Operador positivo (espacio de Hilbert)

Un operador positivo en un espacio de Hilbert es un operador lineal tal que para cualquiera de los espacios de Hilbert. Para un operador positivo use la notación [1] . A veces, el operador nulo no se clasifica como un operador positivo y se escribe si el operador es positivo y si es positivo o cero. [2] $A$ $(Hacha, x) \ge 0$ $X$ $A\ge0$ $A>0$ $A$ $A\ge0$ $A$

Un operador positivo acotado es autoadjunto , y su espectro se encuentra en el semieje positivo , y esta es una condición necesaria y suficiente [1] . Un operador positivo ilimitado es simétrico y admite una extensión autoadjunta, que también es un operador positivo [3] [4] . $[0, \infty)$

Propiedades

Las siguientes propiedades se cumplen para los operadores lineales acotados .

Si operador y número real , entonces . $A\ge0$ $\alpha \ge 0$ $\alpha A\ge 0$
Si el operador inverso también existe, entonces . $A\ge0$ $A^{{-1}}$ $A^{-1} \ge 0$
$A^* A \ge 0, \, AA^* \ge 0$ para cualquier operador lineal . En particular, para cualquier operador autoadjunto . Por lo tanto, cualquier operador de proyección [2] puede servir como ejemplo de operador positivo . $A$ $A^2 \ge 0$ $A$
El producto de dos operadores positivos permutables también es un operador positivo [5] .
Para un operador positivo y cualquier elemento del espacio de Hilbert , la desigualdad de Schwartz generalizada se cumple : $A$ $x, y$

|(A x, y)|^2 \le (A x, x) (A y, y)

[6] .

Raíz cuadrada

Todo operador positivo acotado tiene una raíz cuadrada positiva única , es decir, un operador tal que . Si el operador es invertible , entonces también es invertible. La raíz cuadrada conmuta con cualquier operador conmutable con [7] [8] . $A$ $B$ $B ^ 2 = A$ $A$ $B$ $B$ $A$

Expansión polar

Cualquier operador lineal acotado en un espacio de Hilbert tiene una descomposición , donde es un operador positivo y es una isometría parcial. Si es un operador normal , entonces el operador en la descomposición polar es unitario . $T$ $T=ARRIBA$ $PAGS$ $tu$ $T$ $tu$

Relación de orden

Sobre el conjunto de operadores simétricos se introduce una relación de orden parcial : o si el operador es positivo, es decir, para cualquiera de los espacios de Hilbert . Esta relación de orden tiene las siguientes propiedades. $A \ ge B$ $B \ le A$ $AB$ $(A x, x) \ge (B x, x)$ $X$

Si y , entonces . $A \ ge B$ $C \ge D$ $A + C \ge B + D$
Si y , entonces . $A \ ge B$ $B \ ge C$ $A \ge C$
Si y , entonces . $A \ ge B$ $c>0$ $c A \ge c B$
Cualquier secuencia acotada monótona de operadores simétricos converge a algún operador simétrico [2] [6] .

Operador semi-acotado

Un operador simétrico se llama semiacotado inferior si existe un número real tal que $S$ $C$

(S x, x) \ge c(x, x)

para cualquiera del ámbito del operador ; el mayor de todos los valores para los que se cumple esta desigualdad se llama el mínimo del operador . El operador semiacotado superior y su límite superior [9] se definen de manera similar . $X$ $S$ $C$ $S$

El operador positivo es un caso especial de un operador semiacotado por debajo. Por otro lado, cualquier operador semi-restringido puede expresarse en términos de un operador positivo usando una de las siguientes fórmulas: $PAGS$

S = P + cI, \quad S = -P + cI,

donde está el operador de identidad [10] . $yo$

Expansión de Friedrich. Cualquier operador simétrico semiacotado (en particular, un operador positivo) se puede extender a algún operador autoadjunto semiacotado , y el operador tendrá el mismo límite (superior o inferior) que [11] . $S$ $A$ $A$ $S$

El caso de un espacio de dimensión finita

Un operador simétrico (un operador con una matriz simétrica ) en un espacio euclidiano se llama no negativo si para cualquier . En este caso, la forma cuadrática se llama no negativa , y la matriz de operadores se llama definida no negativa . $S$ $R$ $(S x, x) \ge 0$ $x\en R$ $(S x, x)$ $S$

Un operador simétrico se llama definido positivo si para cualquier vector de . En este caso, la forma cuadrática y la matriz de operadores se denominan definida positiva . $S$ $x \ ne 0$ $R$ $(S x, x) > 0$ $(S x, x)$ $S$

Es posible determinar si una matriz es definida positiva o no negativa utilizando el criterio de Sylvester [12] .

Ejemplo

Un ejemplo de un operador semi-acotado a continuación es el operador Sturm-Liouville

A u(x) = -(p(x)u'(x))' + q(x) u(x),

dónde

p(x) \ge 0, \quad q(x) \ge q_0, \quad (0 \le x \le 1),

si se considera en el espacio $L_2(0, 1)$ , referido al dominio de definición de la función , diferenciable dos veces continuamente y que cumple las condiciones $tu(x)$

u(0) = 0, \quad u'(1) + hu(1) = 0,

donde es alguna constante ; también se supone que las funciones son continuas . De hecho, se puede verificar por cálculo directo que $h\ge0$ $p(x), p'(x), q(x)$

(A u, u) = hp(1) |u(1)|^2 + \int\limits_0^1 p(x) |u'(x)|^2 dx + \int\limits_0^1 q(x ) |u(x)|^2 dx \ge \int\limits_0^1 q_0 |u(x)|^2 dx = q_0 (u, u).

Si , entonces el operador es positivo [11] . $q_0 \ge0$

Véase también

Notas

↑ 1 2 Rudin U. Análisis funcional, 1975 , p.12.32.
↑ 1 2 3 Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 317.
↑ Shulman V.S., Lomonosov V.I. Operador positivo // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - 1216 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.
↑ Estrictamente hablando, en el caso de un operador ilimitado, la desigualdad en la definición se toma para todos del dominio del operador simétrico , que es denso en todo el espacio de Hilbert. $(A x, x) \ge 0$ $X$ $A$
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 318.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional, 1979 , página 104.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 320.
↑ Rudin W. Análisis funcional, 1975 , p.12.33.
↑ Akhiezer N. I., Glazman I. M. Teoría de los operadores lineales en el espacio de Hilbert, 1966 .
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional, 1979 , página 122.
↑ 1 2 Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional, 1979 , página 124.
↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. - Ed. 2º, adicional.. - M .: Nauka, cap. edición Phys.-Math. iluminado, 1966.

Literatura

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional. - Ed. 2º, revisado.. - M. : Nauka, 1965. - 520 p.
Rudin W. Análisis funcional. - M. : Mir, 1975. - 444 p.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional. — M .: Mir, 1979. — 592 p.
Akhiezer N. I. , Glazman I. M. Teoría de los operadores lineales en un espacio de Hilbert. - Ed. 2º, revisado. y adicional .. - Ciencia, cap. edición física y matemáticas lit., 1966. - 543 p.