Función entera

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Una función entera es una función que es regular en todo el plano complejo . Un ejemplo típico de una función completa es un polinomio o exponente , así como sumas, productos y superposiciones de estas funciones. La serie de Taylor de una función completa converge en todo el plano de la variable compleja. Logaritmo , raíz cuadrada no son funciones enteras.

Tenga en cuenta que una función completa puede tener una singularidad (incluida incluso una singularidad esencial ) en el infinito. Como se desprende del teorema de Liouville , una función que no tiene puntos singulares en todo el plano complejo extendido debe ser constante (esta propiedad se puede usar para demostrar el teorema fundamental del álgebra de una manera elegante ).

Toda función que tenga un polo en el infinito debe ser un polinomio. Por tanto, todas las funciones enteras que no son polinomios (en particular, idénticamente constantes) tienen un punto esencialmente singular en el infinito. Estas funciones se denominan funciones enteras trascendentales .

El pequeño teorema de Picard fortalece significativamente el teorema de Liouville: una función completa que no es idénticamente constante toma todos los valores complejos, excepto posiblemente uno. Un ejemplo es la función exponencial, que toma como valores todos los números complejos excepto el cero.

J. Littlewood en uno de sus libros indica la función sigma de Weierstrass como un ejemplo "típico" de una función completa.

Caso de varias variables complejas

Se puede considerar una función completa en . sea un índice múltiple , ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n}}$ $k$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$

El concepto de convergencia de series.

$\sum _{|k|=0}^{\infty}a_{k}z^{k}(*)$

depende del método de enumeración de los términos, por lo tanto, al hablar de la convergencia de esta serie, nos referimos a la convergencia absoluta : $\sum _{|k|=0}^{\infty}|a_{k}||z^{k}|<\infty$

Así, si la serie (*) converge en , entonces la función representada por esta serie se llama entera. ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n}}$

Descomposición en un producto infinito

Así como las funciones meromórficas pueden verse como una generalización de fracciones racionales, las funciones enteras pueden verse como una generalización de polinomios. En particular, si para funciones meromórficas se puede generalizar la descomposición en fracciones simples ( el teorema de Mittag-Leffler sobre la descomposición de una función meromórfica ), entonces para funciones enteras hay una generalización de la factorización - el teorema de Weierstrass sobre funciones enteras .

Espacio de funciones completas

Todas las funciones enteras forman un espacio lineal . El espacio de funciones enteras se denota como (de la palabra entero ) y para el caso . $mi$ $E_{n}$ ${\ Displaystyle C^{n}}$

(En la literatura más nueva, el espacio de funciones enteras se denota $H$ )

Orden de una función completa

Dejar $M(r)=\max _{|z|=r}\left|f(z)\right|$

Una función entera se llama función entera de orden finito si existe tal que la desigualdad asintótica (*) $f(x)$ $\mu>0$ $M(r)<\exp(r^{\mu })$

El orden de una función entera es el número $f(z)$ ${\ estilo de visualización \ rho \ geq 0:}$ ${\displaystyle \rho =\inf \left\{\mu \right\))$

Para una función completa que tiene un orden y género finitos , la siguiente relación es verdadera: . De hecho, la finitud de una de las características implica la finitud de la segunda. $pags$ $q$ $p\leq q\leq p+1$

El tipo de una función completa

Toda una función es de tipo finito en el orden si , que $f(z)$ $\rho$ $\existe un>0$

M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho ))

El tipo de toda la función , cuando se ordena , es un número : $f(z)$ $\rho$ ${\ estilo de visualización \ sigma \ geq 0}$

\sigma =\inf \left\{a>0:M(r)<_{ac.}e^{ar^{\rho }}\right\}

de la definición se sigue que:

\sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.

Si para un tipo dado es infinito, entonces decimos que el tipo máximo. $0<\rho <\infty$ $f(z)$ $f(z)$
Si , entonces es de tipo normal. $0<\sigma <\infty$ $f(z)$
Si , entonces es de tipo mínimo. $\sigma=0$ $f(z)$

Toda una función de tipo exponencial

Una función entera de orden y tipo normal se llama función entera de tipo exponencial. $\rho=1$

El espacio del e.f.e.t. a menudo referido como . $PAGS$

Función asociada a Borel

Deja que el c.f.e.t. se presenta en la forma:

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!)}}z^{k}

Cada c.f.e.t. se asigna la función:

{\displaystyle \gamma (t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{t^{k+1))))

la función se llama Borel asociada. Esta serie converge en , y hay al menos una singularidad de la función en el límite ${\ estilo de visualización \ gamma (z)}$ ${\ estilo de visualización | t |> \ sigma}$ $\gamma (t)$