Topología de Grothendieck

La topología de Grothendieck es una estructura sobre una categoría que hace que sus objetos parezcan conjuntos abiertos de un espacio topológico . Una categoría junto con la topología de Grothendieck se denomina situs [1] o sitio [2] .

Las topologías de Grothendieck axiomatizan la definición de una cubierta abierta , lo que hace posible definir las poleas en categorías y su cohomología , que fue realizada por primera vez por Alexander Grothendieck para la cohomología étale de esquemas .

Existe una forma natural de asociar un espacio topológico con la topología de Grothendieck, en este sentido puede considerarse como una generalización de las topologías usuales . Al mismo tiempo, para una gran clase de espacios topológicos es posible restaurar la topología a partir de su topología de Grothendieck, pero esto no es así para un espacio antidiscreto .

Definición

Motivación

La definición clásica de una gavilla comienza con algún espacio topológico . Está asociado a la categoría , cuyos objetos son conjuntos abiertos de la topología, y el conjunto de morfismos entre dos objetos consta de un elemento si el primer conjunto está incrustado en el segundo (estas asignaciones se denominan incrustaciones abiertas), y vacío en caso contrario. Después de eso, un prehaz se define como un funtor contravariante en la categoría de conjuntos , y un haz se define como un prehaz que satisface el axioma de pegado . El axioma del pegado se formula en términos de cobertura puntual, es decir, cubre si y solo si . Las topologías de Grothendieck reemplazan cada una con toda una familia de conjuntos abiertos; más precisamente, es reemplazada por la familia de apego abierto . Tal familia se llama tamiz . $X$ $BUEY)$ $\{U_{i}\}$ $tu$ $\bigcup {_{i}}U_{i}=U$ $tu_{i}$ $tu_{i}$ $V_{ij}\to U_{i}$

Tamiz

Si es un objeto arbitrario de la categoría , entonces la red es un subfuntor del funtor . En el caso de la categoría , un tamiz sobre un conjunto abierto es alguna familia de subconjuntos abiertos , cerrados bajo la operación de tomar un subconjunto abierto. Un conjunto abierto arbitrario , entonces es un subconjunto de , respectivamente, está vacío si - no es un subconjunto de , y de lo contrario puede consistir en un elemento; si no está vacío, podemos suponer que fue elegido por un tamiz. Si es un subconjunto de , entonces hay un morfismo , por lo que si no está vacío, tampoco lo está . $C$ ${\ matemática C}$ $C$ $\mathrm {Hom} (-,c)$ $BUEY)$ $S$ $tu$ $tu$ $V$ ${\ estilo de visualización S (V)}$ $\mathrm {Hom} (V,U)$ $V$ $tu$ $V$ $W$ $V$ ${\ estilo de visualización S (V) \ a S (W)}$ ${\ estilo de visualización S (V)}$ ${\ estilo de visualización S (O)}$

Axiomas

La topología de Grothendieck sobre la categoría es la elección para cada objeto de la categoría de un conjunto de grillas sobre , denotado por . Los elementos se denominan rejillas de cobertura en . En particular, un tamiz en un conjunto abierto cubre si y solo si la unión de todos , tal que no está vacío, es todo . Esta elección debe satisfacer los siguientes axiomas: $j$ ${\ matemática C}$ $C$ ${\ matemática C}$ $C$ ${\ estilo de visualización J (c)}$ ${\ estilo de visualización J (c)}$ $C$ $S$ $tu$ $V$ ${\ estilo de visualización S (V)}$ $tu$

cambio de base: si es un tamiz cubriente sobre y es un morfismo, entonces la imagen inversa del tamiz bajo la acción de ( ) es un tamiz cubriente sobre . $S$ $X$ ${\ estilo de visualización f: Y \ a X}$ $F$ $f\ast S$ $Y$
carácter local: si es un tamiz cubriente sobre , es un tamiz arbitrario sobre , y para cada objeto y cada morfismo perteneciente a , la imagen inversa del tamiz es un tamiz cubriente sobre , entonces es un tamiz cubriente sobre . $S$ $X$ $T$ $X$ $Y\in \mathrm {Ob} {\mathcal {C))$ ${\ estilo de visualización f: Y \ a X}$ $S(Y)$ $f\ast T$ $Y$ $T$ $X$
unidad: — tamiz de cobertura para cualquier objeto de la categoría . $\mathrm {Hom} (-,X)$ $X$ $X$ ${\ matemática C}$

Reemplazar la base corresponde a la idea de que si cubre , entonces cubre . El carácter local corresponde al hecho de que si cubre y cubre para cada uno , entonces todos cubren . Finalmente, uno corresponde al hecho de que cada conjunto puede ser cubierto por la unión de todos sus subconjuntos. $\{U_{i}\}$ $tu$ $\{U_{i}\cap V\}$ $U\cap V$ $\{U_{i}\}$ $tu$ ${\ estilo de visualización \ {V_ {ij} \))$ $tu_{i}$ $i$ ${\ estilo de visualización \ {V_ {ij} \))$ $tu$

Situs y paquetes

En una categoría , se puede definir una gavilla usando el axioma de pegado. Resulta que una gavilla se puede definir en cualquier categoría con la topología de Grothendieck: una gavilla en un situs es una gavilla tal que para cualquier objeto y tamiz de cobertura en el mapa natural inducido por la incrustación en Hom(−, X ) es una biyección Un morfismo entre gavillas, al igual que un morfismo entre pregavillas, es una transformación natural de los funtores. La categoría de todas las gavillas en un situs se llama topos de Grothendieck . Las poleas, los grupos abelianos, los anillos, los módulos y otras estructuras se definen de manera similar. $BUEY)$ $({\mathcal {C)),J)$ $F$ $X$ $S$ $X$ $\mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,X),F)\to \mathrm {Hom} (S,F)$ $S$

Usando el lema de Yoneda , se puede probar que una gavilla en la categoría así definida coincide con una gavilla en el sentido topológico. $BUEY)$

Ejemplos de situs

Topología discreta y antidiscreta

La topología discreta en una categoría arbitraria se obtiene declarando abiertos todos los tamices. Para especificar una topología antidiscreta, solo los tamices de la forma deben considerarse abiertos . En la topología antidiscreta, cualquier pregavilla es una gavilla. ${\ matemática C}$ $\mathrm {Hom} (-,X)$

Topología canónica

La topología canónica sobre una categoría arbitraria es la topología más sutil , tal que todas las pregavillas representables (funtores de la formason gavillas). Una topología que es menos delgada (es decir, una topología tal que cualquier pregavilla representable es una gavilla) se llama subcanónica , la mayoría de las topologías encontradas en la práctica son subcanónicas. ${\ matemática C}$ $\mathrm {Hom} (-,X))$

Pequeños y grandes situs asociados al espacio topológico

Para comparar el espacio topológico de un pequeño situs, en la categoría revestimientos se declaran tamices tales que la unión de todos los que no están vacíos coincide con todos . $BUEY)$ $S$ $V$ ${\ estilo de visualización S (V)}$ $tu$

Un tamiz en la categoría de espacios topológicos se denomina tamiz de cobertura si se cumplen las siguientes condiciones: $S$ $\mathbf {Arriba}$

para todos los morfismos pertenecientes a , existe un objeto y una flecha tal que es un empotramiento abierto, pertenece y atraviesa ; $Y$ ${\ estilo de visualización f: Y \ a X}$ $S(Y)$ $V$ ${\ estilo de visualización g: V \ a X}$ $gramo$ $gramo$ ${\ estilo de visualización S (V)}$ $F$ $gramo$
si es la unión , por donde pasa , entonces . $W$ ${\ estilo de visualización f (Y)}$ ${\ estilo de visualización f: Y \ a X}$ $S(Y)$ ${\ estilo de visualización W = X}$

Para la categoría de coma de espacios topológicos sobre un espacio topológico fijo , la topología es inducida por la categoría . La categoría resultante se llama el gran situs asociado con el espacio topológico . $X$ $\mathbf {Arriba}$ $X$

Topologías sobre la categoría de circuitos

Funtores entre situaciones

Notas

↑ R. Goldblatt. Topoi. Análisis categórico de la lógica. - M. : Mir, 1983. - 487 p.
↑ P. Johnston. Teoría de los topoi. — M .: Nauka, 1986. — 440 p.

Literatura

Artín, Miguel. Topologías de Grothendieck - Universidad de Harvard, Dpto. de Matemáticas, 1962.
Demazure Michel, Alexandre Grothendieck. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 (Apuntes de clase en matemáticas 151). — Berlín; Nueva York: Springer-Verlag, 1970. P. xv+564.
Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Apuntes de clase en matemáticas 269). — Berlín; Nueva York: Springer-Verlag, 1972. P. xix+525.