Función Wigner

La función de Wigner ( función de distribución de cuasi probabilidad de Wigner , distribución de Wigner , distribución de Weyl ) fue introducida por Wigner en 1932 para estudiar las correcciones cuánticas de la mecánica estadística clásica . El objetivo era reemplazar la función de onda que aparece en la ecuación de Schrödinger con una función de distribución de probabilidad en el espacio de fase . Weil lo derivó de forma independiente en 1931 como el símbolo de la matriz de densidad de la teoría de la representación .en matemáticas _ La función de Wigner tiene aplicaciones en mecánica estadística, química cuántica , óptica cuántica , óptica clásica y análisis de señales en diversos campos como la electrónica , la sismología , la acústica , la biología . Cuando se analizan señales, se utilizan los nombres Transformación de Wigner-Villa y Distribución de Wigner-Villa .

Significado físico

Una partícula clásica tiene una posición y un momento definidos y , por lo tanto, se representa como un punto en el espacio de fases . Cuando hay un conjunto ( conjunto ) de partículas, la probabilidad de encontrar una partícula en un cierto volumen pequeño de espacio de fase viene dada por la función de distribución de probabilidad. Esto no es cierto para una partícula cuántica debido al principio de incertidumbre . En su lugar, se puede introducir una distribución de cuasi probabilidad, que no es necesaria para satisfacer todas las propiedades de la función de distribución de probabilidad normal . Por ejemplo, la función de Wigner se vuelve negativa para estados que no tienen contrapartes clásicas, por lo que puede usarse para identificar estados no clásicos.

La distribución de Wigner P ( x , p ) se define como:

P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dy\,\psi ^{*}(x+ y )\psi (xy)e^{2ipy}

donde es la función de onda, y y es el conjunto de coordenadas y momentos generalizados conjugados . es simétrica en y : $\psi$ $X$ $pags$ $X$ $pags$

P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dq\,\phi ^{*}(p+ q )\phi (pq)e^{-2ixq}

donde es la transformada de Fourier de la función . $\fi$ $\psi$

En el caso de un estado mixto :

P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle xy|{\hat {\ rho }}|x+y\rangle e^{2ipy}

donde es la matriz de densidad . $\rho$

Propiedades matemáticas

P ( x , p ) es una función real
Las distribuciones de probabilidad sobre x y p están dadas por las integrales :
- $\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=|\psi (x)|^{2}=\langle x|{\hat {\rho }}|x\ángulo$
- $\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\,P(x,p)=|\phi (p)|^{2}=\langle p|{\hat {\rho }}|p\ángulo$
- $\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=Tr({\hat { \rho)))$
- Por lo general, la traza es 1. $\rho$
- 1. y 2. asume que P ( x , p ) es negativo en cualquier lugar excepto en el estado coherente (y estados coherentes mixtos) y estados de vacío comprimido .
P ( x , p ) tiene las siguientes simetrías especulares :
- Simetría temporal :

\psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x,-p)

- Simetría espacial:

{\ estilo de visualización \ psi (x) \ flecha derecha \ psi (-x) \ flecha derecha P (x, p) \ flecha derecha P (-x, -p)}

P ( x , p ) es un invariante bajo las transformaciones de Galileo :
- ${\ estilo de visualización \ psi (x) \ flecha derecha \ psi (x + y) \ flecha derecha P (x, p) \ flecha derecha P (x + y, p)}$
- No es invariante bajo transformaciones de Lorentz .
Las ecuaciones de movimiento para cada punto en el espacio de fases son clásicas en ausencia de fuerzas : ${\frac {\parcial P(x,p)}{\parcial t))={\frac {-p}{m)){\frac {\parcial P(x,p)}{\parcial X}}$
La superposición de estado se calcula como: $|\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int \limits _{-\infty}^{\infty}dx\,\int \limits _{-\ infinito }^{\infty }dp\,P_{\psi }(x,p)P_{\theta }(x,p)$
Los operadores y los promedios se calculan como:
- $A(x,p)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle xy/2|{\hat {A}}|x+y/2\rangle e ^{ipy/\hbar}$
- $\langle \psi |{\sombrero {A}}|\psi \rangle =Tr({\sombrero {\rho}}{\sombrero {A}})=\int \limits _{-\infty} ^{\infty}dx\,\int \limits _{-\infty}^{\infty}dpP(x,p)A(x,p)$
Para que P ( x , p ) represente matrices de densidad física es necesario: $\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)P_{\theta } (x,p)\geq 0$ , donde está el estado puro de . ${\ estilo de visualización | \ theta \ rangle}$

Medida de la función de Wigner

Tomografía

Literatura

EP Wigner (1932). “Sobre la corrección cuántica para el equilibrio termodinámico”. física Rev. _ 40 (5): 749-759. Código Bib : 1932PhRv...40..749W . DOI : 10.1103/PhysRev.40.749 . HDL : 10338.dmlcz/141466 .
Zachos, C. Mecánica cuántica en el espacio de fase: una descripción general con artículos seleccionados / C. Zachos, D. Fairlie, T. Curtright. - Nueva Jersey Londres: World Scientific, 2005. - ISBN 9789812383846 .
Weyl, Hermann. La teoría de grupos y la mecánica cuántica. - Mansfield Centre, CT: Martino Publishing, 2014. - ISBN 1614275807 .

H. Weyl, Z. Física. 46, 1 (1927).
H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig: Hirzel) (1928).
J. Ville, Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique, Cables et Transmission, 2A: (1948) 61-74.
W. Heisenberg, Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen, Physik. Zeitschr. 32, 737-740 (1931).
PAM Dirac, Nota sobre los fenómenos de intercambio en el átomo de Thomas, Proc. Camb. Fil. soc. 26, 376-395 (1930).

Enlaces

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