Teorema de compacidad de Gromov (geometría de Riemann)
El teorema de compacidad de Gromov o teorema de elección de Gromov establece que el conjunto de variedades de Riemann de una dimensión dada con curvatura de Ricci ≥ c y diámetro ≤ D es relativamente compacto en la métrica de Gromov-Hausdorff .
Historia
El teorema fue probado por Gromov , [1] la desigualdad de Bishop-Gromov se usa en la prueba .
La aparición de este teorema impulsó el estudio de espacios de Alexandrov con curvatura acotada por abajo en dimensiones 3 y superiores y, más tarde, espacios generalizados con curvatura de Ricci acotada por abajo.
Variaciones y generalizaciones
- El teorema es una generalización del teorema de Myers .
El teorema de Gromov es una consecuencia de la siguiente afirmación.
- Cualquier familia universalmente completamente acotada de espacios métricos es relativamente compacta en la métrica de Gromov-Hausdorff.
- Se dice que una familia de espacios métricos está universalmente acotada por completo si para cualquiera existe un entero positivo tal que cualquier espacio de admite una red de en la mayoría de los puntos.
Véase también
Notas
- ↑ Gromov, Mikhael (1981), Structures métriques pour les variétés riemanniennes , vol. 1, Textes Mathématiques [Textos matemáticos], París: CEDIC, ISBN 2-7124-0714-8
Literatura
- D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Curso de geometría métrica. - Moscú-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004. - 512 p. — ISBN 5-93972-300-4 .