Plano proyectivo falso

El falso plano proyectivo (o superficie de Mumford ) es una de las 50 superficies algebraicas complejas que tienen los mismos números de Betti que el plano proyectivo , pero no son homeomorfas a él. Dichos objetos son siempre superficies algebraicas generales .

Historia

Severi preguntó si hay superficies complejas que son homeomorfas al plano proyectivo pero no biholomorfas. Yau [1] demostró que no existen tales superficies, por lo que la aproximación más cercana al plano proyectivo podrían ser superficies con los mismos números de Betti que el plano proyectivo. ${\ estilo de visualización (b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,0,1,0,1)}$

El primer ejemplo fue encontrado por Mumford [2] usando la uniformización p - adic introducida independientemente por Kurihara y Mustafin. Mumford también notó que el resultado de Yau y el teorema de Weil sobre la rigidez de los subgrupos compactos de PU(1,2) implican que solo hay un número finito de falsos planos proyectivos. Ishida y Kato [3] encontraron dos ejemplos más usando métodos similares, y Kim [4] encontró un ejemplo con un automorfismo de orden 7 que es birracional al grado 7 de cobertura cíclica de la superficie de Dolgachev . Prasad y Yen [5] [6] encontraron una forma sistemática de clasificar todos los planos proyectivos falsos mostrando que hay veintiocho clases, cada una de las cuales contiene al menos un ejemplo de un plano proyectivo falso hasta la isometría, y que otras cinco clases pueden existen, pero más tarde se demostró que no existen tales clases. El problema de la enumeración de todos los planos proyectivos falsos se reduce a la enumeración de todos los subgrupos de un índice adecuado de la red explícitamente dada asociada con cada clase. Al extender estos cálculos, Cartwright y Stager [7] demostraron que veintiocho clases agotan todas las posibilidades de planos proyectivos falsos y que hay un total de 50 ejemplos definidos hasta la isometría, o 100 planos proyectivos falsos de biholomorfismos.

Una superficie general con los mismos números de Betti que una superficie mínima no general debe tener números de Betti del plano proyectivo P 2 o del cuadrado P 1 × P 1 . Shavel [8] construyó algunas "cuadras falsas": superficies de tipo general con los mismos números de Betti que las cuádricas. Las superficies de Beauville proporcionan más ejemplos.

Las contrapartes de superficies proyectivas falsas en dimensiones superiores se denominan espacios proyectivos falsos .

Grupo fundamental

Como consecuencia del trabajo de Aubin y Yau para resolver la conjetura de Calabi en el caso de curvatura de Ricci negativa [1] [9] , cualquier falso plano proyectivo es factor de la bola unitaria compleja por un subgrupo discreto , que es el grupo fundamental del falso plano proyectivo. Por lo tanto, este grupo fundamental debe estar libre de torsión y ser un subgrupo discreto cocompacto de PU(2,1) con característica de Euler-Poincaré 3. Klingler [10] y Jahn [11] demostraron que este grupo fundamental también debe ser un grupo aritmético . De los resultados de Mostovoy sobre rigidez estricta se sigue que el grupo fundamental define el plano falso en sentido estricto, es decir, que cualquier superficie compacta con el mismo grupo fundamental debe ser isométrica a él.

Se considera que dos planos proyectivos falsos son de la misma clase si sus grupos fundamentales están contenidos en el mismo subgrupo de automorfismo aritmético máximo de la bola unitaria. Prasad y Yen [5] [6] utilizaron la fórmula de volumen de Prasad [12] para grupos aritméticos para obtener una lista de 28 clases no vacías de falsos planos proyectivos y demostraron que puede haber como máximo otras cinco clases, que muy probablemente no existen (ver anexo del artículo, en el que se ha actualizado la clasificación y se han corregido algunos errores del artículo original).

Cartwright y Staeger [7] verificaron que estas clases adicionales no existen realmente y enumeraron todas las posibilidades dentro de veintiocho clases. Hay exactamente 50 planos proyectivos falsos hasta la isometría, y por lo tanto 100 planos proyectivos falsos diferentes hasta el biholomorfismo.

El grupo fundamental del falso plano proyectivo es un subgrupo aritmético del grupo PU(2,1). Denotaremos por k el campo numérico asociado (completamente real) y por G la forma k asociada del grupo PU(2,1). Si l es una extensión cuadrática de un campo k sobre el cual G es una forma interna, entonces l es un campo completamente imaginario. Existe un álgebra de división D con centro l y grado sobre l 3 o 1, con una involución de segundo tipo restringida a un automorfismo no trivial l sobre k , y una forma hermitiana no trivial sobre un módulo sobre D de dimensión 1 o 3 tal que G es un grupo unitario especial esta forma hermítica. (Como consecuencia del trabajo de Prasad y Yen [5] y el trabajo de Cartwright y Staeger, D tiene grado 3 sobre l y el módulo tiene dimensión 1 sobre D ). Hay un lugar real del campo k tal que el los puntos de la forma G forman una copia del grupo PU (2.1), forman un grupo compacto PU(3) sobre todos los demás lugares reales del campo k .

De un resultado de Prasad y Yen [5] se deduce que el grupo de automorfismos del falso plano proyectivo es un grupo cíclico de orden 1, 3 o 7, o un grupo no cíclico de orden 9, o un grupo no abeliano. grupo de orden 21. Los factores de falsos planos proyectivos sobre estos grupos fueron estudiados por Kim [13 ] , Cartwright y Staeger [7] .

Lista de 50 planos proyectivos falsos

k	yo	T	Índice	Planos proyectivos falsos
q	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-1)))$	5	3	3 aviones falsos en 3 clases
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-2)))$	3	3	3 aviones falsos en 3 clases
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-7)))$	2	21	7 aviones falsos en 2 clases. Una de estas clases contiene ejemplos de Mumford y Kim.
		2, 3	3	4 aviones falsos en 2 clases
		2.5	una	2 aviones falsos en 2 clases
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-15)))$	2	3	10 aviones falsos en 4 clases, incluidos ejemplos encontrados por Ishida y Kato.
	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-23)))$	2	una	2 aviones falsos en 2 clases
$\mathrm {Q} ({\sqrt {2}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {-7+4{\sqrt {2))))}$	2	3	2 aviones falsos en 2 clases
$\mathrm {Q} ({\sqrt {5}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {5)),\zeta _{3})$	2	9	7 aviones falsos en 2 clases
$\mathrm {Q} ({\sqrt {6}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {6)),\zeta _{3})$	2 o 2.3	1 o 3 o 9	5 aviones falsos en 3 clases
$\mathrm {Q} ({\sqrt {7}})$	$\mathrm {Q} ({\sqrt {7)),\zeta _{4})$	2 o 3.3	21 o 3.3	5 aviones falsos en 3 clases

k es un campo completamente real.
l es la extensión cuadrática completamente imaginaria del campo k y ζ 3 es la raíz cúbica de 1.
T es el conjunto de números primos del campo k , donde algún subgrupo local no es hiperesférico.
el índice es el índice del grupo fundamental en algún grupo aritmético.

Literatura

Donald I. Cartwright, Tim Steger. Enumeración de los 50 falsos planos proyectivos // Comptes Rendus Mathematique. - Elsevier Masson SAS, 2010. - T. 348 , no. 1 . — P. 11–13 . -doi : 10.1016/ j.crma.2009.11.016 .
Masa-Nori Ishida, Fumiharu Kato. El teorema de la rigidez fuerte para la uniformización no arquimediana // The Tohoku Mathematical Journal. segunda serie. - 1998. - T. 50 , núm. 4 . — S. 537–555 . -doi : 10.2748 / tmj/1178224897 .
jonghae keum. Un plano proyectivo falso con un automorfismo de orden 7 // Topología. una Revista Internacional de Matemáticas . - 2006. - T. 45 , núm. 5 . — S. 919–927 . -doi : 10.1016/ j.top.2006.06.006 .
jonghae keum. Cocientes de falsos planos proyectivos // Geometría y Topología. - 2008. - T. 12 , núm. 4 . — S. 2497–2515 . -doi : 10.2140 / gt.2008.12.2497 . -arXiv : 0802.3435 . _
Bruno Klinger. Sur la rigidité de ciertos grupos fondamentaux, l'arithméticité des réseaux hyperboliques complexes, et les faux planes projectifs // Inventiones Mathematicae . - 2003. - T. 153 , núm. 1 . — S. 105–143 . -doi : 10.1007/ s00222-002-0283-2 .
Kulikov V. S., Kharlamov. V. M., Sobre estructuras reales sobre superficies rígidas , Izv. RAS.. - 2002. - T. 66 , núm. 1 . — S. 133–152 .
David Mumford . Una superficie algebraica con K amplio, (K 2 )=9, p g =q=0 // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1979. - V. 101 , no. 1 . — Pág. 233–244 . -doi : 10.2307/ 2373947. — .
Gopal Prasada. Volúmenes de S-cocientes aritméticos de grupos semisimples // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1989. - Edición. 69 . — págs. 91–117 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Falsos planos proyectivos // Inventiones Mathematicae . - 2007. - T. 168 , núm. 2 . — S. 321–370 . -doi : 10.1007/ s00222-007-0034-5 . -arXiv : matemáticas / 0512115 .
Gopal Prasad, Sai-Kee Yeung. Anexo a "Falsos planos proyectivos" // Inventiones Mathematicae . - 2010. - T. 182 , núm. 1 . — S. 213–227 . -doi : 10.1007/ s00222-010-0259-6 .
Remy R. Covolume des groupes S-arith meiques et faux planes projectifs, (d'après Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung) // —. - 2007. - T. 984 . Archivado desde el original el 9 de junio de 2011.
Ira H. Shavel. Una clase de superficies algebraicas de tipo general construidas a partir de álgebras de cuaterniones // Pacific Journal of Mathematics . - 1978. - T. 76 , núm. 1 . — S. 221–245 . -doi : 10.2140 / pjm.1978.76.221 .
Shing Tung Yau. La conjetura de Calabi y algunos resultados nuevos en geometría algebraica // Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . - Academia Nacional de Ciencias, 1977. - V. 74 , no. 5 . - S. 1798-1799 . -doi : 10.1073/ pnas.74.5.1798 . — .
Shing Tung Yau. Sobre la curvatura de Ricci de una variedad compacta de Kähler y la ecuación compleja de Monge-Ampère. I // Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . - 1978. - T. 31 , núm. 3 . — S. 339–411 . -doi : 10.1002/ cpa.3160310304 .
Sai Kee Yeung. Integridad y aritmética de la red co-compacta correspondiente al complejo de ciertos cocientes de dos bolas de Picard número uno // The Asian Journal of Mathematics. - 2004. - T. 8 , núm. 1 . — págs. 107–129 . -doi : 10.4310 / ajm.2004.v8.n1.a9 .
Sai Kee Yeung. Clasificación de planos proyectivos falsos // Manual de análisis geométrico, no. 2 . - En t. Press, Somerville, MA, 2010, volumen 13, páginas 391–431. - (Adv. Lect. Math. (ALM)).

Enlaces

Gopal Prasada. Falsos espacios proyectivos .