Ecualizador (matemáticas)

Un ecualizador (también un núcleo de diferencia ) en la teoría de categorías es una generalización del concepto de solución a alguna ecuación ( algebraica , diferencial , etc.), es decir, un conjunto en el que coinciden estas asignaciones .

El concepto dual al ecualizador es el co- ecualizador .

Definición

El ecualizador de morfismos y es el límite (si existe) del diagrama , es decir, un morfismo tal que para cualquier morfismo existe un único morfismo para el cual el siguiente diagrama es conmutativo: $f\dos puntos X\a Y$ $g\dos puntos X\a Y$ ${\ estilo de visualización \ flecha abajo \ flecha abajo}$ $eq\colon E\to X$ $f\circeq=g\circeq$ $m\dos puntos O\to X$ $u\colon O\to E$

De manera equivalente, el ecualizador se puede definir como un cuadrado couniversal para morfismos y . $f\dos puntos X\a Y$ $g\dos puntos X\a Y$

Ejemplos

En la categoría de conjuntos, el ecualizador de dos aplicaciones y es una incrustación natural en el conjunto de los conjuntos en los que y coinciden, es decir, los conjuntos . ${\mathcal {S}}et$ $F$ $gramo$ $X$ $F$ $gramo$ ${\ estilo de visualización \ {x \ en X: f (x) = g (x) \}}$
El ecualizador en la categoría de espacios topológicos se define de manera similar . ${\mathcal {T}}op$
En la categoría de los grupos abelianos, el ecualizador de los homomorfismos coincide con el núcleo de su diferencia. Es por eso que el ecualizador en una categoría arbitraria también se denomina a veces núcleo de diferencia, aunque en una categoría no aditiva , en general, la diferencia de morfismos no está definida. ${\mathcal {A}}b$

Literatura

McLane S. Capítulo 3. Construcciones y límites universales // Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .