Teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn - Banach se refiere a varios resultados clásicos relacionados del análisis funcional , en particular

El teorema de la continuación de un funcional lineal con la conservación de la mayorante ;
El teorema de separación para conjuntos convexos ;
Teorema de la continuación continua o positiva de un funcional lineal.

El teorema de la continuación de un funcional lineal con la conservación de la mayorante

Sea un espacio lineal o vectorial sobre el campo de los números reales y sea un funcional subaditivo positivamente homogéneo . Para cualquier subespacio lineal de un espacio lineal, cada funcional lineal que satisfaga la condición $X$ $\matemáticas {R}$ $p:X\to\mathbb R$ $Y$ $X$ $f:Y\to\mathbb R$

f(y) \leqslant p(y), \forall y \in Y

se puede extender a todo el espacio manteniendo esta desigualdad. $X$

Es fácil demostrar que sólo la homogeneidad positiva (tal formulación errónea se da en la Enciclopedia Matemática ) o la superaditividad del funcional no es suficiente para la validez de este teorema. $pags$

Un contraejemplo para un funcional positivamente homogéneo: , , . $X=\matemáticas R$ $Y=\{0\}$ $p(x):=-|x|, x\en X, f(0)=0$

Ampliamente conocidas son varias versiones del teorema de la continuación de un funcional lineal con la conservación de la mayorante para espacios lineales sobre el campo de los números complejos cuando es un seminorma . $pags$

Teorema de la extensión continua de un funcional lineal

Cualquier funcional lineal acotado definido en una variedad lineal de un espacio lineal normado se puede extender a todo el espacio conservando la norma. $F$ $Y$ $X$

Muchos corolarios importantes se derivan de estos teoremas. Uno de ellos:

Para cualesquiera dos puntos diferentes de un espacio lineal normado o de un espacio localmente convexo , existe un funcional lineal continuo definido sobre todo el espacio para el cual sus valores en estos puntos son diferentes.

Prueba

Primero probamos que hay una extensión en una dirección. deja _ Considere un espacio lineal de la forma: $z\in X\setminus Y$

Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\a\in \R\right\}.

Seguiremos escribiendo : $F$ $Y_z$

\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),

donde está el número real a determinar. Para arbitrario y se realiza: $\tilde f(z)$ $y_1, y_2\en Y$ $a,b>0$

f(ay_1+by_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant

{} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =

{}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant

\leqslant ap(y_1-bz) + bp(y_2+az).

De aquí

a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)

Como consecuencia

\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2) \right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.

Vamos a definirlo así $c\en \R$

\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \ leqslant \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.

Igualdad

ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R

definamos

\tilde f(z)=c.

Para todo y arbitrario , se cumple la siguiente desigualdad: $y\en y$ $un \ en \ R$

\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),

es por eso

\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.

Para completar la demostración usamos el lema de Zorn . Sea el conjunto de todas las extensiones posibles que satisfacen las condiciones del teorema. Este conjunto está parcialmente ordenado debido a la inclusión de dominios, y cada subconjunto ordenado linealmente tiene un supremo (la unión de dominios ). Por lo tanto, por el lema de Zorn, este conjunto tiene un elemento máximo. Este elemento es igual a todo el espacio, de lo contrario, se puede realizar una continuación adicional utilizando solo una determinada construcción. $mi$

Véase también

Literatura