Teoría de los sistemas estacionarios lineales

La teoría de sistemas estacionarios lineales es una rama de la teoría de sistemas dinámicos que estudia el comportamiento y las propiedades dinámicas de los sistemas estacionarios lineales (LSS). Se utiliza para estudiar los procesos de control de sistemas técnicos, para el procesamiento de señales digitales y en otras áreas de la ciencia y la tecnología.

Resumen

Las propiedades que definen a cualquier sistema estacionario lineal son la linealidad y la estacionariedad :

Linealidad significa una relación lineal entre la entrada y la salida del sistema.

Formalmente, un sistema se llama lineal si tiene la siguiente propiedad:

si la señal en la entrada del sistema se puede representar mediante una suma ponderada de influencias (por ejemplo, dos) - x ( t ) = UN x 1 ( t ) + segundo x 2 ( t ) entonces la señal a la salida del sistema es también una suma ponderada de reacciones a cada una de las influencias - y ( t ) = UN y 1 ( t ) + B y 2 ( t ) para cualquier constante A y B .

Estacionariedad significa que la señal de salida del sistema como reacción a cualquier señal de entrada dada es la misma para cualquier momento de aplicación de la señal de entrada (hasta el tiempo de retardo del momento de aplicación de la señal de entrada). En un sentido más estricto, si la señal de entrada se retrasa en el tiempo en cierta cantidad, la señal de salida se retrasará en la misma cantidad.

La dinámica de los sistemas con las propiedades anteriores se puede describir mediante una función simple, por ejemplo, la función transitoria de impulsos . La salida del sistema se puede calcular como una convolución de la señal de entrada con la función de transición de impulso del sistema. Este método de análisis a veces se denomina análisis en el dominio del tiempo . Lo anterior también es cierto para los sistemas discretos.

Además, cualquier LSS se puede describir en el dominio de la frecuencia por su función de transferencia , que es la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso (o transformada Z en el caso de sistemas discretos). Debido a las propiedades de estas transformaciones, la salida del sistema en el dominio de la frecuencia será igual al producto de la función de transferencia y la correspondiente transformación de la señal de entrada. En otras palabras, la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación en el dominio de la frecuencia.

Para todas las funciones propias de LSS son exponentes complejos . Es decir, si la entrada del sistema es una señal compleja con cierta amplitud y frecuencia complejas , entonces la salida será igual a alguna señal con una amplitud compleja . La relación será la función de transferencia del sistema en frecuencia . $A\exp({st})$ $A$ $s$ $B\exp({st})$ $B$ $LICENCIADO EN LETRAS$ $s$

Dado que las sinusoides son la suma de exponentes complejos con frecuencias conjugadas complejas, si la entrada del sistema es una sinusoide, entonces la salida del sistema también será una sinusoide, en el caso general con diferente amplitud y fase, pero con el mismo frecuencia _

La teoría LSS es adecuada para describir muchos sistemas. La mayoría de los LSS son mucho más fáciles de analizar que los sistemas no estacionarios y no lineales. Cualquier sistema cuya dinámica esté descrita por una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es un sistema estacionario lineal. Ejemplos de tales sistemas son los circuitos eléctricos ensamblados a partir de resistencias , capacitores e inductores (circuitos RLC). Un peso sobre un resorte también puede considerarse LSS.

La mayoría de los conceptos generales de LSS son similares tanto en el caso de sistemas continuos como en el caso de sistemas discretos.

Estacionariedad y transformaciones lineales

Considere un sistema no estacionario cuya respuesta al impulso es una función de dos variables. Veamos cómo la propiedad de estacionariedad nos ayuda a deshacernos de una dimensión. Por ejemplo, sea la señal de entrada , donde el argumento son los números del eje real, es decir, . El operador de línea muestra cómo el sistema maneja esta entrada. El operador correspondiente para algún conjunto de argumentos es una función de dos variables: $x(t)$ $t\en \mathbb {R}$ ${\ matemáticas {H}}$

h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.

Para un sistema discreto:

h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.

Como es un operador lineal, el efecto del sistema sobre la señal de entrada se representa mediante una transformación lineal descrita por la siguiente integral (integral de superposición) ${\ matemáticas {H}}$ $x(t)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.

Si el operador lineal también es estacionario, entonces ${\ matemáticas {H}}$

h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.

Poniendo

{\ estilo de visualización \ tau = -t_ {2},}

obtenemos:

h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).

Por brevedad, el segundo argumento generalmente se omite y la integral de superposición se convierte en la integral de convolución: $h(t_1, t_2)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).

Por lo tanto, la integral de convolución muestra cómo un sistema estacionario lineal procesa cualquier señal de entrada. La relación resultante para sistemas discretos:

y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].

Función transitoria de impulsos

Si se aplica una señal de entrada en forma de función delta de Dirac a la entrada del sistema , la señal de salida resultante del LSS será la función transitoria de impulso del sistema. Grabación:

(h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),

Para un sistema discreto:

x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[nm].

(debido a la propiedad de desplazamiento de la función delta).

Darse cuenta de:

h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{con } t = t_1 - t_2)

es decir , la función de transición de impulso del sistema $h(t)$

La función transitoria de impulso se utiliza para encontrar la señal de salida del sistema como respuesta a cualquier señal de entrada. Además, cualquier entrada se puede representar como una superposición de funciones delta:

x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

Aplicando a la entrada del sistema, obtenemos:

\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

(porque es lineal)

{\ matemáticas {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau

(porque es constante en t y lineal)

x(\tau)

{\ matemáticas {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau

(por definición de )

h(t)

La función de transición de impulso contiene toda la información sobre la dinámica LSS. $h(t)$

Funciones propias

Una función propia es una función para la cual la salida del operador es la misma función, en el caso general hasta un factor constante. Grabación:

\mathcal{H}f = \lambda f

donde f es una función propia, y es un valor propio , una constante. $\lambda$

Los exponentes , donde son las funciones propias del operador lineal estacionario. Prueba sencilla: $e^{st}$ $s \in \mathbb{C}$

Sea la señal de entrada del sistema . Entonces la salida del sistema es: $x(t) = e^{st}$ $h(t)$

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau

que es equivalente a la siguiente expresión debido a la conmutatividad de la convolución:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau

\quad = e^{st} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau

\quad = e^{st} H(s)

dónde

H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

depende solo de s .

Por lo tanto, es la función propia de la LSS. $e^{st}$

Transformadas de Laplace y Fourier

Transformada de Laplace

H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

es una forma exacta de obtener los valores propios de la función de respuesta al impulso. De particular interés son las sinusoides puras, es decir, exponentes de la forma donde y es la unidad imaginaria . Suelen llamarse exponentes complejos aunque el argumento no tenga una parte real. La transformada de Fourier da valores propios para sinusoides puramente complejos. se llama la función de transferencia del sistema , a veces en la literatura este término también se aplica a . $\exp({j \omega t})$ $\omega \en \mathbb{R}$ $j$ $H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}$ $H(s)$ $H(j\omega)$

La transformada de Laplace se usa generalmente para señales unilaterales, es decir, con condiciones iniciales cero. El momento inicial del tiempo se toma como cero sin pérdida de generalidad, y la transformación se toma de cero a infinito (la transformación que se obtiene integrando también a menos infinito se llama transformada bilateral de Laplace ).

La transformada de Fourier se utiliza para analizar sistemas a través de los cuales pasan señales periódicas y, en muchos otros casos, por ejemplo, para analizar la estabilidad de un sistema .

Debido a las propiedades de convolución , las siguientes relaciones se cumplen para ambas transformaciones:

y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau

\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Para sistemas discretos:

y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[nm] x[m]

\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Algunas propiedades

Algunas de las propiedades importantes de cualquier sistema son la causalidad y la estabilidad. Para que el sistema exista en el mundo real, se debe cumplir el principio de causalidad. Se pueden construir sistemas insostenibles y, a veces, incluso ser útiles.

Causalidad

Un sistema se llama causal si su salida depende solo de la acción aplicada actual o previa. Condición necesaria y suficiente de causalidad:

h(t) = 0 \quad \forall t < 0,

Para sistemas discretos:

h[n] = 0 \ \para todos los n < 0,

donde es la función de transición del impulso. De forma explícita, es imposible determinar o no el sistema causal a partir de su transformada de Laplace en el caso general, ya que la transformada inversa de Laplace no es única. La causalidad se puede determinar cuando se da la región de convergencia . $h(t)$

Sostenibilidad

El sistema es estable en entrada acotada, salida acotada ( inglés acotado de entrada, salida acotada estable, BIBO estable ) si para cada entrada acotada la señal de salida es finita. Grabación: Si

||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

(es decir, los máximos de los valores absolutos y son finitos), entonces el sistema es estable. Condición necesaria y suficiente para la estabilidad: la respuesta al impulso del sistema, , debe satisfacer la expresión $x(t)$ $y(t)$ $h(t)$

||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.

Para sistemas discretos:

||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.

En el dominio de la frecuencia, la región de convergencia debe contener el eje imaginario . $s=j\omega$

Véase también

Enlaces

P. P. Vaidyanathan y T. Chen. Papel de los inversos anticausales en bancos de filtros multitasa -- Parte I: fundamentos teóricos del sistema // IEEE Trans. SignalProc. : diario. - 1995. - Mayo.
P. P. Vaidyanathan y T. Chen. Rol de las inversas anticausales en bancos de filtros multitasa -- Parte II: el caso FIR, factorizaciones y transformaciones biortogonales superpuestas // IEEE Trans. SignalProc. : diario. - 1995. - Mayo.
Y EN. Dientes. Teoría de ecuaciones de movimiento controlado (indefinido) . - L. : LGU, 1980.