El teorema de Napoleón es un enunciado de la planimetría euclidiana sobre triángulos equiláteros:
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Si se construye un triángulo equilátero en cada lado de un triángulo arbitrario , entonces el triángulo con vértices en los centros de los triángulos equiláteros también es equilátero. |
Los triángulos se pueden construir dentro (todos); la declaración seguirá siendo válida.
El triángulo así obtenido se denomina triángulo de Napoleón (interior y exterior).
El teorema se atribuye a menudo a Napoleón Bonaparte (1769-1821). Sin embargo, es posible que fuera propuesto por W. Rutherford en una publicación de 1825 en inglés. El diario de las damas . [una]
Este teorema se puede probar de varias maneras. Uno de ellos utiliza la rotación y el teorema de Chall (3 rotaciones consecutivas devuelven el avión a su lugar). Un método similar usa una homotecia rotacional (cuando se usan 2 homotecias con coeficientes iguales, MN y LN entran en un segmento CZ). Otros métodos son más sencillos, pero también más engorrosos y complejos.
Véase también puntos de Napoleón .
La figura del párrafo se encuentra en: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif Sea el triángulo ABC y sean D, E, F puntos en la figura para los cuales los triángulos DBC, CAE, ABF equilátero. Además, sea G el centro del triángulo DBC , H el centro del triángulo CAE , I el centro del triángulo ABF . Entonces los segmentos AG, BH, CI se cortan en un punto. Denotemos este punto con la letra N. Este es el llamado primer punto de Napoleón. Las coordenadas trilineales para el punto N son: csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6). Si los triángulos equiláteros DBC, CAE, ABF no se construyen fuera sino dentro del triángulo dado ABC , entonces las tres líneas AG, BH, CI se cortan en el segundo punto de Napoleón. Sus coordenadas trilineales son: csc(A - π/6): csc(B - π/6): csc(C - π/6).
El primer y segundo punto de Napoleón en la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling = http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ se conocen como puntos X(17) y X(18).
El teorema de Napoleón se generaliza al caso de triángulos arbitrarios de la siguiente manera:
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Si se construyen triángulos similares de cualquier forma en los lados de un triángulo externamente de modo que cada uno gire en relación con el anterior, y se conectan tres puntos correspondientes de estos triángulos, entonces el triángulo resultante será similar a estos triángulos externos. |
La contrapartida del teorema de Napoleón para los paralelogramos es el primer teorema de Thébault .
