Teoría del control automático

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La teoría del control automático ( TAU ) es una disciplina científica que estudia los procesos de control automático de objetos de diferente naturaleza física. Al mismo tiempo, con la ayuda de medios matemáticos, se revelan las propiedades de los sistemas de control automático y se desarrollan recomendaciones para su diseño.

Es una parte integral de la cibernética técnica y está destinado a desarrollar principios generales de control automático, así como métodos de análisis (investigación de funcionamiento) y síntesis (selección de parámetros) de sistemas de control automático (ACS) para objetos técnicos.

Para esta teoría, solo importa la naturaleza [1] de las transformaciones de señales por parte de los objetos de control.

Historia

Por primera vez, la información sobre los autómatas apareció a principios de nuestra era en las obras de Garza de Alejandría “ Neumática ” y “ Mecánica ”, que describen autómatas creados por el propio Garza y su maestro Ctesibius : un autómata neumático para abrir las puertas de un templo, un órgano de agua, un autómata para vender agua bendita, etc. Las ideas de Garza se adelantaron mucho a su tiempo y no encontraron aplicación en su época.

En la Edad Media , la mecánica de imitación de "androides" recibió un desarrollo significativo, cuando los diseñadores mecánicos crearon una serie de autómatas que imitaban las acciones humanas individuales y, para mejorar la impresión, los inventores dieron a los autómatas una semejanza externa con una persona y los llamaron " androides ”, es decir, humanoides. En la actualidad, este tipo de dispositivos se denominan robots , en contraposición a los dispositivos de control automático que son muy utilizados en todos los ámbitos de la actividad humana, que reciben el nombre de autómatas.

En el siglo XIII, el filósofo escolástico y alquimista alemán Albert von Bolstadt construyó un robot para abrir y cerrar puertas.

Se crearon androides muy interesantes en los siglos XVII-XVIII. En el siglo XVIII, los relojeros suizos Pierre Droz y su hijo Henri crearon un escriba mecánico, un artista mecánico y otros. En el siglo XVIII se creó un hermoso teatro de autómatas. Mecánico autodidacta ruso Kulibin . Su teatro, conservado en el Hermitage , está alojado en un "reloj de figura de huevo".

En sus inicios, muchas disposiciones de la teoría del control automático están contenidas en la Teoría general de los reguladores (lineales), que se desarrolló principalmente en 1868-1876 en los trabajos de Maxwell y Vyshnegradsky . Las obras fundamentales de Vyshnegradsky son: "Sobre la teoría general de los reguladores", "Sobre los reguladores de acción indirecta". En estos trabajos se pueden encontrar los orígenes de los métodos modernos de ingeniería para estudiar la estabilidad y la calidad de la regulación.

Los trabajos del destacado matemático soviético Andrei Markov (junior) , el fundador de la escuela de matemáticas constructivista soviética, el autor de trabajos sobre la teoría de los algoritmos y la lógica matemática , jugaron una influencia decisiva en el desarrollo de la metodología doméstica para estudiar el teoría del control automático . Estos estudios han encontrado aplicación en las actividades científicas y prácticas del académico Lebedev sobre temas militares: control automático de torpedos y guía de armas y la estabilidad de grandes sistemas de energía .

A principios del siglo XX y en su primera década, la teoría del control automático se está formando como una disciplina científica general con una serie de secciones aplicadas.

Conceptos básicos

La automatización es una rama de la ciencia y la tecnología que cubre la teoría y la práctica del control automático, así como los principios de construcción de sistemas automáticos y los medios técnicos que los forman.

Un objeto de control (OC) es un dispositivo, un proceso físico o un conjunto de procesos que deben ser controlados para obtener el resultado deseado. La interacción con el sistema operativo ocurre al aplicar una acción de control a su entrada condicional (que corrige los procesos que ocurren en el sistema operativo), mientras que la salida es un parámetro modificado (que es una consecuencia del proceso).

El control es un impacto (señal) aplicado a la entrada del objeto de control y asegurando tal flujo de procesos en el objeto de control que asegurará el logro del objetivo de control especificado en su salida.

El objetivo es el flujo deseado de procesos en el objeto de control y obtener el cambio deseado en el parámetro en su salida.

Objetos:

administrado
no administrado

El sistema de control automático (ACS) incluye un objeto de control y un dispositivo de control.

El dispositivo de control (CU) es un conjunto de dispositivos que controlan las entradas del objeto de control.

La regulación es un caso especial de control, cuyo propósito es mantener una o más salidas del objeto de control en un nivel dado.

Regulador : convierte el error de control ε(t) en una acción de control que llega al objeto de control.

La acción de ajuste g(t) determina la regulación requerida del valor de salida.

Error de regulación ε(t) = g(t) - y(t), la diferencia entre el valor requerido de la variable controlada y su valor actual. Si ε(t) no es cero, entonces esta señal se envía a la entrada del controlador, lo que genera tal acción de control que finalmente ε(t) = 0 con el tiempo.

La acción perturbadora f(t) es un proceso a la entrada del objeto de control, que es un obstáculo para el control.

Sistemas de control automático:

Abierto:

sistema de control de programas. La CU emite una acción de control sin recibir información sobre el estado del sistema sobre la base de cualquier señal, un programa de tiempo (simplicidad y mayor confiabilidad, baja calidad de control);
SU sobre la indignación. La CU genera una acción de control basada en información sobre la magnitud del efecto perturbador en el sistema.

Cerrado: CU genera una acción de control basada en la información medida sobre el estado del objeto para el parámetro seleccionado.
Sistema combinado: CU genera una acción de control en base a información sobre los parámetros del objeto y en base a la información de la acción perturbadora.

Diagramas funcionales

Diagrama funcional de un elemento : un diagrama de un sistema automático de regulación y control, compilado de acuerdo con la función que realiza este elemento.

Las señales de salida son parámetros que caracterizan el estado del objeto de control y son esenciales para el proceso de control.

Las salidas del sistema son puntos en el sistema en los que las señales de salida se pueden observar en forma de ciertas cantidades físicas.

Las entradas del sistema son puntos del sistema donde se aplican influencias externas.

Señales de entrada:

interferencia : señales que no están asociadas con fuentes de información sobre las tareas y los resultados de la gestión.
útil : señales asociadas con fuentes de información sobre las tareas y los resultados de la gestión.

Sistemas:

unidimensional : sistemas con una entrada y una salida.
multidimensional - sistemas con múltiples entradas y salidas.

Principios de control de ACS

La retroalimentación es una conexión en la que el valor real de la variable de salida, así como el valor establecido de la variable controlada, se alimentan a la entrada del controlador .

duro: un sistema operativo de este tipo, en el que la entrada del controlador recibe una señal proporcional a la señal de salida del objeto en cualquier momento.
flexible: un sistema operativo de este tipo, en el que la entrada del controlador recibe no solo una señal proporcional a la señal de salida del objeto, sino también una señal proporcional a las derivadas de la variable de salida.

Control según el principio de desviación de la variable controlada : la retroalimentación forma un circuito cerrado. El objeto controlado se somete a una acción proporcional a la suma (diferencia) entre la variable de salida y el valor configurado, de manera que esta suma (diferencia) disminuye.

Control según el principio de compensación de perturbaciones : una señal proporcional al efecto perturbador ingresa a la entrada del controlador. No hay relación entre la acción de control y el resultado de esta acción sobre el objeto.

Control basado en el principio de regulación combinada : se utilizan tanto el control de perturbaciones como el de desviación, lo que garantiza la máxima precisión de control.

El principio de desviación de la variable controlada en TAU
Principio de compensación de perturbaciones en TAU
El principio de regulación combinada en TAU

Clasificación de la ACS

Por naturaleza del control:

sistemas de control
sistemas de control

Por la naturaleza de la acción:

sistemas continuos
sistemas de acción discreta
sistemas de acción de relé

Según el grado de uso de la información sobre el estado del objeto de control:

control del sistema operativo
control sin sistema operativo

Según el grado de uso de la información sobre los parámetros y estructura del objeto de control:

adaptado
inadaptado
búsqueda
sin búsqueda
con identificación
con estructura variable

Según el grado de transformación de coordenadas en ACS:

determinista
estocástico (con influencias aleatorias)

Por la forma del modelo matemático de transformación de coordenadas:

lineal
no lineal (relé, lógico, etc.)

Por tipo de acciones de control:

cosa análoga
discreto (intermitente, pulso, digital)

Según el grado de participación humana:

manual
automático
automatizado (hombre en control)

Según la ley de cambio de la variable de salida:

estabilizador : el valor prescrito de la variable de salida no cambia.
programa : la variable de salida cambia de acuerdo con un determinado programa predeterminado.
seguimiento : el valor prescrito de la variable de salida depende del valor de la variable desconocido de antemano en la entrada del sistema automático.

Por el número de variables controladas y reguladas:

unidimensional : si el objeto tiene un solo valor manipulado;
multidimensional: si el objeto tiene un número relativamente grande de variables controladas y el número correspondiente de acciones de control.

Según el grado de autoajuste, adaptación, optimización e inteligencia:

extremo
autoajuste
intelectual

Según el efecto del elemento sensible (de medición) sobre el organismo regulador:

sistemas de control directo
sistemas de control indirecto

Cañones autopropulsados inteligentes

Los ISAS son sistemas que permiten el entrenamiento, la adaptación o la puesta a punto mediante la memorización y el análisis de información sobre el comportamiento de un objeto, su sistema de control e influencias externas. Una característica de estos sistemas es la presencia de una base de datos de un motor de inferencia, un subsistema de explicación, etc.

Base de conocimientos : reglas formalizadas en forma de fórmulas lógicas, tablas, etc. IMS se utiliza para gestionar objetos técnicos complejos o mal formalizados.

La clase ISU corresponde a las características:

Disponibilidad de interacciones CS con el mundo exterior real utilizando canales de comunicación de información.
La apertura del sistema es necesaria para reponer y adquirir conocimientos.
Disponibilidad de mecanismos de predicción de cambios en el entorno de funcionamiento del sistema.
La imprecisión de la información sobre el CO puede compensarse aumentando la intelectualización del algoritmo de control.
La conservación del funcionamiento a la ruptura de la comunicación.

Si la ISU satisface los 5 criterios, entonces es inteligente en el sentido "grande", de lo contrario, en el sentido "pequeño".

Modelos matemáticos de ACS lineal

Determinista

$W_{0}(p)={\frac{A(p)}{B(p)))$

$W_{0}(p)={\frac{K_{0}}{T_{0}p}}e^{-p\tau}$

Estadística

Las estadísticas se caracterizan por un conjunto de parámetros estadísticos y funciones de distribución. Para su estudio se utilizan métodos de estadística matemática .

Adaptativo

Los adaptativos utilizan métodos estocásticos deterministas para describir el objeto de control.

Tipos de influencias. Transición, peso, funciones de transferencia

La función de paso de identidad es una función matemática especial cuyo valor es cero para argumentos negativos y uno para argumentos positivos. Es el impacto natural más simple en el objeto de control. En matemáticas, se expresa mediante la función identidad de Heaviside .
La función impulso unitario es la derivada de la función escalón unitario. Caracteriza un impulso de amplitud infinitamente grande, que fluye durante un período de tiempo infinitamente pequeño. El significado geométrico es que el área delimitada por esta función es igual a 1. Se usa en varios casos cuando el proceso de determinar las características dinámicas de la manera más simple debido al exceso del valor de salida en un valor dado es imposible. . [2]
La función de transición es la respuesta del sistema a una señal de un solo paso.
La función de peso es la respuesta del sistema a un solo impulso.
La función de transferencia es la relación entre la transformada de Laplace de la señal de salida y la transformada de Laplace de la señal de entrada en condiciones iniciales cero y perturbaciones externas cero.

Función de transferencia de conexión de enlaces

Conexión serie

Nosotros e (p) \u003d W 1 ( p) W 2 (p) ... W n (p) \u003d (p) $\prod_{i=1}^{n}W_{i}$

Conexión en paralelo

Nosotros e (p) \u003d W 1 ( p) + W 2 (p) + ... + W n (p) \u003d (p) $\sum_{i=1}^{n}W_{i}$

Función de transferencia de un sistema cerrado

W OC (p) es una ecuación que describe el circuito de realimentación
W(p) es una ecuación que describe el vínculo
G(p) es una ecuación que describe la acción de entrada
U OC (p) es una ecuación que describe la señal de salida del enlace de retroalimentación
ΔU(p) es una ecuación que describe la suma (diferencia) G(p) y U OC (p)
Y(p) es una ecuación que describe la señal de salida del sistema

$f(n)=\left\{{\begin{matriz}Y(p)=W(p)\Delta U(p)\\U_{OC}(p)=W_{OC}(p)Y(p )\\\Delta U(p)=G(p)\mp U_{OC}(p)\end{matriz}}\right.$

Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos los siguientes resultados:

$Y(p)=W(p)(G(p)\mp W_{OC}(p)Y(p))$

$Y(p)\pm W(p)W_{OC}(p)Y(p)=W(p)G(p)$

$Y(p)={{W(p)G(p)} \sobre {1\pm W(p)W_{OC}(p)}}$

$W_{\ni}(p)={Y(p) \sobre G(p)}={W(p) \sobre 1\pm W(p)W_{OC}(p)}$

Obtención de la función de transferencia de espacio de estado

El sistema en el espacio de estados se da como:

$\left\{{\begin{matriz}{\dot {x}}(t)=A\cdot x(t)+B\cdot u(t)\\y(t)=C\cdot x(t) +D\cdot u(t)\end{matriz}}\right.$

El sistema tiene m entradas u(t), l salidas y(t), n estados x(t), n>= max(m, l), A,B,C,D son matrices numéricas de la correspondiente dimensión nxn, nxm, lxn..

Sea I una matriz identidad de nxn, entonces:

pI X(p) - AX(p) = BU(p)

(pI - A)X(p) = BU(p)

x(0) = 0

X(p)=Wxu(p)U(p); Wxu(p) = (pI - A)^{-1)B

Y(p)=Wyu(p)U(p); Wyu(p)=C (pI - A)^{-1) B + D

Linealización de sistemas y enlaces

Deje que el ACS sea controlado y descrito por una ecuación no lineal

$F(x,{\dot {x}},y,{\dot {y}},{\ddot {y}},...,f,{\dot {f}},{\ddot {f} })=0$

Además, la no linealidad es insignificante, es decir, esta función se puede expandir en una serie de Taylor en la vecindad de un punto estacionario, por ejemplo, con una perturbación externa f = 0 .

La ecuación de este vínculo en estado estacionario es la siguiente:

$F(x^{0},0,y^{0},0,0)=0,x_{k}^{0},y_{k}^{0}$ , puntos iniciales, los derivados están ausentes.

Luego, expandiendo la función no lineal en una serie de Taylor, obtenemos:

$F(x^{0},y^{0})+\left({\frac {\parcial F}{\parcial x))\right)^{0}\Delta x+\left({\frac {\ F parcial}{\parcial {\dot {x}}}}\right)^{0}\Delta {\dot {x}}+\left({\frac {\parcial F}{\parcial y}}\ derecha)^{0}\Delta y+\left({\frac {\parcial F}{\parcial {\dot {y))))\right)^{0}\Delta {\dot {y))+\ izquierda ({\frac {\parcial F}{\parcial {\ddot {y))))\right)^{0}\Delta {\ddot {y}}+R_{n}=0,R_{n} ,$ - resto

$F(x,y)^{0}+\left(-b_{1}\right)\Delta x+\left(-b_{0}\right)\Delta {\dot {x}}+\left(a_ {2}\right)\Delta y+\left(a_{1}\right)\Delta {\dot {y}}+\left(a_{0}\right)\Delta {\ddot {y}}+R_ {n}=0$

$\left\{{\begin{matriz}\Delta x\rightarrow 0\\\Delta y\rightarrow 0\end{matriz}}\right.\Rightarrow R_{n}\rightarrow 0$

$a_{0}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{2}y=b_{0}{ \frac{dx}{dt}}+b_{1}x$

Cambiamos de no lineal a lineal. Pasemos a la ecuación del operador:

$(a_{0}p^{2}+a_{1}p+a_{2})y=(b_{0}p+b_{1})x$

$F()\flecha derecha F(\Delta x,\Delta y)\flecha derecha LE\flecha derecha OE$

Controlabilidad, observabilidad de armas autopropulsadas

El SCA es controlable (totalmente controlable) si puede transferirse desde cualquier estado inicial x 0 (t) a otro estado arbitrario x 1 (t) en un momento arbitrario mediante la aplicación de una acción continua por tramos U(t)∈[t 0 ;t1 ] .

ACS es observable (totalmente observable) si todas las variables de estado x(t) pueden determinarse a partir del impacto de salida (medido) y(t).

Estabilidad de sistemas lineales

La estabilidad es la propiedad del ACS de volver a un estado estacionario dado o cercano a él después de cualquier perturbación. El ACS estable es un sistema en el que se amortiguan los procesos transitorios.

$(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=(b_{0}p^{m}+b_{1 }p^{{m-1}}+...+b_{m})g$ es la forma del operador de la ecuación linealizada.

y(t) \u003d y conjunto (t) + y p \ u003d y fuera (t) + y st

y boca (y fuera ) es una solución particular de la ecuación linealizada.

y p (y st ) es la solución general de la ecuación linealizada como una ecuación diferencial homogénea, es decir $D(p)=(a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n})y=0$

El ACS es estable si los procesos transitorios y n (t) causados por cualquier perturbación se amortiguarán con el tiempo, es decir, cuando $y_{n}(t)\flecha derecha 0$ $t\rightarrow {\mathcal {1}}$

Resolviendo la ecuación diferencial en el caso general, obtenemos raíces complejas p i , p i+1 = ±α i ± jβ i

Cada par de raíces complejas conjugadas corresponde a la siguiente componente de la ecuación transitoria:

$c_{i}e^{{(\alpha _{i}+j\beta _{i})t}}+c_{{i+1}}e^{{(\alpha _{i}-j\ beta _{i})t}}=\alpha _{i}(c_{i}e^{{j\beta _{i}t}}+c_{{i+1}}e^{{-j \beta _{i}t)))=Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}$ , donde , $A={\raíz cuadrada {c_{i}^{2}+c_{{i+1}}^{2}}}$ $\operatorname {tg}{\varphi _{i}}={c_{i}+c_{{i+1}} \over c_{i}-c_{{i+1}}}$

De los resultados obtenidos se puede observar que:

para ∀α i <0, se cumple la condición de estabilidad, es decir, el proceso transitorio tiende a manifestarse con el tiempo (teorema 1 de Lyapunov);
cuando ∃α i >0, se cumple la condición de inestabilidad (teorema 2 de Lyapunov), es decir , lo que conduce a oscilaciones divergentes; $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}\rightarrow {\mathcal {1}}$
para ∃α i =0 y ¬∃α i >0 , lo que conduce a oscilaciones sinusoidales no amortiguadas del sistema (un sistema en el límite de estabilidad) (teorema 3 de Lyapunov). $Ae^{{\alpha _{i}t}}\sin {(\beta _{i}t+\varphi _{i})}=const$

Criterios de estabilidad

Criterio de ruta

Para determinar la estabilidad del sistema se construyen tablas de la forma:

Posibilidades	Instrumentos de cuerda	columna 1	columna 2	columna 3
	una	$C_{{11}}=a_{0}=T_{1}T_{2}T_{3}$	$C_{{12}}=a_{2}=T_{1}+T_{2}+T_{3}$	$C_{{13}}=a_{4}$
	2	$C_{{21}}=a_{1}=T_{1}T_{2}+T_{2}T_{3}+T_{1}+T_{3}$	$C_{{22}}=a_{3}=1+k$	$C_{{23}}=a_{5}$
$r_{3}={\frac{C_{{11}}}{C_{{21}}}}$	3	$C_{{31}}=C_{{12}}-r_{3}C_{{22}}$	$C_{{32}}=C_{{13}}-r_{3}C_{{23}}$	$C_{{33}}=C_{{14}}-r_{3}C_{{24}}$
$r_{4}={\frac {C_{{21}}}{C_{{31}}}}$	cuatro	$C_{{41}}=C_{{22}}-r_{4}C_{{32}}$	$C_{42}=C_{23}-r_{4}C_{33}$	$C_{{43}}=C_{{24}}-r_{4}C_{{34}}$

Para la estabilidad del sistema, es necesario que todos los elementos de la primera columna tengan valores positivos; si hay elementos negativos en la primera columna, el sistema es inestable; si al menos un elemento es igual a cero y el resto son positivos, entonces el sistema está en el límite de la estabilidad.

Criterio de Hurwitz

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

$\Delta _{n}=a_{n}\cdot \Delta _{{n-1}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&...&0\\a_ {0}&a_{2}&a_{4}&...&0\\0&a_{1}&a_{3}&...&0\\...&...&...&...&. ..\\0&...&...&...&a_{n}\end{vmatriz}}$ - Determinante de Hurwitz

Teorema : para la estabilidad de un SCA cerrado, es necesario y suficiente que el determinante de Hurwitz y todos sus menores sean positivos en $a_{0}>0.$

Criterio de Mikhailov

$D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{{n-1}}+...+a_{n}$

Sustituyamos , donde ω es la frecuencia angular de las oscilaciones correspondientes a la raíz puramente imaginaria del polinomio característico dado. $p=j\omega$

$D(j\omega)=X(\omega)+jY(\omega)=A(\omega)e^{{j\psi (\omega)}}$

$X(\omega )=a_{n}-a_{{n-2}}\omega ^{2}+...$

$Y(\omega )=a_{{n-1}}\omega -a_{{n-3}}\omega ^{3}+...$

Criterio : para la estabilidad de un sistema lineal de orden n, es necesario y suficiente que la curva de Mikhailov, construida en coordenadas , pase secuencialmente por n cuadrantes. $X(\omega ),Y(\omega )$

$D(p)=a_{0}(p-p_{1})(p-p_{2})...(p-p_{n})$

$p=j\omega \Rightarrow D(j\omega )=a_{0}(j\omega -p_{1})(j\omega -p_{2})...(j\omega -p_{n} )$

Considere la relación entre la curva de Mikhailov y los signos de sus raíces (α>0 y β>0)

1) La raíz de la ecuación característica es un número real negativo $p_{1}=-\alfa _{1}$

El factor correspondiente a la raíz dada $(\alfa _{1}+j\omega)$

$\left\{{\begin{matriz}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=-\alpha _{1}\end{matriz}}\right.\Rightarrow \psi \ flecha derecha {\ frac {\ pi} {2}}$

2) La raíz de la ecuación característica es un número real positivo $p_{1}=+\alfa _{1}$

El factor correspondiente a la raíz dada $(\alfa _{1}-j\omega)$

$\left\{{\begin{matriz}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=+\alpha _{1}\end{matriz}}\right.\Rightarrow \psi \ flecha derecha -{\frac {\pi }{2}}$

3) La raíz de la ecuación característica es un par complejo de números con parte real negativa $p_{{2,3}}=-\alpha _{1}\pm j\beta$

El factor correspondiente a la raíz dada $(j\omega +\alpha _{1}-j\beta )(j\omega +\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{matriz}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=-\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=-\alpha _ {1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi_{2}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}- \gamma \\\psi _{3}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}+\gamma \end{matriz}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow +2{\frac {\pi {2}}=+\pi$ , dónde $\gamma =\nombre del operador {arctg}{\frac {\beta}{\alpha})$

4) La raíz de la ecuación característica es un par complejo de números con parte real positiva $p_{{2,3}}=+\alpha _{1}\pm j\beta$

El factor correspondiente a la raíz dada $(j\omega -\alpha _{1}-j\beta )(j\omega -\alpha _{1}+j\beta )$

$\left\{{\begin{matriz}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=+\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=+\alpha _ {1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi_{2}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}+ \gamma \\\psi _{3}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}-\gamma \end{matriz}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow -2{\frac {\pi {2}}=-\pi$ , dónde $\gamma =\nombre del operador {arctg}{\frac {\beta}{\alpha})$

Criterio de Nyquist

El criterio de Nyquist es un criterio gráfico-analítico. Su rasgo característico es que la conclusión sobre la estabilidad o inestabilidad de un sistema cerrado se realiza según el tipo de características de amplitud-fase o frecuencia logarítmica de un sistema abierto.

Sea el sistema abierto representado como un polinomio $W(p)={\frac {R(p)}{Q(p)}}={\frac {b_{0}p^{n}+b_{1}p^{n-1} +...+b^{n}}{a_{0}p^{m}+a_{1}p^{m-1}+...+a^{m}}}$

luego hacemos una sustitución y obtenemos: $p=j\omega$ $W(j\omega )={\frac {R(j\omega )}{Q(j\omega )}}(*)=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^ {{j\psi (\omega)}}$

Para una construcción más conveniente de la hodógrafa para n>2, llevamos la ecuación (*) a la forma "estándar": $W(j\omega )={\frac {K(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})[(1-\tau _{3}^{ 2}\omega ^{2})+2j\xi _{3}\tau _{3}\omega ]...}{(j\omega )'[(1-T_{2}^{2}\ omega ^{2})+2j\xi _{2}T_{2}\omega](-1+j\omega T_{3})...}}$

Con esta representación, el módulo A(ω) = | W(jω)| es igual a la razón de los módulos del numerador y el denominador, y el argumento (fase) ψ(ω) es la diferencia entre sus argumentos. A su vez, el módulo del producto de números complejos es igual al producto de los módulos, y el argumento es la suma de los argumentos.

Módulos y argumentos correspondientes a los factores de la función de transferencia:

Factor	$A(\omega)$	$\psi (\omega)$
k	k	0
pags	ω	${\ frac {\ pi} {2}}$
$p^{2}$	$\omega^{2}$	$\Pi$
$Tp+1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega^{2}}}$	$\operatorname {arctg}\omega T$
$Tp-1$	${\sqrt {1+T^{2}\omega^{2}}}$	$\pi -\nombre del operador {arctg}\omega T$
$1-Tp$	${\sqrt {1+T^{2}\omega^{2}}}$	$-\nombre del operador {arctg}\omega T$
$T^{2}p^{2}+1$	$\left\|1-T^{2}\omega^{2}\right\|$	${\begin{matriz}0,&\omega <{\frac {1}{T}}\\\pi ,&\omega >{\frac {1}{T}}\end{matriz}}$
$T^{2}p^{2}+2\xi Tp+1$	${\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+4\xi ^{2}T^{2}\omega ^{2))}$	${\begin{matrix}\operatorname {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega <{\frac {1}{ T}}\\\pi +\operatorname {arctg}{\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega \geqslant {\frac { 1}{T}}\end{matriz}}$

Luego construimos una hodógrafa para la función auxiliar , para la cual cambiaremos $W_{1}(j\omega)=1+W(j\omega)$ $\omega [0;{\mathcal {1)))$

Para , pero para (porque n<m y ) $\omega =0,\quad W_{1}(j\omega )=K+1$ $\omega ={\mathcal {1)),\quad W_{1}(j\omega )=1$ $W(j\omega )=0$

Para determinar el ángulo de rotación resultante, encontramos la diferencia entre los argumentos del numerador y el denominador $\psi_{1}$ $\psi_{2}$

El polinomio del numerador de la función auxiliar tiene el mismo grado que el polinomio de su denominador, lo que implica , por tanto, que el ángulo de giro resultante de la función auxiliar es 0. Esto quiere decir que para la estabilidad del sistema cerrado, la hodógrafa de el vector de la función auxiliar no debe cubrir el origen, y la hodógrafa de la función , respectivamente, un punto con coordenadas $\psi_{1}=\psi_{2}$ $W(j\omega )$ $(-1;j0)$

Margen de estabilidad de los cañones autopropulsados

En condiciones de funcionamiento, los parámetros del sistema, por una razón u otra, pueden cambiar dentro de ciertos límites (envejecimiento, fluctuaciones de temperatura, etc.). Estas fluctuaciones en los parámetros pueden conducir a una pérdida de estabilidad del sistema si opera cerca del límite de estabilidad. Por lo tanto, se esfuerzan por diseñar el sistema para que funcione lejos del límite de estabilidad. El grado de esta eliminación se denomina margen de estabilidad.

La necesidad de un margen de estabilidad está determinada por las siguientes condiciones:

Rechazo de términos no lineales durante la linealización.
Los coeficientes incluidos en la ecuación que describe el ACS se determinan con un error.
Investigue la estabilidad de sistemas típicos en condiciones típicas.

Criterios

Criterio de ruta: para modelar un margen de estabilidad es necesario que los elementos de la primera columna sean mayores que un valor fijo ε>0, denominado factor de margen de estabilidad.
Criterio de Hurwitz : el margen de estabilidad se determina de manera similar al margen de estabilidad de Routh, solo ε caracteriza el valor del determinante de Hurwitz.
Criterio de Mikhailov: se inscribe una circunferencia de radio distinto de cero con centro en el punto O (0; 0). El margen está determinado por el radio de este círculo. El sistema es inestable cuando se viola el criterio de Mikhailov o cuando la curva de Mikhailov se cruza con un círculo.
Criterio de Nyquist : aquí el punto crítico es (-1; j0), por lo tanto, alrededor de este punto se construye una zona prohibida, cuyo radio representará el factor de estabilidad.

Características comparativas de los criterios de estabilidad

El criterio de frecuencia de Nyquist es aplicable principalmente cuando es difícil obtener experimentalmente las características de fase. Sin embargo, el cálculo de las AFC, especialmente las frecuencias, es más difícil que la construcción de las curvas de Mikhailov. Además, la ubicación del AFC no da una respuesta directa a la pregunta: si el sistema es estable, es decir, se requiere investigación adicional sobre la estabilidad del sistema en el estado abierto.

El criterio de Mikhailov se aplica a sistemas de cualquier orden, en contraste con el criterio de Routh. Usando el criterio de frecuencia de Nyquist y el criterio de Mikhailov, las curvas características se pueden construir gradualmente, teniendo en cuenta la influencia de cada enlace, lo que aclara los criterios y resuelve el problema de elegir los parámetros del sistema a partir de la condición de estabilidad.

Véase también

Notas

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