Centro de similitud

El centro de similitud (o centro de homotecia ) es el punto desde el cual al menos dos figuras geométricamente similares pueden verse escalando (estirándose/comprimiéndose) entre sí. Si el centro es externo , las dos figuras son directamente similares entre sí: sus ángulos son iguales en el sentido de rotación. Si el centro es interno , las dos formas son reflejos redimensionados entre sí: sus ángulos son opuestos.

Polígonos

Si dos figuras geométricas tienen un centro de similitud, son similares entre sí. En otras palabras, deben tener los mismos ángulos en sus respectivos puntos y diferir solo en sus tamaños relativos. El centro de semejanza y las dos figuras no tienen por qué pertenecer al mismo plano. Puede referirse a una proyección tridimensional desde el centro de similitud.

Los centros de similitud pueden ser externos o internos. Si el centro es interno, las dos formas geométricas son imágenes especulares redimensionadas entre sí. Técnicamente hablando, tienen quiralidad opuesta . El ángulo en el sentido de las agujas del reloj de una forma coincidirá con el ángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj de la otra. Y viceversa, si el centro de similitud es externo, las dos figuras son directamente proporcionales entre sí: sus ángulos tienen el mismo significado.

Círculos

Los círculos son geométricamente similares entre sí y con simetría especular. Un par de círculos tiene ambos tipos de centros de similitud, exterior e interior, a menos que los centros sean los mismos o los círculos tengan el mismo radio. Estos casos especiales se tratan como casos generales . Estos dos centros de similitud se encuentran en una línea recta que pasa por los centros de los dos círculos dados, que se llama línea de centros (Figura 3). Los círculos con radio cero también se pueden incluir en la consideración (ver casos especiales), así como radios negativos, mientras que los roles de los centros de similitud externos e internos cambian.

Cálculo del centro de similitud

Para un par dado de círculos, los centros de similitud interior y exterior se pueden encontrar de diferentes maneras. En geometría analítica, el centro interior de similitud es el promedio ponderado de los centros de los círculos, donde el peso corresponde al radio del círculo opuesto - la distancia desde el centro del círculo hasta el punto interior de similitud es proporcional a la radios opuestos . Si denotamos los centros de los círculos y como y y sus radios como y , y el centro de semejanza , tenemos: $C_{1}$ $C_{2}$ $(x_{1},y_{1})$ $(x_{2},y_{2})$ $r_{1}$ $r_{2}$ ${\ estilo de visualización (x_ {0}, y_ {0}),}$

(x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\ fracción {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).

El centro exterior se puede obtener de la misma ecuación tomando uno de los radios como negativo. Sea cual sea el radio que tomemos como negativo, tendremos la misma ecuación:

(x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{ \frac{r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).

Generalizando, si tomamos radios con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), obtenemos el centro interno, mientras que radios con diferentes signos (uno positivo y otro negativo) darán el centro externo de similitud. Tenga en cuenta que la ecuación para el centro interior sigue siendo válida para cualquier valor (a menos que ambos radios sean cero o la suma de los radios no sume cero), pero la ecuación para los centros exteriores requiere que los radios sean diferentes, de lo contrario obtenemos una división por cero.

En geometría elemental, si se dibujan dos diámetros paralelos, uno en un círculo, formarán el mismo ángulo α con la línea de centros. Las líneas rectas A 1 A 2 y B 1 B 2 , trazadas a través de los puntos extremos correspondientes de los radios, que son corrientes homólogas, se cortan entre sí y con la línea de centros en el centro exterior de similitud. Las líneas rectas A 1 B 2 y B 1 A 2 , dibujadas a través de un punto final y el punto final opuesto, se cortan entre sí y la línea de centros en el centro interior de similitud.

Ocasiones especiales

Si los círculos tienen el mismo radio (pero diferentes centros), no hay un centro externo de similitud en el plano afín ; en geometría analítica esto conduce a la división por cero, y en geometría clásica las líneas de los centros son rectas y paralelas (tanto para rectas secantes y para tangentes), y por lo tanto no pueden intersecarse. El centro exterior de similitud se puede definir en el plano proyectivo como un punto en el infinito correspondiente a la intersección de las líneas. $A_{1}A_{2}$ ${\ estilo de visualización B_{1}B_{2}}$

Si los círculos tienen el mismo centro pero diferentes radios, los centros de semejanza exterior e interior coinciden con el centro común de los círculos. Esto se puede ver en la fórmula analítica, y también como el límite de dos centros de similitud cuando los centros se mueven uno hacia el otro manteniendo los radios hasta que los centros coincidan.

Si un radio es igual a cero y el otro no es igual a cero (punto y círculo), tanto el centro de similitud externo como el interno coinciden con el punto (el centro de un círculo de radio cero).

Si dos círculos son idénticos (tienen el mismo centro y los mismos radios), el centro de similitud interior es su centro común, pero no hay un centro exterior bien definido. En el límite, cuando dos círculos de igual radio se mueven uno hacia el otro hasta que los centros coinciden, el centro de similitud externo está en el infinito y por lo tanto puede estar en cualquier lugar, y por lo tanto no hay centro de similitud externo para tales círculos.

Si ambos radios son cero (dos puntos), pero los puntos son diferentes, el centro de semejanza exterior se puede definir como el punto en el infinito correspondiente a la recta que pasa por la recta de los centros, pero en este caso no hay centro interior.

Puntos homólogos y antihomólogos

En el caso general, el rayo que emana del centro de similitud corta cada círculo en dos lugares. De estos cuatro puntos, dos son homólogos si los radios extraídos de ellos forman el mismo ángulo con la línea de centros, es decir puntos A 1 y A 2 en la figura 3. Los puntos que se encuentran en la misma línea con el centro de similitud, pero que no son homólogos, se denominan antihomólogos , [1] como, por ejemplo, los puntos Q y P′ en la figura 4.

Pares de puntos antihomólogos sobre un círculo

Si dos rayos del mismo centro de similitud intersecan círculos, cualquier conjunto de puntos antihomólogos se encuentra en el círculo.

Sean dados los triángulos EQS y EQ′S′ (Figura 4).
Son similares porque tienen un ángulo común ∠QES=∠Q′ES′ y , ya que E es el centro de similitud. De esta similitud se deduce que ∠ESQ=∠ES′Q′=α . Debido al teorema del ángulo inscrito , ∠EP′R′=∠ES′Q′ . ∠QSR′=180°-α ya que este es el ángulo complementario para ∠ESQ . En el cuadrilátero QSR′P′ ∠QSR′+∠QP′R′=180°-α+α=180° , lo que significa que el cuadrilátero está inscrito . Del teorema de la secante se sigue que EQ • EP′=ES•ER′. ${\displaystyle {\frac {EQ}{EQ^{\prime ))}={\frac {ES}{ES^{\prime ))))$

De la misma manera se puede demostrar que PRS′Q′ se puede inscribir en un círculo y EP•EQ′=ER•ES′.

La demostración es similar a la demostración del centro de similitud interno I .
PIR~P′IR′ , por lo tanto, ∠RPI=∠IP′R′=α . ∠RS′Q′=∠PP′R′=α (teorema del ángulo inscrito). El segmento RQ′ se ve con el mismo ángulo desde P y S′, lo que significa que R, P, S′ y Q′ se encuentran en el círculo. Luego del teorema de las cuerdas que se cortan IP•IQ′=IR•IS′. De manera similar, se puede demostrar que QSP′R′ se puede inscribir en un círculo y IQ•IP′=IS•IR′.

Conexión con ejes radicales

Dos circunferencias tienen ejes radicales , rectas formadas por puntos, de los cuales los segmentos de recta desde el punto hasta el punto tangente de ambas circunferencias tienen la misma longitud. Más generalmente, cualquier punto sobre el eje radical tiene la propiedad de que sus grados con respecto a los círculos son iguales. El eje radical siempre es perpendicular a la línea de centros, y si dos círculos se cortan, su eje radical pasa por los puntos de intersección de los círculos. Para tres círculos, se pueden definir tres ejes radicales, para cada par de círculos ( C 1 / C 2 , C 1 / C 3 y C 2 / C 3 ). El hecho notable es que estos tres ejes radicales se cruzan en un punto, el centro radical . Los segmentos tangentes dibujados desde el centro radical a los tres círculos tendrán la misma longitud.

Se pueden usar dos pares cualesquiera de puntos antihomólogos para encontrar un punto en el eje radical. Se dibujan dos rayos desde el centro exterior de similitud E como en la figura 4. Estos rayos intersecan dos círculos dados (verde y azul en la figura 4) en dos pares de puntos antihomólogos, Q y P′ para el primer rayo, y S y R′ para la segunda viga. Estos cuatro puntos se encuentran en el mismo círculo que interseca a ambos círculos dados. Por definición, la línea QS es el eje radical para el nuevo círculo y el círculo verde, mientras que la línea P′R′ es el eje radical para el nuevo círculo y el círculo azul. Estas dos líneas se cortan en el punto G , que es el centro radical de tres círculos: el nuevo círculo y los dos originales. Así, el punto G también se encuentra en el eje radical de los dos círculos originales.

Círculos tangentes y puntos antihomólogos

Para cualquier par de puntos antihomólogos de dos circunferencias, existe una tercera circunferencia que es tangente a las circunferencias originales en los puntos antihomólogos.
Lo contrario también es cierto: cualquier círculo que toque a otros dos círculos los toca en puntos antihomólogos.

Deje que nuestros dos círculos tengan centros O 1 y O 2 (Figura 5). Sea E su centro exterior de semejanza. Construimos un rayo arbitrario desde el punto E que corta dos círculos en los puntos P, Q, P′ y Q′ . Extendamos O 1 Q y O 2 P′ hasta la intersección (en el punto T 1 ). Es fácil demostrar que los triángulos O 1 PQ y O 2 P′Q′ son semejantes. Estos triángulos son isósceles porque O 1 P=O 1 Q ( radio ), entonces ∠O 1 PQ=∠O 1 QP=∠O 2 P′Q′=∠O 2 Q′P′=∠T 1 QP′=∠ T 1 P Q . Pero entonces T 1 P′Q también será isósceles, y se puede construir un círculo con centro en T 1 y radio T 1 P′=T 1 Q . Este círculo es tangente a los dos círculos originales en los puntos Q y P′ .

La afirmación se prueba de manera similar para otro par de puntos antihomólogos ( P y Q′ ), así como para el caso de un centro interno de similitud.

Si construimos círculos tangentes para cada posible par de puntos antihomólogos, obtenemos dos familias de círculos, para cada centro de similitud. La familia de círculos para el centro exterior de similitud es tal que los círculos de esta familia contienen ambos círculos originales dentro de sí mismos o ninguno (Figura 6). Por otro lado, los círculos de la familia del centro interior siempre contienen uno de los círculos originales (Figura 7).

Todas las circunferencias de la familia de las circunferencias tangentes tienen un centro radical común y coincide con el centro de semejanza.

Para mostrar esto, imaginemos dos rayos desde el centro de similitud intersectando los círculos dados (Figura 8). Hay dos círculos tangentes T 1 y T 2 que son tangentes a los círculos originales en los puntos antihomólogos. Como ya hemos mostrado, estos puntos se encuentran en el círculo C , y por lo tanto estos dos rayos son los ejes radicales para C / T 1 y C / T 2 . El punto de intersección de estos ejes radicales también debe estar en el eje radical T 1 / T 2 . Este punto de intersección es el centro de similitud E .

Si dos círculos tangentes se tocan en puntos antihomólogos que se encuentran en una línea recta a través de un punto de similitud, como en la Figura 5, entonces debido a la similitud . Pero entonces los grados del punto E con respecto a las dos circunferencias tangentes son iguales, lo que significa que E pertenece al eje radical. ${\frac {EP}{EP^{\prime }}}={\frac {EQ}{EQ^{\prime }}};{EP}\cdot {EQ^{\prime }}={ EQ}\cdot {EP^{\principal}}$

Centro de similitud de tres círculos

Cualquier par de círculos tiene dos centros de semejanza, por lo que tres círculos tendrán seis centros de semejanza, dos por cada par de círculos (diferentes). Curiosamente, todos estos seis puntos se encuentran en cuatro líneas, tres puntos en cada línea. Aquí hay una manera de mostrarlo.

Imagina tres círculos en el plano (Figura 9). Agreguemos para cada centro de los círculos un punto en la perpendicular al plano, separado del centro original por una distancia igual al radio correspondiente. Se pueden agregar puntos desde cualquier lado del plano. Los tres puntos obtenidos definen el plano. En este plano, construiremos tres líneas a través de cada par de puntos. Estas rectas cortan el plano de las circunferencias en los puntos H AB , H BC y H AC . Dado que el lugar geométrico de los puntos que pertenecen a ambos planos no paralelos es una línea recta, estos tres puntos estarán en la misma línea recta. De la semejanza de los triángulos H AB AA′ y H AB BB′ vemos que (aquí r A,B son radios), y por lo tanto H AB es el centro de semejanza de los dos círculos correspondientes. Podemos hacer lo mismo para H BC y H AC . ${\frac {H_{AB}B}{H_{AB}A}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}$

Repitiendo el proceso para diferentes combinaciones de centros de similitud (en nuestro método están determinados por los lados desde los cuales seleccionamos puntos relativos al plano), obtenemos cuatro líneas, tres centros de similitud en cada línea (Figura 10).

Hay otro método de prueba.

Sean C 1 y C 2 un par de círculos conjugados de los tres círculos originales (Figura 11). Por conjugación aquí queremos decir que los círculos pertenecen a la misma familia para uno del par de círculos originales. Como ya hemos visto, el eje radical de dos círculos tangentes cualesquiera de la misma clase pasa por el centro de similitud de los dos círculos originales. Dado que los círculos tangentes son comunes a los tres pares de círculos originales, sus centros de similitud se encuentran en los ejes radicales C 1 y C 2 , es decir en una linea recta.

Esta propiedad se utiliza en la solución general de Joseph Diaz Gergonne al problema de Apolonio . Dados tres círculos, uno puede encontrar los centros de similitud y luego los ejes radicales de los pares de círculos deseados. Naturalmente, hay infinitos círculos con los mismos ejes radicales, por lo que se necesita más trabajo para determinar exactamente qué par de círculos es la solución.

Véase también

Notas

↑ Weistein .

Literatura

Johnson R. A. Geometría euclidiana avanzada: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo. — Nueva York: Publicaciones de Dover, 1960.
Pablo Kunkel. El problema de la tangencia de Apolonio: tres miradas. - 2007. - T. 22 , núm. 1 . — Pág. 34–46 . -doi : 10.1080/ 17498430601148911 .
Eric W. Weisstein. Puntos antihomólogos . MathWorld : un recurso web de Wolfram. (indefinido)