Función de Möbius

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La función de Möbius es una función aritmética multiplicativa utilizada en teoría de números y combinatoria , llamada así por el matemático alemán Möbius , quien la consideró por primera vez en 1831 . $\mu(n)$

Definición

$\mu(n)$ se define para todos los números naturales y toma valores según la naturaleza de la descomposición del número en factores primos: $norte$ ${-1,\;0,\;1}$ $norte$

$\mu(n)=1$ , si está libre de cuadrados (es decir, ningún número primo es divisible por el cuadrado) y la descomposición en factores primos consta de un número par de factores; $norte$ $norte$
$\mu(n)=-1$ , si está libre de cuadrados y la descomposición en factores primos consta de un número impar de factores; $norte$ $norte$
$\mu(n)=0$ , si no libre de cuadrados. $norte$

Además, por definición, . $\mu(1)=1$

Ivan Matveevich Vinogradov en el libro "Elementos de las matemáticas superiores" contiene la siguiente definición de la función de Möbius:

La función de Möbius es una función multiplicativa definida por las igualdades: $\mu \,(p)=-1,\;\mu \,(p^{\alpha })=0,\;{\text{if}}\;\alpha >1.$

De estas dos igualdades y de la multiplicatividad de la propia función se derivan sus valores para todos los argumentos naturales.

Funciones y aplicaciones

La función de Möbius es multiplicativa: para cualquier número coprimo y la igualdad se cumple . $a$ $b$ $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$

La suma de los valores de la función de Möbius sobre todos los divisores de un número entero distinto de uno es igual a cero $norte$

\sum _{{d|n}}\mu (d)={\begin{casos}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{casos}}

Esto, en particular, se sigue del hecho de que para cualquier conjunto finito no vacío, el número de subconjuntos diferentes que consisten en un número impar de elementos es igual al número de subconjuntos diferentes que consisten en un número par de elementos, un hecho que es también se utiliza en la demostración de la fórmula de inversión de Möbius .

$\sum \limits _{{k=1}}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.$

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty}}{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,$ donde n es un entero positivo .

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty}}{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln(2k+1)}{2k+1}}=-2.$

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln ^{2}k}{k))=-2\gamma ,$ donde es la constante de Euler . $\gama$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln ^{2}(2k+1)}{2k+1))=-4 (\gamma +ln2).$

La función de Möbius está estrechamente relacionada con la función zeta de Riemann . Así, los coeficientes de la serie de Dirichlet de una función multiplicativamente inversa para la función zeta de Riemann se expresan en términos de la función de Möbius:

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty}}{\frac {\mu (n)}{n^{{s))))={\frac {1}{\zeta ( s)}}

La serie converge absolutamente en , converge condicionalmente en la recta , en la región el enunciado sobre la convergencia condicional de la serie es equivalente a la hipótesis de Riemann , y en , la serie ciertamente no converge, ni siquiera condicionalmente. ${{\rm {Re}}}\,s>1$ ${{\rm {Re}}}\,s=1$ $1/2<{{\rm {Re}}}\,s<1$ ${{\rm {Re}}}\,s<1/2$

Cuando la fórmula también es válida: ${{\rm {Re}}}\,s>1$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty}}{\frac {|\mu (n)|}{n^{{s))))={\frac {\zeta (s )}{\zeta (2s)))

$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty}}{\frac {\mu (pn)}{n^{{s))))={\frac {p^{{s} }}{(1-p^{{s}})\zeta(s)}},$ donde p es un número primo.

La función de Möbius está relacionada con la función de Mertens , también muy relacionada con el problema de los ceros de la función zeta de Riemann

M(n)=\sum_{{k=1}}^{n}\mu(k).

Las relaciones asintóticas son válidas:

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}\mu (n)=o(1)

x\rightarrow\infty

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)))+O({\ fracción {1}{{\sqrt x}}}})

de lo que se deduce que existe una densidad de distribución asintótica para los valores de la función de Möbius. La densidad lineal del conjunto de sus ceros es , y la densidad del conjunto de unos (o menos unos) es . Los enfoques probabilísticos para el estudio de la función de Möbius se basan en este hecho. $1-1/\zeta(2)=0.3920729$ $1/2\zeta(2)=0.30396355$

Inversión de Möbius

La primera fórmula de inversión de Möbius

Para funciones aritméticas y , $F$ $gramo$

g(n)=\sum_{{d\,\mid \,n}}f(d)

si y solo si

f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d))\right)

La segunda fórmula de inversión de Möbius

Para funciones de valor real y definidas por , $f(x)$ $g(x)$ $x\geqslant 1$

g(x)=\sum_{{n\leqslant x}}f\left({\frac {x}{n}}\right)

si y solo si

f(x)=\sum_{{n\leqslant x}}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)

Aquí la suma se interpreta como . $\sum _{{n\leqslant x}}$ $\sum _{{n=1}}^{{\lpiso x\rpiso}}$

Función de Möbius generalizada

A pesar de la aparente falta de naturalidad de la definición de la función de Möbius, su naturaleza puede quedar clara cuando se considera una clase de funciones con propiedades de reversibilidad similares introducidas en conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados .

Sea dado algún conjunto parcialmente ordenado con relación de comparación . Supondremos que . $\prec$ $a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b$

Definición

La función de Möbius generalizada se define recursivamente por la relación.

{\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{casos}1,&a=b\\-\sum \limits_{a\preccurlyeq z\prec b}{ {\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&a\not \preccurlyeq b\end{casos}}

La fórmula de conversión

Deje que las funciones y tomen valores reales en el conjunto y la condición se cumpla . $gramo$ $F$ $A$ $g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}$

Después $f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}$

Conexión con la función clásica de Möbius

Si tomamos como un conjunto de números naturales, tomando la razón como una razón , entonces obtenemos , donde es la función clásica de Möbius. $A$ $a \ prec b$ $a \mid b \land a \not = b$ ${\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a))\right)$ $\mu$

En particular, esto significa que , y además la definición de la función clásica de Möbius se sigue por inducción de la definición de una función generalizada y la identidad , ya que la suma de todos los divisores de un número que no es divisible por un cuadrado completo puede considerarse como la suma sobre el booleano de sus factores primos multiplicado por en cada elemento del booleano. $\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)$ $\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0$

Véase también

Dirichlet vintage

Literatura

Vinogradov I. M. Fundamentos de la teoría de números. - 9ª ed. - M. , 1981.
Hall M. Teoría Combinatoria . - M. : Mir, 1970. - 424 p.

Enlaces

Salón de Actos del MIPT . Raygorodsky A.M. - Fundamentos de combinatoria y teoría de números. Conferencia No. 5 , 2013.
Salón de Actos del MIPT . Raygorodsky A.M. - Fundamentos de combinatoria y teoría de números. Conferencia No. 6 , 2013.
Fórmula de inversión de Möbius generalizada