Teoría del operador

La teoría de operadores es una rama del análisis funcional que estudia las propiedades de las asignaciones lineales continuas entre espacios normados . En términos generales, un operador es un análogo de la función o matriz más común en un espacio de dimensión finita. Pero el operador también puede actuar en espacios de dimensión infinita.

Un mapeo de un espacio vectorial a un espacio vectorial se llama operador lineal si para cualquiera e in y cualquier escalar y . A menudo escrito en lugar de . Se dice que un operador lineal de un espacio normado a un espacio normado está acotado si existe un número real positivo tal que para todo en . La constante más pequeña que satisface esta condición se llama la norma del operador y se denota por . Es fácil ver que un operador lineal entre espacios normados está acotado si y sólo si es continuo . El término "operador" en el análisis funcional generalmente significa un operador lineal acotado . $T$ $X$ $Y$ $T(\alfa x+\beta y)=\alfa T(x)+\beta T(y)$ $X$ $y$ $X$ $\alfa$ $\beta$ $Tx$ $T(x)$ $X$ $Y$ $METRO$ $\lVert Tx\rVert \leqslant M\lVert x\rVert$ $X$ $X$ $METRO$ $T$ $\lVert T\rVert$

El conjunto de todos los operadores (lineales acotados) de un espacio normado a un espacio normado se denota por . En el caso de que escriban en lugar de . Si es un espacio de Hilbert , generalmente se escribe en lugar de . En , se puede introducir la estructura de un espacio vectorial a través de y , donde , , y es un escalar arbitrario. Con la norma del operador introducida, se convierte en un espacio normado . $X$ $Y$ $L(X,\;Y)$ $X=Y$ $L(X)$ $L(X,\;X)$ $H$ $segundo(alto)$ $largo(alto)$ $L(X,\;Y)$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $(\alfa T)x=T(\alfa x)=\alfa (Tx)$ $T,\;S\en L(X,\;Y)$ $x,\;y\en X$ $\alfa$ $L(X,\;Y)$

En particular, y para cualquier escalar arbitrario . Un espacio es Banach si y solo si es Banach . $\lVert S+T\rVert \leqslant \lVert S\rVert +\lVert T\rVert$ $\lVert \alpha T\rVert =\left|\alpha \right|\cdot \lVert T\rVert$ $T,\;S\en L(X,\;Y)$ $\alfa$ $L(X,\;Y)$ $Y$

Sean y sean espacios normados, y . La composición y se denota y se llama el producto de los operadores y . Al mismo tiempo y . Si es un espacio de Banach , entonces equipado con un producto es un álgebra de Banach . $X,\;Y$ $Z$ $S\en L(X,\;Y)$ $T\en L(Y,\;Z)$ $S$ $T$ $TS$ $S$ $T$ $TS\en L(X,\;Z)$ $\lVert TS\rVert \leqslant \lVert T\rVert \cdot \lVert S\rVert$ $X$ $L(X)$

Hay varias secciones principales en la teoría del operador:

La teoría espectral estudia el espectro de un operador .
Clases de operadores. En particular, los operadores compactos, los operadores de Fredholm , los isomorfismos , las isometrías , los operadores estrictamente singulares , etc. También se estudian los operadores ilimitados y los operadores parcialmente definidos, en particular los operadores cerrados .
Operadores en espacios normados especiales.
- En los espacios de Hilbert se estudian operadores autoadjuntos , normales , unitarios , positivos , etc.
- En espacios de funciones: operadores diferenciales , pseudodiferenciales , integrales y pseudointegrales ; operadores de multiplicación , sustitución , sustitución con peso , etc .
- Sobre redes de Banach : operadores positivos , operadores regulares , etc.
Conjuntos de operadores (es decir, subconjuntos ): álgebras de operadores, semigrupos de operadores , etc. $L(X)$
La teoría de los subespacios invariantes .

Literatura

Sadovnichiy V. A. Teoría de operadores. - M .: Editorial de Moscú. un-ta, 1979.
Dunford N., Schwartz J. Operadores lineales. Teoría general. — M.: IL, 1962. — 896 p.
Dunford N., Schwartz J. Operadores lineales. Teoría espectral. — M.: Mir. 1966. - 1064 págs.