando sumas integrales. Es decir, para una partición dada y un conjunto de puntos , considere la suma integral $\sigma = \{U_i \}_{i=1}^{m}$ $\xi = \{ \xi_i \in U_i \}$

\zeta(f,\sigma, \xi) = \sum_{i=1}^mf(\xi_i) \mu(U_i)

La integral múltiple de una función es el límite . $f:B\a\R$

yo = \lim_{\izquierda| \sigma \right|\to 0} \zeta(f,\sigma,\xi)

si existiera. El límite se toma sobre el conjunto de todas las secuencias de particiones, con finura que tiende a 0. Por supuesto, esta definición difiere de la anterior, de hecho, solo en el lenguaje utilizado.

La integral se denota de la siguiente manera:

En forma vectorial [2]

\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}=I

O le ponen tiempos al icono integral , anotan la función y diferenciales: . $\d$ $\d$ $\underbrace{\int{\cdots }\int }_{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1} }\cdots d{{x}_{d}}=I$
Para integrales dobles y triples, también se utiliza la notación y , respectivamente. $\En t$ $\iiiint$

En los artículos matemáticos y físicos modernos, no se utiliza el uso repetido del signo integral.

Tal integral múltiple se llama integral propia .

En el caso de que la integral múltiple sea la misma que la integral de Riemann . $n=1$

Existencia de una integral múltiple

Condiciones suficientes

Si una función es continua en un conjunto compacto medible de Jordan, entonces es integrable en él.
- Una función ilimitada en un conjunto puede no ser integrable incluso si es continua. Por ejemplo, la función no es integrable en el intervalo . $y=1/x$ $\izquierda(0;1 \derecha)$
Si una función se define en un conjunto medible de Jordan que tiene particiones arbitrariamente pequeñas para las cuales la función dada es ilimitada en la unión de todos sus elementos de medida positiva, entonces esta función no es integrable en este conjunto.

Criterio de Darboux

Sean integrales de Darboux superior e inferior de la función en . Entonces, si las integrales de Darboux superior e inferior son iguales, entonces esta función es integrable en , y: $yo^*$ $YO_*$ $GRAMO$ $GRAMO$

I^*=I_*=\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX}

criterio de Lebesgue

Sea un conjunto medible de Jordan. La función es integrable si: $GRAMO$ $GRAMO$

La función está limitada a . $GRAMO$
La función es continua en , donde el conjunto tiene medida de Lebesgue cero . $G\setminus E$ $mi$

Propiedades de las integrales múltiples

Linealidad en la función . Sean medibles, funciones e integrables en , luego $\GRAMO$ $\F$ $\gramo$ $\GRAMO$

\forall \lambda ,\mu \in \R:~ \int\limits_{G}{\left( \lambda f+\mu g \right)dX}=\lambda \int\limits_{G}{fdX}+\ mu \int\limits_{G}{gdX}

Aditividad con respecto al conjunto de integración . Sean medibles los conjuntos y , y . Sea también la función definida e integrable en cada uno de los conjuntos y . Entonces la integral sobre existe y es igual a ${G}_{1}$ $G_{2}$ $G_1\cap G_2 = \varnada$ $G_1\taza G_2 = G$ $f(X)$ $G_{1}$ $G_{2}$ $GRAMO$

\int_G f(X) dX = \int_{G_1} f(X) dX + \int_{G_2} f(X) dX

Monotonicidad en la función . Sea medible, funciones y sea integrable en , y . Después $GRAMO$ $F$ $gramo$ $GRAMO$ $\forall X\in G\colon f\left( X \right)\leqslant g\left( X \right)$

\int_G f(X)dX \leqslant \int_G g(X)dX

Desigualdad triangular integral . Consecuencia de la propiedad anterior.

\izquierda| \int_G f(X)dX \right|\leqslant \int_G \left| f(X)\derecha| dX

Teorema del valor medio integral . Sea compacto, la función es continua e integrable en , entonces $GRAMO$ $f(X)$ $GRAMO$

\existe Y\en G\colon \int_G f(X)dX = f(Y) \mu(G)

La función constante es integrable en cualquier conjunto medible , y $f(X) = c$ $GRAMO$

\int_G f(X)dX = c\cdot \mu(G)

Como consecuencia, . $\\int_G dX = \mu(G)$

Cálculo de integrales múltiples

Reducción de una integral múltiple a iterativas

Sea un conjunto medible, sea también un conjunto medible, sea definido e integrable en . Después $D\subconjunto {{\mathbb{R}}^{d-1}}$ $G=\izquierda\{ \izquierda( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d}} \right):\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right)\en D;\varphi \left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right )\le {{x}_{d}}\le \psi \left( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}} \right) \right\}$ $f\izquierda( X\derecha)$ $\GRAMO$

$\int \limits _{\ \varphi \left({{x}_{1)),\ldots,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots,{{x} _{d}}\right)d{{x}_{d}}}\equiv I\left({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}\ Correcto)$ existe en todas partes en , a excepción de un conjunto de Lebesgue medida cero ( puede estar vacío); $D$ $D_0$ $D_0$
existe donde $\int \limits _{D}{\tilde {I}}\left({{x}_{1)),\ldots,{{x}_{d-1}}\right)d{ {x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}\equiv \int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({ {x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}}),\ldots,{{ x }_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{ d }}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$

\tilde I\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}} \right) \equiv \begin{cases} I\left( {{x}_{ 1}},\ldots,{{x}_{d-1}} \right), & ({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}) \ en D \barra invertida D_0 \\ \qquad \quad 0 & ({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}) \in D_0, \end{cases}

llamada integral iterada de una función sobre un conjunto ;

f\izquierda( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}} \derecha)

GRAMO

$\int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1} }\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({{x}_{1}}, \ldots,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d-1}}\ derecha)}{f\izquierda({{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d}}\derecha)d{{x}_{d}}}\derecha]d{{ x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$ .

Cualquier integral d-dimensional se puede reducir a d unidimensionales.

Cambio de variables en una integral múltiple

Sea dada una aplicación biyectiva que transforme el dominio en : ${{\mathbb{R}}^{d}} \leftrightarrow {{\mathbb{R}}^{d}}$ $\ {{D}'}$ $\D$

\left\{ \begin{align} {{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_ {d}} \right) \\ {{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_ {d}} \right) \\ \ldots \\ {{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left( {{x}_{1}},\ldots,{ {x}_{d}} \right) \\ \end{align} \right.

donde están las coordenadas "antiguas" y las coordenadas "nuevas". Además, deje que las funciones que definen el mapeo tengan derivadas parciales continuas de primer orden en el dominio, así como un jacobiano acotado y distinto de cero $t$ $X$ $\ {{D}'}$

\frac{D\left( t \right)}{D\left( x \right)}=\frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots,{{t}_{d }} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d}} \right)}

Entonces, bajo la condición de que exista la integral

\int\limits_{D}{f\left( T \right)dT}=\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ ldots ,{{t}_{d}} \right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}

la fórmula para el cambio de variables es válida:

\int{\int\limits_{D}{\ldots \int{f\left( {{t}_{1)),\ldots ,{{t}_{d)) \right)d{{t} _ {1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int{\int\limits_{{{D}'}}{\ldots \int{f\left( {{\psi }_{1}}\left( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d}} \right),\ldots,{{\psi }_{d}}\left ( {{x}_{1}},\ldots,{{x}_{d}} \right) \right)\left| \frac{D\left( {{t}_{1}},\ldots,{{t}_{d}} \right)}{D\left( {{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}} \right)} \right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}

Uso de la simetría

Si el dominio de integración es simétrico con respecto al origen de coordenadas para al menos una de las variables de integración y el integrando es impar en esta variable, la integral es igual a cero, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio de integración tienen el Mismo valor absoluto pero signos opuestos. Si el integrando es par sobre esta variable, la integral es igual al doble de la integral sobre una de las mitades del dominio de integración, ya que las integrales sobre cada una de las mitades son iguales.

Ejemplo 1. Sea la función integrada sobre el dominio $f(x,y) = 2\sin(x)-3y^3+5$

T=\left \{ ( x,y) \in \mathbf{R}^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},

una circunferencia de radio 1 con centro en el origen.

Usando la propiedad de linealidad, la integral se puede descomponer en tres partes:

\iint_T (2\sin x - 3y^3 + 5) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \ , dx \, dy

2sen( x ) y 3 y 3 son funciones impares, y también está claro que el disco T es simétrico tanto en el eje x como en el eje y . Por lo tanto, solo la constante 5 contribuye al resultado final.

Ejemplo 2. Sea la función f ( x , y , z ) = x exp( y 2 + z 2 ) integrada sobre una esfera de radio 2 con centro en el origen,

T = \left \{ ( x,y, z) \in \mathbf{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \}.

La "pelota" es simétrica en los tres ejes, pero basta con integrar en el eje x para mostrar que la integral es 0, ya que la función es impar en esta variable.

Integral doble

Una integral doble es una integral múltiple con . $\d=2$

\iint\limits_{D}{f\left( P \right)d\sigma }

. Aquí , es el elemento de área en las coordenadas consideradas.

\d\sigma

En coordenadas rectangulares: , donde es el elemento área en coordenadas rectangulares. $\iint\limits_{D}{f\left( x,y \right)dxdy}$ $\dxdy$

Significado geométrico de la integral doble

Deje que la función tome solo valores positivos en el dominio. Entonces la integral doble es numéricamente igual al volumen de un cuerpo cilíndrico vertical construido sobre la base y acotado superiormente por el trozo de superficie correspondiente . $f\izquierda(x,y\derecha)$ $\D$ ${\ estilo de visualización \ iint \ límites _ {D} {f \ izquierda (x, y \ derecha) d \ sigma}::}$ $\V$ $\D$ $z=f\izquierda(x,y\derecha)$

Expresión de la integral doble en términos de coordenadas polares

En algunos casos, es más fácil calcular la integral doble no en coordenadas rectangulares, sino polares , ya que en este caso puede ocurrir una simplificación significativa de la forma de la región de integración y todo el proceso de integración en su conjunto.

Aplicamos el teorema del cambio de variables. La transformación correspondiente a la transición tiene la forma:

\left\{{\begin{alineado}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \end{alineado}}\right.

El módulo del jacobiano de la aplicación es . Así conseguimos que $\r$

\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}=\iint \limits _{{D}'}{g\left(r,\varphi \right)rdrd\ varphi },\quad

donde _

g\left(r,\varphi \right)=f\left(r\cos \varphi ,r\sin \varphi \right)

Aquí está el elemento de área en coordenadas polares. $\rdrd\varphi$

Un ejemplo de transición a un sistema de coordenadas arbitrario

Calculemos el área de la región . $D=\izquierda\{ \izquierda( x,y \derecha):{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}\le 1 \derecha\}$

Cambiar a un sistema de coordenadas polares no facilitará el área:

{D}'=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\varphi +\frac{1} {4}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\le 1 \right\}

El multiplicador delante del seno "interfiere". En este caso, la transición se puede ajustar ligeramente:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=2r\sin \varphi \\ \end{align} \right.

Esta transformación traducirá el área original en lo siguiente:

{D}''=\left\{ \left( r,\varphi \right):{{r}^{2}}\le 1 \right\}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 0 \le \varphi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1 \\ \end{align} \right.

Visualización jacobiana :

\izquierda| \begin{matriz} {{{{x}'}}_{r}} & {{{{y}'}}_{r}} \\ {{{{x}'}}_{\varphi } } & {{{{y}'}}_{\varphi }} \\ \end{matriz} \right|=\left| \begin{matriz} \cos \varphi & 2\sin \varphi \\ -r\sin \varphi & 2r\cos \varphi \\ \end{matriz} \right|=2r

El módulo jacobiano también es . $2r$

De aquí

S\left( D \right)=\iint\limits_{{{D}''}}{2rdrd\varphi }=2\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }\int\ límites_{0}^{1}{rdr}=\int\limits_{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi

El resultado es correcto porque el área está acotada por la elipse dada por la ecuación canónica. El área se puede calcular usando la fórmula . Por sustitución, nos aseguramos de que el cálculo de la integral es correcto. $\D$ $S=\pi ab$

Aplicaciones de las integrales dobles

Nombre del valor	expresión general	Coordenadas rectangulares	Coordenadas polares
Área de una figura plana	$S=\iint\limits_{G}{d\sigma}$	$\iint\limits_{G}{dxdy}$	$\iint\limits_{G}{rdrd\varphi}$
Masa de una placa plana delgada densidad $\mu$	$m=\iint\limits_{G}{\mu \left( \sigma \right)d\sigma }$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( x,y \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\mu \left( r,\varphi \right)rdrd\varphi }$
Superficie de la pieza $^{1)}$	$S=\iint\limits_{G}{\frac{d\sigma }{\cos \gamma }}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\parcial z}{\parcial x} \right)}^{2))+{{\left( \frac{\parcial z}{\parcial y} \right)}^{2}}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{r}^{2}}{{\left( \frac{\parcial z}{\parcial \rho } \right )}^{2))+{{\left( \frac{\parcial z}{\parcial \varphi } \right)}^{2))}drd\varphi }$
El volumen de un cuerpo cilíndrico, de pie en el avión $XOY$	$V=\iint\limits_{G}{zd\sigma}$	$\iint\limits_{G}{zdxdy}$	$\iint\limits_{G}{zrdrd\varphi}$
Momento de inercia de una figura plana. $^{2)}$ sobre el eje $O{{Z}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}d\sigma}$	$\iint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi}$
Momento de inercia de una figura plana. $^{2)}$ sobre el eje $O{{X}^{3)}}$	${{I}_{z}}=\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}d\sigma}$	$\iint\limits_{G}{{{y}^{2}}dxdy}$	$\iint\limits_{G}{{{r}^{3}}{{\sin }^{2}}\varphi drd\varphi }$
Coordenadas del centro de masa plato homogéneo $^{3)}$	${{x}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xd\sigma }}$ ${{y}_{c}}=\frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{yd\sigma }}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{xdxdy}} \\ & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{ydxdy}} \ \ \end{alinear}$	$\begin{align} & \frac{1}{S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\cos \varphi drd\varphi }} \\ & \frac{1}{ S}{\iint\limits_{G}{{{r}^{2}}\sin \varphi drd\varphi }} \\ \end{align}$
notas	1) Área - proyección sobre un plano ; sólo se proyecta un punto de la superficie en cada punto del área; $GRAMO$ $XOY$ $\gama$ es el ángulo entre el plano tangente y el plano . $XOY$ 2) Combinado con el avión . $XOY$ 3) O, lo que es lo mismo, relativo al centro O.

Integral triple

Una integral triple es una integral múltiple con : $\d=3$

\iiiint\limits_{D}{f\left( P \right)dV }

donde es el elemento de volumen en las coordenadas consideradas. $\dV$

Expresión de la integral triple en términos de coordenadas rectangulares

En coordenadas rectangulares, la integral triple tiene la siguiente forma:

\iiiint\limits_{D} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz

donde es el elemento de volumen en coordenadas rectangulares. $\dxdydz$

Expresión de la integral triple en términos de coordenadas cilíndricas

Del mismo modo, en algunos casos, la integral triple es más fácil de calcular no en coordenadas rectangulares, sino cilíndricas . Aplicamos el teorema del cambio de variables. La transformación correspondiente a la transición tiene la forma:

\left\{ \begin{align} & x=r\cos \varphi \\ & y=r\sin \varphi \\ & z=h \\ \end{align} \right.

El módulo del jacobiano de la aplicación es . Así conseguimos que $\r$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}'}}{f\left( r,\varphi ,h \right)rdrd \varphi dh}

donde es el elemento de volumen en coordenadas cilíndricas. $rdrd\varphi dh$

Expresión de la integral triple en términos de coordenadas esféricas

Además de las coordenadas cilíndricas, también puede cambiar a coordenadas esféricas . Aplicamos el teorema del cambio de variables. La transformación correspondiente a la transición tiene la forma:

\left\{ \begin{align} & x=r\sin \theta \cos \varphi \\ & y=r\sin \theta \sin \varphi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{ alinear}\derecha.

El módulo del jacobiano de la aplicación es . Así conseguimos que $\ {{r}^{2}}\sin \theta$

\iiiint\limits_{D}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{{D}''}}{f\left( r,\varphi ,\theta \right ){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }

donde es el elemento de volumen en coordenadas esféricas. ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$

Aplicaciones de integrales triples

Nombre del valor	expresión general	Coordenadas rectangulares	Coordenadas cilíndricas	Coordenadas esféricas
volumen corporal	$V=\iiiint\limits_{G}{dV}$	$\iiiint\limits_{G}{dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Momento de inercia de la geométrica. cuerpos sobre el eje $onz$	${{I}_{z}}=\iiiint\limits_{G}{{{r}^{2}}dV }$	$\iiiint\limits_{G}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{{{r}^{3}}drd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{{{\rho }^{4}}{{\sin }^{3}}\theta d\rho d\varphi d\theta }$
Masa de un cuerpo físico con densidad $\mu$	$m=\iiiint\limits_{G}{\mu dV}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu dxdydz}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu rdrd\varphi dh}$	$\iiiint\limits_{G}{\mu {{\rho }^{2}}\sin \theta d\rho d\varphi d\theta }$
Coordenadas del centro de masa cuerpo homogéneo	$\begin{align} & {{x}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdV }} \\ & {{y}_{c}} ={\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ydV }} \\ & {{z}_{c}}={\frac{1}{V}}{\iiiint\ límites_{G}{zdV }} \\ \end{align}$	$\begin{align} & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{xdxdydz}} \\ & {\frac{1}{V}}{\iiiint\limits_{G}{ ydxdydz)) \\ & {\frac{1}{V)){\iiiint\limits_{G}{zdxdydz)) \\ \end{align}$	—	—

Véase también

Notas

↑ Aquí y en todas partes a continuación, a menos que se indique lo contrario, la mensurabilidad de un conjunto se entiende en el sentido jordano.
↑ Es bastante típico en tal notación usar una letra diferente para el elemento del ámbito de integración ( n - dimensional) que para la designación del argumento vectorial de la función integrable, es decir no sino por ejemplo o simplemente o etc., ya que en la notación de coordenadas este elemento de volumen es en los casos más simples el producto de coordenadas diferenciales , y en el caso más general de coordenadas curvilíneas X debe incluir también el determinante de la métrica : $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dX},$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV_X}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)dV}$ $\int\limits_{G}{f\left( X \right)d\Omega}$ $dV_X = \prod_i dX_i$ $dV_X = |\det g| \prod_i dX_i.$

Literatura

Vygodsky, M. Ya. Diferenciación e integración de funciones de varios argumentos // Manual de matemáticas superiores. - M. : Astrel, AST, 2005. - 991 p. — 10.000 copias. - ISBN 5-17-012238-1 , 5-271-03651-0.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Capítulo 2. Integrales dobles y n-fold // Fundamentos del análisis matemático. - 4. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 2. - 464 p. — (Curso de matemáticas superiores y física matemática). - 5000 copias. — ISBN 5-9221-0131-5 .
Kudryavtsev, L. D. Capítulo 6. Cálculo integral de funciones de varias variables // Curso de Análisis Matemático. - M. : Escuela Superior, 1981. - T. 2. - 584 p.
Budak, B. M., Fomin S. V. Integrales múltiples y series. — M .: Nauka , 1967. — 608 p.

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	BNE : XX552555 NKC : ph385192

Cálculo integral

Principal

Generalizaciones
de la integral de Riemann

Transformaciones integrales

Integración numérica

teoría de la medida

Temas relacionados

Listas de integrales