Escalera de cantor

La escalera de Cantor es un ejemplo de una función monótona continua que no es una constante pero tiene una derivada que es cero en casi todos los puntos ( función singular ). A veces llamada "Escalera del diablo" o "Escalera del diablo". [una] $[0,1]\a [0,1]$

Edificios

Estándar

En los puntos 0 y 1, se supone que el valor de la función es 0 y 1, respectivamente. Además, el intervalo (0, 1) se divide en tres partes iguales , y . En el segmento medio, asumimos . Los dos segmentos restantes se dividen nuevamente en tres partes iguales cada uno, y en los segmentos del medio se supone que es igual a y . Cada uno de los segmentos restantes se divide nuevamente en tres partes, y en los segmentos internos se define como una constante igual a la media aritmética entre valores adyacentes ya definidos . En los puntos restantes de la unidad el segmento está determinado por la continuidad. La función resultante se llama escalera de Cantor . $\izquierda(0,{\frac{1}{3}}\derecha)$ $\izquierda({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3}}\derecha)$ $\izquierda({\frac{2}{3)),1\derecha)$ $F(x)={\frac{1}{2}}$ $F(x)$ ${\frac{1}{4))$ ${\frac{3}{4))$ $F(x)$ $F(x)$

Por notación binaria y ternaria

Cualquier número se puede representar en el sistema numérico ternario , . Si aparece un 1 en el registro, descartamos todos los dígitos subsiguientes y en la secuencia restante reemplazamos cada dos con 1. La secuencia resultante da un registro del valor de la escalera de Cantor en un punto del sistema numérico binario . $x\en[0,1]$ $x=(0{,}a_{1}a_{2}\puntos)_{3}$ $a_{i}\en \{0,1,2\}$ $0{,}a_{1}a_{2}\puntos$ $0{,}b_{1}b_{2}\puntos$ $X$

Propiedades

La derivada de la escalera de Cantor está definida y es cero en todos los puntos excepto en el conjunto de Cantor .
La escalera de Cantor es continua , de variación limitada , pero no absolutamente continua .
La escalera de Cantor no tiene la propiedad de Luzin .

Véase también

Enlaces

↑ Weisstein, Eric W. Devil 's Staircase en el sitio web de Wolfram MathWorld .