Teoría de la bifurcación

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La teoría de las bifurcaciones de los sistemas dinámicos  es una teoría que estudia los cambios en la imagen cualitativa de la partición de un espacio de fase en función de un cambio en un parámetro (o varios parámetros).

Resumen

Una bifurcación es un cambio cualitativo en el comportamiento de un sistema dinámico con un cambio infinitesimal en sus parámetros.

El concepto central de la teoría de la bifurcación es el concepto de un sistema (no) rugoso (ver más abajo). Se toma cualquier sistema dinámico y se considera que una familia (multi)paramétrica de sistemas dinámicos se obtiene como un caso especial, para cualquier valor de los parámetros. Si, con un valor de parámetros lo suficientemente cercano al dado, se conserva una imagen cualitativa de la partición del espacio de fase en trayectorias, entonces dicho sistema se llama aproximado . De lo contrario, si tal vecindad no existe, entonces el sistema se llama no aproximado .

Aquí nos referimos, en primer lugar, a la fructífera idea física y matemática de A.A. Andronov sobre sistemas aproximados, desarrollados por él con la participación de L.S. Pontryagin . Un sistema aproximado es aquel cuyo carácter cualitativo de movimiento no cambia con un cambio suficientemente pequeño en los parámetros. Los sistemas conservadores no son toscos: las oscilaciones de un péndulo ideal sin fricción son periódicas (no decaen); pero no hay periodicidad en presencia de fricción arbitrariamente pequeña. Cualquier generador de oscilaciones no amortiguadas tiene propiedades características que no se conservan bajo la idealización conservadora, pero que están correctamente representadas por el concepto de "sistema aproximado".Gorelik, 1955 [1]

Así, en el espacio de parámetros aparecen regiones de sistemas rugosos, que están separadas por superficies que consisten en sistemas no rugosos. La teoría de las bifurcaciones estudia la dependencia de una imagen cualitativa cuando un parámetro cambia continuamente a lo largo de una determinada curva. El esquema según el cual cambia la imagen cualitativa se llama diagrama de bifurcación .

Los principales métodos de la teoría de la bifurcación son los métodos de la teoría de la perturbación. En particular, se aplica el método de parámetros pequeños (Pontryagin).

Bifurcación de equilibrios

En los sistemas mecánicos, por regla general, los movimientos en estado estacionario (posiciones de equilibrio o equilibrio relativo ) dependen de los parámetros . Los valores de los parámetros en los que se observa un cambio en el número de equilibrios se denominan valores de bifurcación . Las curvas o superficies que representan conjuntos de equilibrios en el espacio de estados y parámetros se denominan curvas de bifurcación o superficies de bifurcación . El paso de un parámetro por un valor de bifurcación, por regla general, va acompañado de un cambio en las propiedades de estabilidad de los equilibrios. Las bifurcaciones de los equilibrios pueden ir acompañadas del nacimiento de movimientos periódicos y otros más complejos.

Conceptos básicos

El parámetro cuyo cambio conduce a una bifurcación se denomina parámetro crítico (parámetro de bifurcación) , y el valor de este parámetro en el que se produce la bifurcación se denomina valor crítico .

Un punto en el espacio paramétrico (un espacio en el que cada punto corresponde a un determinado estado del sistema, y ​​la posición de este punto está determinada por los valores de los parámetros y las variables de estado) en el que se produce una bifurcación se denomina punto de bifurcación . . Varias soluciones (estables e inestables) pueden provenir de un punto de bifurcación. Cuando el parámetro crítico oscila (oscila) alrededor del punto crítico, ocurre una histéresis (ambigüedad) de las propiedades de la solución.

El punto de bifurcación a partir del cual todas las soluciones salientes son estables se denomina punto de atracción (o atractor ).

La representación de cualquier propiedad característica de una solución en función de un parámetro crítico se denomina diagrama de bifurcación .

El menor número de parámetros bajo los cuales se produce una bifurcación se denomina codimensión de la bifurcación .

Supercrítico (normal, supercrítico) es una bifurcación en la que el sistema cambia sin salto.

Una bifurcación subcrítica (inversa) es aquella en la que el cambio en el sistema ocurre abruptamente.

Una secuencia de bifurcaciones que cambian cualitativamente las propiedades de un sistema se llama escenario .

Ver Referencias [2] [3] [4] [5] .

Bifurcación del nódulo en silla de montar

Se puede considerar un ejemplo de bifurcación silla-nodo basado en el sistema descrito por la ecuación diferencial:

donde es un parámetro variable [6] . Las soluciones de equilibrio de la ecuación se definen solo para ; en los estados de equilibrio están ausentes. El valor es bifurcacional. La figura muestra el diagrama de bifurcación correspondiente. Como puede verse en la figura, del punto de bifurcación emergen dos ramas de estados de equilibrio, una de las cuales es estable y la otra es inestable. Al variar el parámetro en la dirección de valores crecientes “de la nada”, nacen dos estados de equilibrio, uno de los cuales es estable. Las bifurcaciones de este tipo se denominan "nodo de silla de montar".

Véase también

Literatura

  1. ↑ Gorelik G S , Aizerman M A. Introducción ("Vida y obra de AA Andronov" y) // En memoria de Alexander Alexandrovich Andronov / Ed. Leontovich, MA y otros... - M. : Ed. Academia de Ciencias de la URSS, 1955. - S. 3-19. — 718 pág.
  2. ↑ Chetaev N. G. Estabilidad de movimiento. — M .: Nauka, 1955.
  3. ↑ Andronov A. A. , Leontovich E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Teoría de las bifurcaciones de sistemas dinámicos en un plano. - M. : Nauka, 1967.
  4. ↑ Bautin N. N. , Leontovich E. A. Métodos y técnicas para un estudio cualitativo de sistemas dinámicos en un plano. - M. : Ciencia. cap. edición Phys.-Math. lit., 1990. - 488 p. — (Biblioteca matemática de referencia).
  5. ↑ Berger P. , Pomo I. , Vidal K. Orden en el caos. Sobre el enfoque determinista de la turbulencia: Per. del francés - M. : Mir, 1991. - 368 p. — ISBN 5-03-001804-2 .
  6. ↑ Bifurcaciones de sistemas dinámicos - Digiratory . digiratorio.ru. Fecha de acceso: 11 de enero de 2017.

Enlaces