Geometría finsleriana

La geometría de Finsler es una de las generalizaciones de la geometría de Riemann . La geometría de Finsler trata con variedades con una métrica de Finsler; es decir, eligiendo una norma en cada espacio tangente que varíe suavemente de un punto a otro.

Conceptos básicos

Sea una variedad lisa conexa bidimensional y sea un fibrado tangente . $METRO$ $norte$ $TM$ $METRO$

Una métrica de Finsler es una función continua tal que su restricción a cualquier espacio tangente es una norma. En este caso, se suelen suponer las siguientes propiedades adicionales: $METRO$ $F\dos puntos TM\rightarrow [0,\infty ),$ $T_{p}M$

(Suavidad) es -función suave no ; $F$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $(TM\setminus\{0\})$
(Convexidad fuerte) Para cualquier par, la forma bilineal ${\ estilo de visualización (x, y) \ en TM}$

\mathbf {g} _{y}\dos puntos T_{x}M\times T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ,

\mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t\,\parcial s}} \lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rbrack {\Bigl |}_{s=t=0}

definida positivamente.

Notas

si ponemos

g_{ij}(x,y)={\frac {1}{2}}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial y^{i}\parcial y^{j}} }[F^{2}(x,y)]

entonces la forma se puede reescribir como ${\ estilo de visualización \ mathbf {g} _ {y} (u, v)}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)=g_{ij}(x,y)u^{i}v^{j))$

Para cualquier campo vectorial distinto de cero definido en , hay una métrica de Riemann en . $Y$ ${\ estilo de visualización U \ subconjunto M}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {g} _ {Y} (u, v)}$ $tu$

Para una curva suave en una variedad con una métrica de Finsler , la longitud viene dada por una integral . ${\ estilo de visualización c: [a, b] \ flecha derecha M}$ $METRO$ $F$ $L_{F}(c)=\int _{a}^{b}F(c(t),{\dot {c))(t))dt$

El operador de diferenciación covariante de Chern (o Rund) se define como donde , y $\nabla :T_{x}M\veces \Gamma ^{\infty}(TM)\rightarrow T_{x}M$ $\nabla _{y}U:=\{dU^{i}(y)+U^{j}N_{j}^{i}(x,y)\}{\frac {\parcial} {\parcial x^{i))}|_{x},$ ${\ estilo de visualización y \ en T_ {x} M}$ $U\en \Gamma ^{\infty}(TM)$ $N_{j}^{i}(x,y)={\frac {\parcial }{\parcial y^{j))}\left[{\frac {1}{4))g^{ il}(x,y)\left\{2{\frac {\parcial g_{ml}}{\parcial x^{k}}}(x,y)-{\frac {\parcial g_{mk}} {\parcial x^{l))}(x,y)\right\}y^{m}y^{k}\right].$

La conexión sobre una variedad así introducida no es, en general, una conexión afín. Una conexión es afín si y solo si la métrica de Finsler es una métrica de Berwald[ especificar ] . Por definición, esto significa que las ecuaciones geodésicas tienen la misma forma que en la geometría riemanniana, o los coeficientes geodésicos

$G^{i}(x,y)={\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\parcial g_{jl)) {\parcial x^{k))}(x,y)-{\frac {\parcial g_{jk)){\parcial x^{l))}(x,y)\right\}y^{j }y^{k}$ representar en forma $G^{i}(x,y)=\Gamma _{jk}^{i}(x)y^{j}y^{k}.$

Para un vector , considere las funciones . Entonces la familia de transformaciones se llama la curvatura de Riemann. Sea un plano bidimensional tangente. Para un vector , definimos dónde está dicho vector que . no depende de la elección . El número se llama la curvatura de la bandera de la bandera en . $y\in T_{x}M\barra invertida \{0\}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}(y)=2{\frac {\parcial G^{i}}{\parcial x^{k}}}-{\frac {\parcial ^{2}G ^{i}}{\parcial x^{j}\parcial y^{k}}}y^{j}+2G^{j}{\frac {\parcial ^{2}G^{i}}{ \parcial y^{j}\parcial y^{k))}-{\frac {\parcial G^{i)){\parcial y^{j))}{\frac {\parcial G^{j} }{\parcial y^{k))))$ $\mathbf {R} =\left\{\mathbf {R} _{y}=R_{k}^{i}(y){\frac {\parcial }{\parcial x^{i)) }\otimes dx^{k}|_{x}:T_{x}M\rightarrow T_{x}M,y\in T_{x}M\backslash \{0\},x\in M\right\ }$ $P\subconjunto T_{x}M$ $y\in P\barra invertida \{0\}$ $K(P,y)={\frac {\mathbf {g}_{y}(\mathbf {R}_{y}(u),u)}{\mathbf {g}_{y} (y,y)\mathbf {g} _{y}(u,u)-\mathbf {g} _{y}(y,u)^{2}}},$ $tu\en P$ ${\displaystyle P=\mathrm {span} \{y,u\))$ ${\ Displaystyle K (P, y)}$ $tu\en P$ ${\ Displaystyle K (P, y)}$ ${\ estilo de visualización (P, y)}$ $T_{x}M$

Historia

La idea de un espacio de Finsler ya se puede ver en la conferencia de Riemann "Sobre las hipótesis subyacentes a la geometría" (1854). Junto con la métrica dada por la raíz cuadrada positiva de una forma diferencial cuadrática definida positiva (la métrica de Riemann ), Riemann también considera la métrica dada por la cuarta raíz positiva de la forma diferencial de cuarto orden. La métrica de Finsler es la siguiente generalización natural.

El estudio sistemático de variedades con tal métrica comenzó con la disertación de Paul Finsler , publicada en 1918 , por lo que el nombre de tales espacios métricos está asociado con su nombre. El factor que sentó las bases para las actividades de investigación en esta dirección es la introducción de Carathéodory de nuevos métodos geométricos en el cálculo de variaciones para estudiar problemas en forma paramétrica. El núcleo de estos métodos es el concepto de indicatriz , y la propiedad de convexidad de la indicatriz juega un papel importante en estos métodos, ya que asegura el cumplimiento de las condiciones mínimas necesarias en el problema variacional para curvas estacionarias.

Unos años más tarde, en el desarrollo general de la geometría de Finsler, hubo un giro desde el punto de vista original de Finsler hacia nuevos métodos teóricos. Finsler, guiado principalmente por los conceptos del cálculo de variaciones, no utilizó los métodos del análisis tensorial . En 1925, el análisis tensorial fue aplicado a la teoría casi simultáneamente por Sing , Taylor ( inglés JH Taylor ) y Berwald ( alemán L. Berwald ). En 1927, Berwald propuso una generalización que no satisface la definición positiva de la métrica, más tarde conocida como el espacio de Berwald-Moor .

El siguiente giro en el desarrollo de la teoría tuvo lugar en 1934, cuando Cartan publicó un tratado sobre los espacios de Finsler. El enfoque cartaniano ha dominado prácticamente todas las investigaciones posteriores sobre la geometría de los espacios de Finsler, y varios matemáticos han expresado la opinión de que, como resultado, la teoría ha alcanzado su forma final. El método de Cartan condujo al desarrollo de la geometría de Finsler al desarrollar directamente los métodos de la geometría de Riemann.

Varios geómetras criticaron de forma independiente los métodos de Cartan particular Wagner , Busemann y Rund Destacaron que la métrica local natural de un espacio de Finsler es la métrica de Minkowski , mientras que una imposición arbitraria de la métrica euclidiana conduce a la pérdida de las características más interesantes de los espacios de Finsler. Por estas razones, se propusieron otras teorías a principios de la década de 1950, como resultado de las cuales surgieron dificultades notables, Busemann señaló sobre este tema: "La geometría de Finsler desde el lado es un bosque en el que toda la vegetación consiste en tensores " .

Literatura

En ruso

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V. G. Zhotikov. Introducción a la geometría de Finsler y sus generalizaciones (para físicos) - M .: MIPT , 2014. ISBN 978-5-7417-0462-2 .
P. K. Rashevsky. Geometría polimétrica, - Actas del seminario sobre análisis vectorial y tensorial con sus aplicaciones a la geometría, la mecánica y la física. Número 5. OGIZ, 1941.
P. K. Rashevsky. Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales parciales, - Cualquier edición.
H.Rund. Geometría diferencial de los espacios de Finsler, - M. : "Nauka", 1981.

En inglés

PL Antonelli. Manual de geometría de Finsler, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.
D. Bao, SS Chern y Z. Shen. Introducción a la geometría de Riemann-Finsler , Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X .
SS Chern. La geometría de Finsler es simplemente la geometría de Riemann sin la restricción cuadrática - Avisos AMS, 43, septiembre de 1996.
Z Shen. Conferencias sobre geometría de Finsler, - World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9 .
Z Shen. Geometría diferencial de los espacios de spray y Finsler, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001.

Enlaces

Página de inicio de la geometría de Finsler : el sitio de Zhongmin Shen sobre la geometría de Finsler. (Inglés)
Fundación sin fines de lucro para el desarrollo de la investigación en geometría de Finsler.
Chris Moseley (Calvin College), "Geometrías de Finsler y sub-Finsler" (presentación en papel de 2013 )
V. G. Zhotikov . “Qué es la geometría de Finsler y por qué los físicos necesitan entenderla” (presentación del informe)