Función de Mertens

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En teoría de números , la función de Mertens se define para todos los números naturales n mediante la fórmula

M(n) = \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)

donde es la función de Möbius . La función de Mertens lleva el nombre de Franz Mertens . ${\ estilo de visualización \ mu (k)}$

En otras palabras, es la diferencia entre el número de números libres de cuadrados que no exceda de n y que contengan un número par de factores primos, y el número de los mismos números, pero que contengan un número impar de factores primos. $Minnesota)$

La definición anterior se puede extender a todos los números reales positivos de la siguiente manera:

M(x) = \sum\limits_{1\leqslant k \leqslant x} \mu(k).

Propiedades

$|M(x)|\leqslant x$ .
$M(x) = o(x)$ , que no es trivial, pero está probado [1]
$METRO(x) = METRO([x])$ , donde es la parte entera del número . $[X]$ $X$
Una serie de identidades que contienen la función de Mertens se obtiene uniformemente en base al siguiente hecho:

Si , entonces para la siguiente identidad es verdadera: $c_n = \sum\limits_{d|n} \mu(n/d)\,a_d$ $x\geqslant 1$

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) a_k = C(x)

, donde es la función sumatoria de la sucesión .

C(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}c_n

c_n

En particular, esto produce las siguientes identidades, que son válidas para : $x\geqslant 1$

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) = 1

es una propiedad característica de la función de Mertens;

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) {\rm ln}\, k = \psi(x)

, donde está la segunda función de Chebyshev ;

\psi(x)

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) |\mu(k)| = M(\raíz cuadrada{x})

;

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \Lambda(k) = {\rm ln}\, [x]!

, donde es la función de Mangoldt ;

\Lambda(k)

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \tau(k) = [x]

, donde es el número de divisores del número .

\tau(k)

k

La función de Mertens tiene áreas de cambio lento tanto en dirección positiva como negativa, pasando por valores medios y extremos, oscilando, aparentemente de manera caótica, pasando por cero en los siguientes valores de n :

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333 353 355 356 358 362 363 364 366 393 401 403 404 405 407 408 413 414 419 420 422 423 424 425 427 .. Secuencia OEIS A028442 .

Dado que la función de Möbius solo puede tomar valores , la función de Mertens cambia lentamente: para todo n es cierto que . La conjetura de Mertens asumió una restricción más fuerte: para todo n , el valor absoluto de la función de Mertens no excede la raíz de n : . Sin embargo, la hipótesis de Mertens resultó ser incorrecta, como lo demostraron en 1985 Andrew Odlyzko y Herman te Riele . La hipótesis de Riemann es equivalente a la hipótesis del crecimiento más débil , a saber . Dado que los valores más grandes crecen al menos tan rápido como la raíz de n , esta suposición estima el crecimiento de la función de Mertens con bastante precisión. Aquí, O significa O grande . ${\ estilo de visualización -1,0,1}$ $|M(n)|\leqslant n$ $|M(n)|\leqslant {\sqrt {n))$ $Minnesota)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})$ $Minnesota)$

Los primeros 160 valores de M ( n ) son la secuencia A002321 en el OEIS

norte	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	once	12	13	catorce	quince	dieciséis	17	Dieciocho	19	veinte
M ( n )	una	0	-una	-una	-2	-una	-2	-2	-2	-una	-2	-2	-3	-2	-una	-una	-2	-2	-3	-3
norte	21	22	23	24	25	26	27	28	29	treinta	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
M ( n )	-2	-una	-2	-2	-2	-una	-una	-una	-2	-3	-cuatro	-cuatro	-3	-2	-una	-una	-2	-una	0	0
norte	41	42	43	44	45	46	47	48	49	cincuenta	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
M ( n )	-una	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-una	0	-una	-una
norte	61	62	63	64	sesenta y cinco	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
M ( n )	-2	-una	-una	-una	0	-una	-2	-2	-una	-2	-3	-3	-cuatro	-3	-3	-3	-2	-3	-cuatro	-cuatro
norte	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
M ( n )	-cuatro	-3	-cuatro	-cuatro	-3	-2	-una	-una	-2	-2	-una	-una	0	una	2	2	una	una	una	una
norte	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
M ( n )	0	-una	-2	-2	-3	-2	-3	-3	-cuatro	-5	-cuatro	-cuatro	-5	-6	-5	-5	-5	-cuatro	-3	-3
norte	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
M ( n )	-3	-2	-una	-una	-una	-una	-2	-2	-una	-2	-3	-3	-2	-una	-una	-una	-2	-3	-cuatro	-cuatro
norte	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
M ( n )	-3	-2	-una	-una	0	una	una	una	0	0	-una	-una	-una	-2	-una	-una	-2	-una	0	0

Vistas

Como integral

Usando el producto de Euler , obtenemos que

\frac{1}{\zeta(s)}= \prod\limits_{p} (1-p^{-s})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\ mu(n)}{n^s},

donde es la función Riemann Zeta , y el producto se toma sobre todos los números primos p . Luego, usando la serie de Dirichlet del lado derecho con la fórmula de Perron , obtenemos: $\zeta (s)$

\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} ds = M(x),

donde C es una curva cerrada que rodea todas las raíces ${\ estilo de visualización \ zeta (s).}$

La transformada de Mellin se utiliza para invertir

\frac{1}{\zeta(s)} = s\int\limits_1^{+\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}}dx,

que se conserva en . ${\ estilo de visualización \ Re (s)> 1}$

A partir de la suposición de que solo hay raíces no múltiples no triviales , se obtiene la "fórmula exacta" mediante el teorema del residuo : ${\ estilo de visualización \ zeta (\ rho)}$

\frac{1}{2 \pi i} \oint\limits_C \frac{x^s}{s \zeta (s)} ds = \sum\limits_{\rho} \frac{x^{\rho)) {\rho \zeta'(\rho)} - 2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} (2\pi )^{2n }}{(2n)! n\zeta(2n+1)x^{2n}}.

Weyl sugirió que la función de Mertens satisface la ecuación diferencial funcional aproximada

\frac{y(x)}{2}-\sum\limits_{r=1}^N \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_t^{2r-1} y \left(\frac {x}{t+1}\right) + x\int_0^x \frac{y(u)}{u^{2}} du = x^{-1}H(\ln x),

donde es la función de Heaviside , son los números de Bernoulli , y todas las derivadas con respecto a t se calculan en . $H(x)$ ${\ Displaystyle B_ {2r}}$ $t=0$

Titchmarsh ( 1960 ) probó la siguiente fórmula que involucra la suma con la función de Möbius y los ceros de la función zeta de Riemann en la forma

\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}}g(\ln n) = \sum\limits_t \frac{h(t)} {\zeta'(1/2+it)}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(2\pi )^{2n)) {(2n)! \zeta(2n+1)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} dx,

donde t pasa por todas las partes imaginarias de los ceros no triviales y están conectados por la transformada de Fourier, de modo que $(g,h)$

\pi g(x)= \int\limits_{0}^{+\infty}h(u)\cos(ux) du.

Como una suma sobre la sucesión de Farey

Otra fórmula para la función de Mertens

M(n)= \sum\limits_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi ia},

donde es la sucesión de Farey de orden n . $\mathcal{F}_n$

Esta fórmula se utiliza en la demostración del teorema de Franel Landau [2] .

Como determinante

$Minnesota)$ es igual al determinante de la matriz (0,1) -Redheffer de orden , en la que si y sólo si o . $norte$ ${\ estilo de visualización a_ {ij} = 1}$ $j=1$ $yo \ medio j$

La matriz de Redheffer surge al resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{casos} x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1 \\ x_2 + x_4 + \dots + x_{2[n/2]} = 1 \\ x_3 + x_6 + \dots + x_{3[n/ 3]} = 1 \\ \dots \\ \sum\limits_{k\leqslant n,\,d|k}x_k = 1 \\ \dots\\ \end{casos}$

La matriz del sistema tiene forma triangular, tiene unos en la diagonal principal, por lo tanto el determinante del sistema es igual a uno y la solución del sistema existe y es única.

La solución del sistema son números debido a la propiedad característica de la función de Mertens: $x_1 = M(n),\,x_2 = M(n/2),\,x_3 = M(n/3),\,\puntos,\,x_k = M(n/k),\,\puntos, \,x_n = M(n/n) = 1,$ $\sum\limits_{k\leqslant x} M(x/k) = 1$

Resolviendo el sistema según la regla de Cramer , y teniendo en cuenta que el determinante del sistema es igual a 1, obtenemos que igual al determinante de la matriz obtenido a partir de la matriz del sistema reemplazando la primera columna por una columna de unidades , y esta es la matriz de orden de Redheffer . $x_{1}$ $Minnesota)$ $norte$

Cálculo

La función de Mertens ha sido calculada para rangos crecientes de n .

persona	año	límite
Mertens	1897	10 4
Von Sterneck	1897	1.5⋅10 5
Von Sterneck	1901	5⋅10 5
Von Sterneck	1912	5⋅10 6
Neubauer	1963	10 8
Cohen y vestido	1979	7.8⋅10 9
Vestir	1993	10 12
Lyoen y van de Lune	1994	10 13
Kotnik y van de Lune	2003	10 14

La función de Mertens para todos los números enteros que no excedan N se puede calcular en el tiempo . Hay un algoritmo elemental que calcula un valor aislado en el tiempo . $O(N^{1+\varepsilon})$ ${\ estilo de visualización M (N)}$ $O(N^{2/3+\varepsilon})$

Aplicaciones

En su demostración elemental del teorema de la distribución de los números primos, Gelfond prueba y utiliza el hecho que se sigue de . [una] $M(x)=o(x)$ $\pi(x) = \frac{x}{\ln{x}} + o\left({\frac{x}{\ln{x}}}\right)$

Notas

↑ 12 A. O. Gelfand , Yu. V. Linnik. Métodos elementales en teoría analítica de números. - Fizmatgiz, 1962.
↑ Edwards, cap. 12.2

Literatura

E. K. Titchmarsh . Teoría de la función zeta de Riemann. - IL, 1953.

Véase también

fórmula de Perron

Enlaces

Edwards, HaroldFunción Zeta de Riemann (indefinida) . - Mineola, Nueva York: Dover, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
F. Mertens, "Uber eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106 , (1897) 761–830.
A.M. Odlyzko y Herman te Riele , " Refutación de la conjetura de Mertens ", Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357 , (1985) pp. 138–160.
Weisstein, función de Eric W. Mertens (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
OEIS A002321, ver secciones REFERENCIAS y ENLACES
Deleglise, M. y Rivat, J. "Cálculo de la suma de la función de Mobius". experimento. Matemáticas. 5, 291-295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447