Teorema de Radon-Nikodim

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El teorema de Radon-Nikodim en análisis funcional y disciplinas afines describe la forma general de una medida que es absolutamente continua con respecto a otra medida.

El nombre de Otto Nikodim y Johann Radon .

Redacción

Que sea un espacio con medida . Supongamos que - es -finito . Si la medida es absolutamente continua con respecto a , entonces existe una función medible tal que $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $\mu$ $\sigma$ $\nu \colon {\mathcal {F}}\to {\mathbb {R}}$ $\mu$ $(\nu\ll\mu)$ $f\colon X\to \mathbb {R}$

\nu (A)=\int \limits _{{{A}}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F)),

donde la integral se entiende en el sentido de Lebesgue .

En otras palabras, si una función de valor real tiene las propiedades: [1] $A\mapsto\nu (A)$

$\nu$ definido en el álgebra de Borel . ${\ Displaystyle S_ {\ mu}}$
$\nu$ aditivo; es decir, para cualquier descomposición de un conjunto en conjuntos , la igualdad $A=\bigcup_{n}A_{n}$ ${\ Displaystyle A \ en S_ {\ mu}}$ ${\displaystyle A_{n}\in S_{\mu ))$ ${\ estilo de visualización \ nu (A) = \ suma _ {n} \ nu (A_ {n})}$
$\nu$ absolutamente continuo; es decir, se sigue de . ${\ estilo de visualización \ mu (A) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ nu (A) = 0}$

entonces se puede representar como

{\ estilo de visualización \ nu (A) = \ int _ {A} f (x) d \ mu,}

donde la integral se entiende en el sentido de Lebesgue .

Conceptos relacionados

La función cuya existencia está garantizada por el teorema de Radon-Nikodim se llama la derivada Radon-Nikodim de la medida con respecto a la medida . Escribe: $F$ $\nu$ $\mu$ $f={\frac{d\nu }{d\mu}}.$
- Si es un
espacio vectorial bidimensional con un álgebra σ de Borel , es la distribución de alguna variable aleatoria y es la medida de Lebesgue en , entonces la derivada de Radon-Nikodim de la medida con respecto a la medida se denomina densidad de distribución de la variable aleatoria $(X,\;{\mathcal {F}})=\left({\mathbb {R}}^{k},\;{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}^{k} )\Correcto)$ $k$ $\nu ={\mathbb{P}}^{{X}}$ $X$ $\mu=m$ ${\matemáticas {R}}^{k}$ $\mathbb{P} ^{X}$ $metro$ $X$

Propiedades

Sean medidas -finitas definidas sobre un mismo espacio medible . Entonces si y , entonces $\lambda,\;\mu,\;\nu$ $\sigma$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\mu \ll \lambda$ $\nu \ll \lambda$

{\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.

deja _ Después $\nu \ll \mu \ll \lambda$

{\frac {d\nu }{d\lambda}}={\frac {d\nu }{d\mu}}{\frac {d\mu }{d\lambda}}

cumplido - casi en todas partes.

\lambda

Sea y una función medible integrable con respecto a la medida , entonces $\mu \ll \lambda$ $g\colon X\to {\mathbb {R}}$ $\mu$

\int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).

Sea y . Después $\ mu \ ll \ nu$ $\nu \ll \mu$

{\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{{-1}}.

Sea el cargo . Después $\nu$

{d|\nu| \sobre d\mu }=\left|{d\nu \sobre d\mu }\right|.

Variaciones y generalizaciones

Un teorema similar es válido para cargas , es decir, medidas con signos alternos.

Notas

↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. Problema II. Medida, integral de Lebesgue, espacio de Hilbert. - M., Universidad Estatal de Moscú, 1960. - p. 74-75

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

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