Secuencia exacta

Una secuencia exacta es una secuencia de objetos algebraicos con una secuencia de homomorfismos tales que para cualquiera la imagen coincide con el núcleo (si existen ambos homomorfismos con tales índices). En la mayoría de las aplicaciones , los grupos conmutativos , a veces espacios vectoriales o álgebras sobre anillos , desempeñan un papel . $Soldado americano}$ $\varphi _{i}\dos puntos G_{i}\rightarrow G_{i+1}$ $i$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {i-1}}$ $\varphi _{i}$ $Soldado americano}}$

Definiciones relacionadas

Secuencias de tipos exactos $0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

se denominan sucesiones exactas cortas , en este caso , un monomorfismo y un epimorfismo .

\varphi

\psi

Además, si y tiene un morfismo inverso a la derecha o y tiene un morfismo inverso a la izquierda, entonces se puede identificar con de tal manera que se identifica con la incrustación canónica en , y con la proyección canónica en . En este caso, se dice que la sucesión exacta corta se

divide .

\varphi

\psi

B

A\oplus C

\varphi

A

A\oplus C

\psi

A\oplus C

C

Una sucesión exacta larga es una sucesión exacta con un número infinito de objetos y homomorfismos.
Si entonces la secuencia se llama semiexacta . $\mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},$

Ejemplos

En la teoría de los grupos de homotopía , la secuencia exacta del par es de gran importancia , en particular, la secuencia exacta del haz . Si es un paquete localmente trivial con fibra , entonces la siguiente secuencia de grupos de homotopía es exacta [1] : $F\a M\a B$ $B$ $F$

{\ Displaystyle \ ldots \ a \ pi _ {n} (F) \ a \ pi _ {n} (M) \ a \ pi _ {n} (B) \ a \ pi _ {n-1} (F )\a \ldots \a \pi _{0}(F)\a \pi _{0}(M)\a \pi _{0}(B)}

La secuencia exacta de Maier-Vietoris es de gran importancia para calcular los grupos de homología de espacios complejos:

{\begin{alineado}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\parcial _{*))}\,H_{n}(A\cap B)\ ,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{* ))}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\parcial _ {*))}\\&\quad {\xrightarrow {\parcial_{*))}\,H_{n-1}( A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0} (X)\flecha derecha\,0.\end{alineado}}

Un complejo de cadena es una secuencia semiexacta de grupos abelianos.
Sea un conjunto de variedades localmente trivial . Entonces se conecta [2] con una secuencia exacta corta de paquetes ${\ estilo de visualización E \ a X}$

0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0

y su doble

0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0

Aquí , es el paquete tangente a la variedad , y son los paquetes vertical y horizontal de k, respectivamente. denota el paquete dual ( cotangente , etc.).

TE

mi

{\ estilo de visualización VX}

{\ estilo de visualización HX}

X

{\ estilo de visualización ^ {*}}

Secuencia exacta exponencial

0\a 2\pi i\,\mathbb {Z} \a {\mathcal {O}}_{M}\a {\mathcal {O}}_{M}^{*}\a 0 ,

donde u es un haz de funciones holomorfas en una variedad compleja y su subhaz consiste en funciones que no desaparecen en ninguna parte

{\mathcal {O}}_{M}

{\mathcal {O}}_{M}^{*}

METRO

Literatura

↑ Spanier E. Topología algebraica. — M .: Mir, 1971.
↑ G. A. Sardanashvili Métodos modernos de teoría de campos. Vol. 1: Geometría y campos clásicos, - M. : URSS, 1996. - 224 p.