Teorema de compacidad de Gödel

El teorema de compacidad de Gödel establece que un conjunto de oraciones en lógica de primer orden tiene un modelo si y solo si cada subconjunto finito de oraciones tiene un modelo.

Este teorema es una herramienta importante en la teoría de modelos , ya que proporciona un método conveniente para construir modelos para un conjunto infinito de oraciones.

El teorema es una consecuencia del teorema de Tikhonov de que el producto de espacios compactos es compacto. Además, es análogo a la caracterización de espacios compactos en términos de la propiedad de intersección finita.

Historia

Kurt Gödel demostró el teorema de compacidad para un número contable de oraciones en 1930; el caso incontable fue probado por Anatoly Ivanovich Maltsev en 1936.

Consecuencias

• Si la oración se cumple en cada campo de característica cero, entonces es verdadera en todos los campos de una característica suficientemente grande.
  • De hecho, sea φ válido en cada campo de característica cero. Entonces su negación ¬φ, junto con los axiomas del campo y la secuencia infinita de proposiciones 1+1 ≠ 0, 1+1+1 ≠ 0, ..., llevan a una contradicción (ya que no hay campo de característica 0 en el que la secuencia de oraciones garantiza que cualquier modelo será un campo de característica 0). Por lo tanto, hay un subconjunto A finito de estas oraciones, lo que lleva a una contradicción. Deje que B contenga todas las oraciones de A excepto ¬φ. Entonces cualquier campo con característica dastatono grande es un modelo B , y ¬φ junto con B no es factible. Esto significa que φ se cumple en cada modelo B , en particular, φ se cumple en cada campo de característica suficientemente grande.

• Si una teoría tiene modelos finitos arbitrariamente grandes, o un modelo infinito, entonces tiene modelos de potencia arbitrariamente grande . (Este es un caso especial del teorema de Löwenheim-Skolem ).
  • Así, por ejemplo, existen modelos no estándar de la aritmética de Peano con un número incontable de números naturales .
  • Prueba. Sea M un modelo de la teoría original. Agreguemos un símbolo al lenguaje para cada elemento del conjunto T de gran cardinalidad . Luego agregamos un conjunto de oraciones que dicen que todos estos personajes son diferentes. Como hay un modelo para cada subconjunto finito de esta nueva teoría, hay un modelo para la teoría misma.

• Construcción de un modelo no estándar de números reales , es decir, una extensión de la teoría de los números reales, que contiene " infinitesimales ".
  • Sea Σ una axiomatización de la teoría de los números reales de primer orden. Considere la teoría obtenida al agregar una nueva constante ε al lenguaje y las proposiciones ε > 0 y ε < 1/ n para todos los números naturales n . Obviamente, los números reales estándar son un modelo para cualquier subconjunto finito de estos axiomas . Por el teorema de compacidad, existe un modelo que satisface todas las proposiciones. Es decir, un modelo con un número infinitesimal ε.

Acerca de la evidencia

El teorema se deriva del teorema de completitud de Gödel . Gödel demostró originalmente el teorema de compacidad de esta manera. Más tarde, se encontraron evidencias "puramente semánticas ". Una de estas pruebas se basa en ultralímites .

Enlaces

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